Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Navigation | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | ||
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{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften <br> 2) Haus der Vierecke]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]]<br> | |||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/ | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.3) Dreieck]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/ | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.4) Trapez]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.5) Drachen]] | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.5) Drachen]] | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/ | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.6) Zusammengesetzte Figuren]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4. | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.7) Bunte Mischung]]<br> | ||
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}} | |||
===4. | ===4.3) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt=== | ||
====1) Höhen im Dreieck==== | ====1) Höhen im Dreieck==== | ||
Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft. | Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft. | ||
<ggb_applet id="UmnsS8qK" width=" | Originallink https://www.geogebra.org/m/UmnsS8qK | ||
<ggb_applet id="UmnsS8qK" width="2000" height="1500" border="888888" /> | |||
<small>Applet von Pöchtrager</small> | |||
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Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf? | Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?<br> | ||
<ggb_applet id=" | Originallink https://www.geogebra.org/m/v2n3bzgb | ||
<ggb_applet id="bV8nkJwc" width="1920" height="1000" border="888888" /> | |||
<small>Applet von Stefan Howald</small> | |||
{{Lösung versteckt|Die Höhen stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.<br> | {{Lösung versteckt|Die Höhen stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.<br> | ||
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.<br> | Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.<br> | ||
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<div class="width-1-3">[[Datei:Dreieck Höhe einzeichnen 11neu.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Dreieck Höhe einzeichnen 11neu.png|rahmenlos]]</div> | ||
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Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet: | Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet:<br> | ||
<ggb_applet id="ESTtW7pU" width=" | Originallink | ||
<ggb_applet id="ESTtW7pU" width="1700" height="1000" border="888888" /> | |||
{{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 3 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | {{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 3 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | ||
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[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | [[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | ||
Nun versuche, mithilfe des | Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks herzuleiten. Notiere deine Ideen.<br> | ||
Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt. | Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt.<br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/tT6Yj7Dg | |||
<ggb_applet id="tT6Yj7Dg" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="tT6Yj7Dg" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Pöchtrager<br></small> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/ndAGE7rk | |||
<ggb_applet id="ndAGE7rk" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="ndAGE7rk" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Pöchtrager<br></small> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/VBNpZG8g | |||
<ggb_applet id="VBNpZG8g" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="VBNpZG8g" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Pöchtrager<br></small> | |||
Du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch anders herleiten: | Du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch anders herleiten:<br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/XJAVW2rU | |||
<ggb_applet id="XJAVW2rU" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="XJAVW2rU" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/QT5erEws | |||
<ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
<small>Applets von Pöchtrager</small> | |||
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks|2= | {{Box|1=Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks|2= [[Datei:Formeln Dreieck.png|rahmenlos|600x600px]]|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{#ev:youtube|ft1aNp62lSw|800|center}}<br> | |||
{{#ev:youtube|kr5c-rSyZRo|800|center}}<br> | |||
{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgaben dazu strukturiert in dein Heft.<br>Die Aufgaben aus dem Applet musst du nicht aufschreiben.|Üben}} | {{Box|Übung 2|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgaben dazu strukturiert in dein Heft.<br>Die Aufgaben aus dem Applet musst du nicht aufschreiben.|Üben}} | ||
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* S. 88 Nr. 1 | * S. 88 Nr. 1 | ||
* S. 88 Nr. 2|Üben}} | * S. 88 Nr. 2|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen bzw. der Aufgabenstellung die nötigen Maße und setze sie in die Formel ein.<br> | |||
Lösungen (gemischt): 1,7; 4,88; 5,94; 8,64; 11,6; 16,5; 17,5; 20,14; 51,85|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}} | |||
====3) Formeln umstellen==== | ====3) Formeln umstellen==== | ||
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<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | ||
[[Datei:Formel Dreieck umstellen nach einer Seite.png|rahmenlos|276x276px]] | |||
</div> | </div> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | ||
[[Datei:Formel Dreieck umstellen nach einer Höhe.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | </div> | ||
<br> | <br> | ||
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{{Box|Übung 5|Löse Buch | {{Box|Übung 5|Löse Buch | ||
* S. | * S. 88 Nr. 6 | ||
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die Zahlen ein und bereche.<br> | |||
Lösungen (gemischt): 6; 10,5; 12; 13,5; 14; 18; 30; 36<br> | |||
Achte auf die richtige Einheit!|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 6|3=Verbergen}} | |||
====4) Anwendungsaufgaben==== | ====4) Anwendungsaufgaben==== | ||
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* S. 89 Nr. 11|Üben}} | * S. 89 Nr. 11|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht werden. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie mit den gegebenen Größen.|Tipp 1 zu Nr. 9|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht werden. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie mit den gegebenen Größen.|Tipp 1 zu Nr. 9|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 9 S. 89 Nr. 9 Skizze.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Skizzen zu Nr. 9|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).<br>Lösung zur Kontrolle:A<sub>Holz</sub>=1,125m²<br> | {{Lösung versteckt|1=Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).<br>Lösung zur Kontrolle:A<sub>Holz</sub>=1,125m²<br> | ||
Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).<br>Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:<br> | Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).<br>Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:<br> | ||
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Um die Dachfläche zu bestimmen, berechne den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche und mutlipliziere diese mit 4.<br>Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | Um die Dachfläche zu bestimmen, berechne den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche und mutlipliziere diese mit 4.<br>Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Schulhoffläche hat die Form eines '''rechtwinkligen''' Dreiecks, von dem ein Rechteck abgezogen werden muss. Der Winkel oben links ist ein rechter Winkel. Daher ist eine der Seiten a und b die Grundseite und die andere Seite ist die Höhe des Dreiecks.|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die Schulhoffläche hat die Form eines '''rechtwinkligen''' Dreiecks, von dem ein Rechteck abgezogen werden muss. Der Winkel oben links ist ein rechter Winkel. Daher ist eine der Seiten a und b die Grundseite und die andere Seite ist die Höhe des Dreiecks.|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².<br>Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.<br> | {{Lösung versteckt|1=a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².<br>Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.<br> | ||
Lösung zur Kontrolle: A<sub>Schulhof</sub>=1074,15m²|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | Lösung zur Kontrolle: A<sub>Schulhof</sub>=1074,15m²|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
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* S. 90 Nr. 15 | * S. 90 Nr. 15 | ||
Nutze als Hilfe die nachfolgende Applets. Was geschieht mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Dreiecks. Notiere und erkläre.|Üben}} | Nutze als Hilfe die nachfolgende Applets. Was geschieht mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Dreiecks. Notiere und erkläre.|Üben}} | ||
<ggb_applet id="s6gkebvn" width="911" height="507" border="888888" /> | Originallink https://www.geogebra.org/m/s6gkebvn | ||
<ggb_applet id="s6gkebvn" width="911" height="507" border="888888" /> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/fm2qyyjz | |||
<ggb_applet id="fm2qyyjz" width="767" height="507" border="888888" /> | |||
Originallink https://www.geogebra.org/m/te6w3afp | |||
<ggb_applet id="te6w3afp" width="911" height="507" border="888888" /> | |||
<small>Applets von C.Buß-Haskert</small><br> | |||
{{Box|Noch mehr Übungen|Du findest weitere Übungen auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/dreieck.shtml '''Aufgabenfuchs'''].|Üben}} | |||
{{Fortsetzung|weiter= | {{Fortsetzung|weiter=4) Trapez|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez}} | ||
Version vom 20. November 2024, 16:13 Uhr
1) Vierecke und ihre Eigenschaften
2) Haus der Vierecke
3) Winkelsumme im Viereck
4) Umfang und Flächeninhalt
- 4.1) Quadrat und Rechteck
- 4.2) Parallelogramm
- 4.3) Dreieck
- 4.4) Trapez
- 4.5) Drachen
- 4.6) Zusammengesetzte Figuren
- 4.7) Bunte Mischung
4.3) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt
1) Höhen im Dreieck
Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft. Originallink https://www.geogebra.org/m/UmnsS8qK

