Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU!
 
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigensschaften <br> 2) Haus der Vierecke]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]]}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften <br> 2) Haus der Vierecke]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.3) Dreieck]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.4) Trapez]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.5) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.6) Zusammengesetzte Figuren]]<br>
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.7) Bunte Mischung]]<br>
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}


===4) Umfang und Flächeninhalt von Vierecken und Dreiecken===
===4) Umfang und Flächeninhalt von Vierecken und Dreiecken===
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Info: Übungen befinden sich auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 1-36 [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/einfache-flaechen.shtml]
 


===4.1) Quadrat und Rechteck: Umfang und Flächeninhalt===
===4.1) Quadrat und Rechteck: Umfang und Flächeninhalt===
{{Box|Quadrat und Rechteck|Stelle beim nachfolgenden GeoGebra-Applet mithilfe der Schieberegler die Länge und Breite so ein, dass du zunächst ein Quadrat betrachtest!<br> Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?<br>
{{Box|Quadrat und Rechteck|Stelle beim nachfolgenden GeoGebra-Applet mithilfe der Schieberegler die Länge und Breite so ein, dass du zunächst ein Quadrat betrachtest!<br> Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?<br>
Stelle danach verschiedene Rechtecke ein.<br> Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?|Lösung|Icon=brainy hdg-scientist07}}
Stelle danach verschiedene Rechtecke ein.
<ggb_applet id="FexywbYW" width="800" height="600" />
<br> Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?|Lösung|Icon=brainy hdg-scientist07}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/FexywbYW
<ggb_applet id="fcwv7uzq" width="900" height="550" border="888888" />
<small>Applet von Pöchtrager</small>


{{Box|Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck|Bearbeite das nachfolgende Quiz und übertrage den Merksatz anschließend in dein Heft. Denke an die passenden Skizzen. <br>Notiere die Formeln auch in deinem Heft der Vierecke.|Arbeitsmethode}}
{{Box|Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck|Bearbeite das nachfolgende Quiz und übertrage den Merksatz anschließend in dein Heft. Denke an die passenden Skizzen. <br>Notiere die Formeln auch in deinem Heft der Vierecke.|Arbeitsmethode}}
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</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|BB5gdLwqNOQ|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|MhjBT13zydQ|460|center}}</div>
</div>
<br>


{{Box|Übung 1|Löse S. 83 Nr. 4 und 5.|Üben}}
{{#ev:youtube|UGlwrEfmFJY|800|center}}<br>
 
{{Box|Übung 1|Flächeninhalt oder Umfang - Was ist gesucht? Löse die nachfolgende LearningApp.|Üben}}
{{LearningApp|app=27645|width=100%|height=600px}}
 
{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden LearningApps. Schreibe die Aufgaben dazu strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pphf8zikj24|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 3|Löse die Aufgaben aus dem Buch
* S.83, Nr. 4
* S.83, Nr. 5.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Da die Seitenlänge gesucht ist, musst du die Formel umstellen:<br>
{{Lösung versteckt|1=Da die Seitenlänge gesucht ist, musst du die Formel umstellen:<br>
u = 4∙a |:4<br>
u = 4∙a |:4<br>
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b =<math>\tfrac{36,8}{2}</math> - 12,8= 18,4 - 12,8 = 5,6 .<br>Berechne nun den Flächeninhalt A.|2=Tipp zu Nr. 5c|3=Verbergen}}  
b =<math>\tfrac{36,8}{2}</math> - 12,8= 18,4 - 12,8 = 5,6 .<br>Berechne nun den Flächeninhalt A.|2=Tipp zu Nr. 5c|3=Verbergen}}  


{{Box|Übung 4|Nachdenkaufgabe: Löse die Aufgabe aus dem Buch
* S. 90 Nr. 13
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Rechtecks geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/xwzxmzrn
<ggb_applet id="xwzxmzrn" width="1920" height="964" border="888888" />




{{Box|Noch mehr Übungen|Du findest weitere Übungen auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/viereck/rechteck.shtml '''Aufgabenfuchs'''].|Üben}}


