Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=gegeben: a=35cm; b=18cm; A=135cm²<br> | {{Lösung versteckt|1=gegeben: a=35cm; b=18cm; A=135cm²<br> | ||
gesucht: h<sub>a</sub>; h<sub>b</sub>; u<br> | gesucht: h<sub>a</sub>; h<sub>b</sub>; u<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=gegeben: a=40m; h<sub>a</sub>=12m; u=140m<br> | |||
gesucht: b; h<sub>ab/sub>; A<br> | |||
1. Berechne b (mithilfe des Umfangs u):<br> | |||
u = 2·a + 2·b |Werte einsetzen <br> | |||
140 = 2·40 + 2·b <br> | |||
140 = 80 + 2·b |-80<br> | |||
60 = 2·b |:2<br> | |||
30 [cm] = b<br> | |||
2. Berechne A (in die Formel einsetzen)<br> | |||
3. Berechne h<sub>b</sub> (Flächeninhaltsformel umstellen)|2=Tipp zu Nr. 7d|3=Verbergen}} | |||
{{Box|1=Übung 7|2=Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und h<sub>g</sub> an und zeichne die Parallelogramme.<br> | {{Box|1=Übung 7|2=Ein Parallelogramm hat den angegebenen Flächeninhalt. Gib jeweils zwei Möglichkeiten für g und h<sub>g</sub> an und zeichne die Parallelogramme.<br> | ||
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====4) Anwendungsaufgaben==== | ====4) Anwendungsaufgaben==== | ||
{{Box|Parallelogramme in der Architektur|[[Datei:Dockland-gc367137b3 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Das Bürogebäude "Dockland" in Hamburg hat 6 Etagen. Es ist 132m lang, 25m hoch und hat einen Neigungswinkel von 32°. Die Fenster auf der Vorder-und Rückseite sollen geputzt werden. Pro Quadratmeter werden 4 € berechnet.|Üben}} | {{Box|Parallelogramme in der Architektur|[[Datei:Dockland-gc367137b3 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Das Bürogebäude "Dockland" in Hamburg hat 6 Etagen. Es ist 132m lang, 25m hoch und hat einen Neigungswinkel von 32°. Die Fenster auf der Vorder-und Rückseite sollen geputzt werden. Pro Quadratmeter werden 4 € berechnet.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Welche Form hat die | {{Lösung versteckt|Welche Form hat die Fensterfläche? Welche Größen müssen zur Flächenberechnung im Text gegeben sein? Lies genau.|Tipp 1|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=geg: Parallelogramm, g = 132 m und h = 25m. (Der Neigungswinkel ist eine überflüssige Angabe, ebenso die Anzahl der Etagen.)<br> | {{Lösung versteckt|1=geg: Parallelogramm, g = 132 m und h = 25m. (Der Neigungswinkel ist eine überflüssige Angabe, ebenso die Anzahl der Etagen.)<br> | ||
ges: Flächeninhalt A; Preis für die Fensterreinigung<br> | ges: Flächeninhalt A; Preis für die Fensterreinigung<br> | ||
A = g · h|2=Tipp 2|3=Verbergen}} | A = g · h|2=Tipp 2|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Bedenke, dass die Fenster auf beiden Seiten geputzt werden müssen. Du hast also 2 mal die Fensterfläche. Pro Quadratmeter musst du 4€ bezahlen.|Tipp 3|Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 9: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um'''). | {{Box|Übung 9: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um'''). | ||
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{{Lösung versteckt|Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)|Tipp 1 zu Nr. 10|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)|Tipp 1 zu Nr. 10|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:S.86 Nr.10 Tipp.png|rahmenlos|400px]]|Tipp 2 zu Nr. 10|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|[[Datei:S.86 Nr.10 Tipp.png|rahmenlos|400px]]|Tipp 2 zu Nr. 10|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= geg: g=75-35-12=28(m) und h=30 m<br> | |||
ges: Flächeninhalt A des Parallelogramms|2=Tipp 3 zu Nr. 10|3=Verbergen\}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit <br> | {{Lösung versteckt|1=geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit <br> | ||
1. a = | 1. a = 6m; h<sub>a</sub>= 4,25m <br> | ||
2. a = 4m; | 2. a = 4m; h<sub>a</sub> = 4,25m<br> | ||
35 Dachziegeln pro m²<br> | 35 Dachziegeln pro m²<br> | ||