Applet von Pöchtrager
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
Originallink https://www.geogebra.org/m/v2n3bzgb

Applet von Stefan Howald
Die Höhen stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
Zeichne die Höhe hc zur Seite c:
Zeichne ebenso die Höhe ha zur Seite a:
... und die Höhe hb zur Seite b:
In einem stumpfwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen teils außerhalb des Dreiecks. Die Dreiecksseite muss verlängert werden, um die Höhe einzeichnen zu können:
Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet:
Originallink

2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt.
Originallink https://www.geogebra.org/m/tT6Yj7Dg

Applet von Pöchtrager
Originallink https://www.geogebra.org/m/ndAGE7rk

Applet von Pöchtrager
Originallink https://www.geogebra.org/m/VBNpZG8g

Applet von Pöchtrager
Du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch anders herleiten:
Originallink https://www.geogebra.org/m/XJAVW2rU

Originallink https://www.geogebra.org/m/QT5erEws

Applets von Pöchtrager

Entnimm den Skizzen bzw. der Aufgabenstellung die nötigen Maße und setze sie in die Formel ein.
3) Formeln umstellen

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die Zahlen ein und bereche.
Lösungen (gemischt): 6; 10,5; 12; 13,5; 14; 18; 30; 36
4) Anwendungsaufgaben
Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).
Lösung zur Kontrolle:AHolz=1,125m²
Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).
Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:
Ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke außen.
Lösung zur Kontrolle:A=5,72m²
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere jeweils die Fläche mit dem Preis pro m².
Eine Dreiecksfläche hat die Grundseite g=5,2m und die Höhe h=7,35m. Die andere Zahlenangabe ist für die Lösung dieser Aufgabe überflüssig!
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²
a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².
Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.
Originallink https://www.geogebra.org/m/s6gkebvn

Originallink https://www.geogebra.org/m/fm2qyyjz

Originallink https://www.geogebra.org/m/te6w3afp

Applets von C.Buß-Haskert