Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm

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Einstieg und Vorwissen
1) Vierecke und ihre Eigenschaften
2) Haus der Vierecke
3) Winkelsumme im Viereck
4) Umfang und Flächeninhalt

• 4.1) Quadrat und Rechteck
  
• 4.2) Parallelogramm
  
• 4.3) Trapez
  
• 4.4) Dreieck
  
• 4.4) Drachen
• 4.5) Zusammengesetzte Figuren
  
• 4.6) Bunte Mischung
  

5) Checkliste

4.2) Parallelogramm

1) Höhen im Parallelogramm

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.

Höhen im Parallelogramm

Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

Höhen im Parallelogramm zeichnen

Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h_a und h_b. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie

Nullpunkt

Mittellinie

Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:

Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.

Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.

Zeichne die Höhe.

Beschrifte die Zeichnung.

Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:

Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:

Beispiel 2

Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Beispiel 3

Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Übung 1: Höhen zeichnen

Setze im nachfolgenden Applet den Haken bei Parallelogramm . Schiebe dann das Geodreieck so, wie du es zum Einzeichnen der Höhen legen musst.Prüfe die Lage des Geodreiecks, indem du den Haken in den Feldern h_a bzw. h_b setzt.

Und nun im Heft...

Übung 2: Höhen zeichnen

Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

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Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙h_a oder A = b∙h_b
allgemein: A = g∙h

Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).

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Übung 3

Bearbeite die nachfolgenden Learningapps und das Applet.
Schreibe zur ersten App die Aufgaben dazu strukturiert ein dein Heft.

In der zweiten App darfst du "nur" rechnen und auch im Geogebra-Applet gib "nur" das Ergebnis in das entsprechende Feld ein.

Übung 4

Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch

• S. 85 Nr. 1
• S. 85 Nr. 2
• S. 85 Nr. 6

Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h_a=5cm und b=6cm.
A=a∙h_a
  =8∙5
  =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²

u=2a + 2b
  =2∙8 + 2∙6
  =28 (cm)

Achte auf gleiche Einheiten!

a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm

3) Formeln umstellen

Umstellen der Formel

Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.

Umstellen nach einer Seite:

A = a∙h_a   |:h_a
$\tfrac{A}{ha}$ = a
a = $\tfrac{A}{ha}$

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙h_a   |:a
$\tfrac{A}{a}$ = h_a

h_a = $\tfrac{A}{a}$

Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
$\tfrac{u}{2}$ - b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.

Übung 5

Löse die nachfolgende LearningApps. Schreibe die Aufgabe struktuiert in deinem Heft mit.

Übung 6

Löse Buch

• S. 85 Nr. 7
• S. 96 Nr. 3

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

gegeben: a=35cm; b=18cm; A=135cm²
gesucht: h_a; h_b; u

1. Berechne h_a:

A = a·h_a  |Werte einsetzen
315 = 35·h_a  | : 35
315:35 = h_a
9 [cm] = h_a

2. Berechne h_b

Gehe ebenso vor wie bei der Berechnung von h_a.

3. Berechne u:

u = 2·a + 2·b  |Werte einsetzen

   = ...

gegeben: a=40m; h_a=12m; u=140m
gesucht: b; h_{ab/sub>; A}

1. Berechne b (mithilfe des Umfangs u):

u = 2·a + 2·b  |Werte einsetzen
140 = 2·40 + 2·b
140 = 80 + 2·b  |-80
60 = 2·b   |:2
30 [cm] = b

2. Berechne A (in die Formel einsetzen)

3. Berechne h_b (Flächeninhaltsformel umstellen)

Übung 7

Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und h_g an und zeichne die Parallelogramme.
a) A = 24 cm²

b) A = 0,45dm²

Übung 8

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 86 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre. Tipp: Lass dir die Höhe anzeigen (Haken setzen).

4) Anwendungsaufgaben

Parallelogramme in der Architektur

Das Bürogebäude "Dockland" in Hamburg hat 6 Etagen. Es ist 132m lang, 25m hoch und hat einen Neigungswinkel von 32°. Die Fenster auf der Vorder-und Rückseite sollen geputzt werden. Pro Quadratmeter werden 4 € berechnet.

Welche Form hat die Fensterfläche? Welche Größen müssen zur Flächenberechnung im Text gegeben sein? Lies genau.

geg: Parallelogramm, g = 132 m und h = 25m. (Der Neigungswinkel ist eine überflüssige Angabe, ebenso die Anzahl der Etagen.)
ges: Flächeninhalt A; Preis für die Fensterreinigung

A = g · h

Bedenke, dass die Fenster auf beiden Seiten geputzt werden müssen. Du hast also 2 mal die Fensterfläche. Pro Quadratmeter musst du 4€ bezahlen.

Übung 9: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 86 Nr. 9
• S. 86 Nr. 10
• S. 86 Nr. 11
• S. 86 Nr. 12
• S. 86 Nr. 13

Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.

Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)

geg: g=75-35-12=28(m) und h=30 m

ges: Flächeninhalt A des Parallelogramms

geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6m; h_a= 4,25m
2. a = 4m; h_a = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²

ges.: Anzahl der Dachziegel

Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt.
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!

Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:

Es entsteht ein Parallelogramm (eine Raute). Miss dann die Länge der Seite a (es müssten ca. 8,7cm sein). Damit kannst du dann den Flächeninhalt A = a$\cdot$h_a = ... berechnen.

geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; h_a= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; h_b= 2,45 m)
45,30€ pro m²

ges.: Kosten

Übung 10

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 90 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.

5) Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

Flächeninhalt und Umfang einer Raute

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a·h_a

Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A = $\frac{\text{e·f}}{\text{2}}$

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .

Übung 11

Löse Buch

• S. 96 Nr. 5c

Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge. Berechne damit den Flächeninhalt.
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.

Noch mehr Übungen

Du findest weitere Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs.

1) Quadrat und Rechteck

3) Trapez