Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm

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4.2) Parallelogramm

1) Höhen im Parallelogramm

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.


Höhen im Parallelogramm
Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

GeoGebra


Höhen im Parallelogramm zeichnen
Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen ha und hb. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie

Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.pngNullpunkt
Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.pngMittellinie

Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:

Parallelogramm Höhen einzeichnen 2.pngSchiebe den Nullpunkt auf die Seite.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.pngDrehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.pngZeichne die Höhe.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.pngBeschrifte die Zeichnung.

Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:

Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png


Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:

Beispiel 2

Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png

Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png

Beispiel 3

Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png

Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png
Übung 1: Höhen zeichnen
Setze im nachfolgenden Applet den Haken bei Parallelogramm . Schiebe dann das Geodreieck so, wie du es zum Einzeichnen der Höhen legen musst.Prüfe die Lage des Geodreiecks, indem du den Haken in den Feldern ha bzw. hb setzt.
GeoGebra


Und nun im Heft...

Übung 2: Höhen zeichnen
Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.


2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

GeoGebra





Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Parallelogramm mit zwei Höhen.png
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙ha oder A = b∙hb; allgemein: A = g∙h
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).



Übung 3

Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.
Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu strukturiert ein dein Heft.

In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.




GeoGebra
Übung 4

Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch

  • S. 85 Nr. 1
  • S. 85 Nr. 2
  • S. 85 Nr. 6

Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; ha=5cm und b=6cm.
A=a∙ha
  =8∙5
  =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²

u=2a + 2b
  =2∙8 + 2∙6
  =28 (cm)

Achte auf gleiche Einheiten!

a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm


3) Formeln umstellen

Umstellen der Formel
Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.
Umstellen nach einer Seite:

A = a∙ha   |:ha
= a
a =

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙ha   |:a
= ha

ha =

Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
- b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.



Übung 5
Löse die nachfolgende LearningApps. Schreibe die Aufgabe struktuiert in deinem Heft mit.




Übung 6

Löse Buch

  • S. 85 Nr. 7
  • S. 96 Nr. 3
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.


Übung 7

Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und hg an und zeichne die Parallelogramme.
a) A = 24 cm²

b) A = 0,45dm²



Übung 8

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

  • S. 86 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre. Tipp: Lass dir die Höhe anzeigen (Haken setzen).
GeoGebra

4) Anwendungsaufgaben

Übung 9: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

  • S. 86 Nr. 9
  • S. 86 Nr. 10
  • S. 86 Nr. 11
  • S. 86 Nr. 12
  • S. 86 Nr. 13
Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.
Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)
S.86 Nr.10 Tipp.png

geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6 m; ha= 4,25m
2. a = 4m; ha = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²

ges.: Anzahl der Dachziegel
Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt.
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!

Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:
Zeichnung zu S. 86 Nr. 12.png

Es entsteht ein Parallelogramm (eine Raute). Miss dann die Länge der Seite a (es müssten ca. 8,7cm sein). Damit kannst du dann den Flächeninhalt A = aha = ... berechnen.

geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; ha= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)
45,30€ pro m²

ges.: Kosten


Übung 10

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

  • S. 90 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.
GeoGebra

5) Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

GeoGebra


Flächeninhalt und Umfang einer Raute
Raute mit Höhe.png



Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a∙ha

Raute mit Diagonalen.png
Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A =

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .


Übung 11

Löse Buch

  • S. 96 Nr. 5c
Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge. Berechne damit den Flächeninhalt.
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.

Raute S.96 Nr. 5c.png

Raute S.96 Nr. 5c mit Höhe.png