ges.: Anzahl der Dachziegel|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ges.: Anzahl der Dachziegel|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt. <br>Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt. <br>Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:<br> | {{Lösung versteckt|1=Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=geg: Treppenaufgang Parallelogramm,<br> | {{Lösung versteckt|1=geg: Treppenaufgang Parallelogramm,<br> | ||
a= 3,30m; | a= 3,30m; h<sub>a</sub>= 2,00 m <br> | ||
(oder b = 2,7 m ; | (oder b = 2,7 m ; h<sub>b</sub>= 2,45 m)<br> | ||
45,30€ pro m²<br> | 45,30€ pro m²<br> | ||
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | ||
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<br /><br> | <br /><br> | ||
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:<br> | Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:<br> | ||
'''A = | '''A = a·h<sub>a</sub>''' <br> | ||
<br> | <br> | ||
[[Datei:Raute mit Diagonalen.png|rechts|rahmenlos]]Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:<br> | [[Datei:Raute mit Diagonalen.png|rechts|rahmenlos]]Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:<br> | ||
'''A = <math>\frac{\text{ | '''A = <math>\frac{\text{e·f}}{\text{2}}</math>''' | ||
Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit<br> | Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit<br> | ||
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{{Lösung versteckt|[[Datei:Raute S.96 Nr. 5c.png|rahmenlos]]<br> | {{Lösung versteckt|[[Datei:Raute S.96 Nr. 5c.png|rahmenlos]]<br> | ||
[[Datei:Raute S.96 Nr. 5c mit Höhe.png|rahmenlos]]|Tipp 2 zu Nr. 5c|Verbergen}} | [[Datei:Raute S.96 Nr. 5c mit Höhe.png|rahmenlos]]|Tipp 2 zu Nr. 5c|Verbergen}} | ||
{{Box|Noch mehr Übungen|Du findest weitere Übungen auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/viereck/parallelogramm.shtml '''Aufgabenfuchs'''].|Üben}} | |||
{{Fortsetzung|vorher=1) Quadrat und Rechteck|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|weiter=3) Trapez|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez}} | {{Fortsetzung|vorher=1) Quadrat und Rechteck|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|weiter=3) Trapez|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez}} |
Aktuelle Version vom 9. Dezember 2023, 12:58 Uhr
4.2) Parallelogramm
1) Höhen im Parallelogramm
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:
Beispiel 2
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Beispiel 3
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Und nun im Heft...
2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Applet von Pöchtrager
Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; ha=5cm und b=6cm.
A=a∙ha
=8∙5
=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²
=2∙8 + 2∙6
=28 (cm)
Achte auf gleiche Einheiten!
3) Formeln umstellen
A = a∙ha |:ha
= a
a =
A = a∙ha |:a
= ha
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b |-2b
u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
- b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
gegeben: a=35cm; b=18cm; A=135cm²
gesucht: ha; hb; u
1. Berechne ha:
A = a·ha |Werte einsetzen
315 = 35·ha | : 35
315:35 = ha
9 [cm] = ha
2. Berechne hb
Gehe ebenso vor wie bei der Berechnung von ha.
3. Berechne u:
u = 2·a + 2·b |Werte einsetzen
gegeben: a=40m; ha=12m; u=140m
gesucht: b; hab/sub>; A
1. Berechne b (mithilfe des Umfangs u):
u = 2·a + 2·b |Werte einsetzen
140 = 2·40 + 2·b
140 = 80 + 2·b |-80
60 = 2·b |:2
30 [cm] = b
2. Berechne A (in die Formel einsetzen)
4) Anwendungsaufgaben
geg: Parallelogramm, g = 132 m und h = 25m. (Der Neigungswinkel ist eine überflüssige Angabe, ebenso die Anzahl der Etagen.)
ges: Flächeninhalt A; Preis für die Fensterreinigung
geg: g=75-35-12=28(m) und h=30 m
geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6m; ha= 4,25m
2. a = 4m; ha = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!
Skizziere die Straßen in dein Heft, die Zeichnung müsste dann wie folgt aussehen:
geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; ha= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)
45,30€ pro m²
5) Raute: Umfang und Flächeninhalt
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.
Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.