Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

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Einstieg und Vorwissen
1) Vierecke und ihre Eigenschaften
2) Haus der Vierecke
3) Winkelsumme im Viereck
4) Umfang und Flächeninhalt

• 4.1) Quadrat und Rechteck
  
• 4.2) Parallelogramm
  
• 4.3) Trapez
  
• 4.4) Dreieck
  
• 4.4) Drachen
• 4.5) Zusammengesetzte Figuren
  
• 4.6) Bunte Mischung
  

5) Checkliste

4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt

1) Höhe im Trapez

Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein.

Übung 1: Höhe im Trapez

Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.

2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen.

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Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sogenannten Mittellinie. Hier ein Video zur Erklärung.

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Flächeninhalt und Umfang des Trapezes

Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet:
A = $\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}$ oder A = $\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}$ ∙ h oder A = m ∙ h

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit

u = a + b + c + d.

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Übung 2

Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.

Übung 3

Löse Buch

• S. 92 Nr. 1
• S. 92 Nr. 2a,c

Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein.
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben):

32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²

Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne.

Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²

3) Formeln umstellen

Umstellen der Formel

Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c.

2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.

Umstellen nach der Seite a:

A = $\frac{\text{a+c}}{\text{2}}$∙h   |∙2
2∙A = (a+c)∙h   |:h
$\frac{\text{2A}}{\text{h}}$ = a+c   |-c
$\frac{\text{2A}}{\text{h}}$ - c = a

Stelle die Formel entsprechend nach c um.

Umstellen nach der Höhe:

A = $\frac{\text{a+c}}{\text{2}}$∙h   |∙2
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c)
$\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}$ = h

Übung 4: Formel umstellen

Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.

Übung 5

Löse Buch

• S. 92 Nr. 5
• S. 96 Nr. 4

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6

Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.

4) Anwendungsaufgaben

Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 92 Nr. 6
• S. 92 Nr. 7
• S. 92 Nr. 8

Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen.

Gesucht ist die Querschnittsfläche.
Lösung: 1386m²

Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen:
Der Boden ist ein Rechteck.
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze.
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen.

Lösung: 671 cm²

Zugabe von 10%
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1;
ges: W = G∙p%
W = 671 ∙ 0,1
W = 67,1 (cm²]
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden.
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen:
100% | 671

10%   |67,1

Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines.
Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²).
Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine

Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins:
A = A_Rechteck - 2∙A_Trapez
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen?
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²?

Lösung ca. 38.

Noch mehr Übungen

Du findest weitere Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs.

4) Dreieck