===4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt===
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.
{{Box|Höhen im Parallelogramm|Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.|Arbeitsmethode}}
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
<ggb_applet id="BkjVfyDh" width="800" height="600" />
{{Box|Höhen im Parallelogramm zeichnen|Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub>. Die Bildfolgen helfen dir dabei.|Üben}}
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div>
</div>
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div>
</div>
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div>
</div>
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:
Beispiel 2
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div>
</div>
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div>
</div>
Beispiel 3
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div>
</div>
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div>
</div>
{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}}
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten Notiere deine Ideen.<br>
<ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" />
<br>
<br>
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br>
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br>
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br>
'''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch
* S. 85 Nr. 1
* S. 85 Nr. 2
* S. 85 Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br>
A=a∙h<sub>a</sub><br>&nbsp;&nbsp;=8∙5<br>&nbsp;&nbsp;=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br>
u=2a + 2b<br>&nbsp;&nbsp;=2∙8 + 2∙6<br>&nbsp;&nbsp;=28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br>
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:h<sub>a</sub><br>
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br>
a = <math>tfrac{A}{ha}</math><br>
</div>
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:a<br>
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br>
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div>
</div>
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br>
u = 2a + 2b &nbsp;&nbsp;&#124;-2b<br>
u - 2b = 2a &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br>
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br>
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
{{Box|Übung 4|Löse Buch
* S. 85 Nr. 7
* S. 96 Nr. 3
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Box|Übung 5|Nachdenkaufgabe: Löse Buch
* S. 86 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}}
<ggb_applet id="eemvx2an" width="800" height="620" />
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen  Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 86 Nr. 9
* S. 86 Nr. 10
* S. 86 Nr. 11
* S. 86 Nr. 12
* S. 86 Nr. 13|Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)|Tipp 1 zu Nr. 10|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S.86 Nr.10 Tipp.png|rahmenlos|400px]]|Tipp 2 zu Nr. 10|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit <br>
1. a = 6 m; ha= 4,25m <br>
2. a = 4m; ha = 4,25m<br>
35 Dachziegeln pro m²<br>
ges.: Anzahl der Dachziegel|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt. <br>Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Treppenaufgang Parallelogramm,<br>
a= 3,30m; ha= 2,00 m <br>
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)<br>
45,30€ pro m²<br>
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}
===4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt===
===4.5) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===
<ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" />
===4.6) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt===
Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft.
<ggb_applet id="UmnsS8qK" width="900" height="500" border="888888" />
Bearbeite das nachfolgende Applet Schritt für Schritt.
<ggb_applet id="tT6Yj7Dg" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="ndAGE7rk" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="VBNpZG8g" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="XJAVW2rU" width="900" height="550" border="888888" />
<ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" />
===4.7) Drachenviere: Umfang und
Flächeninhalt===


==5) Zusammengesetzte Figuren==


{{Fortsetzung|weiter=6) Anwendungsaufgaben|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Anwendungsaufgaben}}
{{Fortsetzung|weiter=2) Parallelogramm|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm}}

Aktuelle Version vom 20. November 2024, 16:12 Uhr

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Schullogo HLR.jpg

4) Umfang und Flächeninhalt von Vierecken und Dreiecken

In diesem Kapitel leitest du die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt für die besonderen Vierecke und für Dreiecke her. Notiere alle Formeln in deinem Heft der Vierecke.

Beginne mit der Wiederholung der Formeln für das Quadrat und Rechteck.



4.1) Quadrat und Rechteck: Umfang und Flächeninhalt

Quadrat und Rechteck

Stelle beim nachfolgenden GeoGebra-Applet mithilfe der Schieberegler die Länge und Breite so ein, dass du zunächst ein Quadrat betrachtest!
Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?
Stelle danach verschiedene Rechtecke ein.


Wiederhole: Wie kannst du den Flächeninhalt berechnen?

Originallink https://www.geogebra.org/m/FexywbYW

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Umfang und Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck
Bearbeite das nachfolgende Quiz und übertrage den Merksatz anschließend in dein Heft. Denke an die passenden Skizzen.
Notiere die Formeln auch in deinem Heft der Vierecke.

QUADRAT
Quadrat allgemein.png
Flächeninhalt A = a∙a
                       = a²
Umfang        u = 4∙a

RECHTECK Rechteck allgemein.png
Flächeninhalt A = a∙b
Umfang    u = 2a + 2b = 2(a+b) .

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Übung 1
Flächeninhalt oder Umfang - Was ist gesucht? Löse die nachfolgende LearningApp.


Übung 2
Löse die nachfolgenden LearningApps. Schreibe die Aufgaben dazu strukturiert in dein Heft.


Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch

  • S.83, Nr. 4
  • S.83, Nr. 5.

Da die Seitenlänge gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

u = 4∙a

Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt also 36?

Erinnerung: Quadratzahlen!

Da die Seitenlänge b gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

A = a∙b

Da die Seitenlänge b gesucht ist, musst du die Formel umstellen:

u = 2∙(a + b)


Übung 4

Nachdenkaufgabe: Löse die Aufgabe aus dem Buch

  • S. 90 Nr. 13
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Rechtecks geschieht. Notiere und erkläre.

Originallink https://www.geogebra.org/m/xwzxmzrn

GeoGebra


Noch mehr Übungen
Du findest weitere Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs.


2) Parallelogramm
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