Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}} | ||
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften <br> 2) Haus der Vierecke]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]]<br>[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]]<br> | |||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]] | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4. | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]]<br> | |||
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}} | |||
===4.4) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt=== | |||
====1) Höhen im Dreieck==== | |||
Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft. | Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft. | ||
<ggb_applet id="UmnsS8qK" width=" | <ggb_applet id="UmnsS8qK" width="2000" height="1500" border="888888" /> | ||
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</div> | </div> | ||
Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet: | Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet: | ||
<ggb_applet id="ESTtW7pU" width=" | <ggb_applet id="ESTtW7pU" width="1700" height="1000" border="888888" /> | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 3 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | ||
====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u==== | |||
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | [[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | ||
Nun versuche, mithilfe des | Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks herzuleiten. Notiere deine Ideen.<br> | ||
Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt. | Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt. | ||
<ggb_applet id="tT6Yj7Dg" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="tT6Yj7Dg" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
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<ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="QT5erEws" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks|2= | {{Box|1=Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks|2= [[Datei:Formeln Dreieck.png|rahmenlos|600x600px]]|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{#ev:youtube|ft1aNp62lSw|800|center}}<br> | |||
{{#ev:youtube|kr5c-rSyZRo|800|center}}<br> | |||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 2|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgaben dazu strukturiert in dein Heft.<br>Die Aufgaben aus dem Applet musst du nicht aufschreiben.|Üben}} | ||
{{LearningApp|app=pseoxkzda19|width=100%|height=600px}}<br> | |||
<ggb_applet id="grZhjEZ8" width="900" height="500" border="888888" /> | |||
<br> | |||
{{Box|Übung 3|Löse Buch | |||
* S. 88 Nr. 1 | * S. 88 Nr. 1 | ||
* S. 88 Nr. 2|Üben}} | * S. 88 Nr. 2|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen bzw. der Aufgabenstellung die nötigen Maße und setze sie in die Formel ein.<br> | |||
Lösungen (gemischt): 1,7; 4,88; 5,94; 8,64; 11,6; 16,5; 17,5; 20,14; 51,85|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}} | |||
====3) Formeln umstellen==== | |||
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.| | {{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Arbeitsmethode}} | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | ||
[[Datei:Formel Dreieck umstellen nach einer Seite.png|rahmenlos|276x276px]] | |||
</div> | </div> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | ||
[[Datei:Formel Dreieck umstellen nach einer Höhe.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | </div> | ||
<br> | |||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 4|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe dazu die Aufgaben strukturiert in dein Heft.<br>Die Aufgaben aus dem Applet musst du nicht aufschreiben.|Üben}} | ||
* S. | {{LearningApp|app=p5kjyzd8t19|width=100%|height=600px}}<br> | ||
<ggb_applet id="YAauDaSH" width="900" height="500" border="888888" /> | |||
<br> | |||
{{Box|Übung 5|Löse Buch | |||
* S. 88 Nr. 6 | |||
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die Zahlen ein und bereche.<br> | |||
Lösungen (gemischt): 6; 10,5; 12; 13,5; 14; 18; 30; 36<br> | |||
Achte auf die richtige Einheit!|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 6|3=Verbergen}} | |||
====4) Anwendungsaufgaben==== | |||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Dreiecken|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um'''). | ||
* S. 89 Nr. 9 | * S. 89 Nr. 9 | ||
* S. 89 Nr. 10 | * S. 89 Nr. 10 | ||
* S. 89 Nr. 11|Üben}} | * S. 89 Nr. 11|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht werden. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie mit den gegebenen Größen.|Tipp 1 zu Nr. 9|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht werden. Fertige eine Skizze an und beschrifte sie mit den gegebenen Größen.|Tipp 1 zu Nr. 9|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 9 S. 89 Nr. 9 Skizze.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Skizzen zu Nr. 9|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).<br>Lösung zur Kontrolle:A<sub>Holz</sub>=1,125m²<br> | {{Lösung versteckt|1=Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).<br>Lösung zur Kontrolle:A<sub>Holz</sub>=1,125m²<br> | ||
Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).<br>Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:<br> | Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).<br>Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:<br> | ||
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Um die Dachfläche zu bestimmen, berechne den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche und mutlipliziere diese mit 4.<br>Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | Um die Dachfläche zu bestimmen, berechne den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche und mutlipliziere diese mit 4.<br>Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Schulhoffläche hat die Form eines '''rechtwinkligen''' Dreiecks, von dem ein Rechteck abgezogen werden muss. Der Winkel oben links ist ein rechter Winkel. Daher ist eine der Seiten a und b die Grundseite und die andere Seite ist die Höhe des Dreiecks.|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die Schulhoffläche hat die Form eines '''rechtwinkligen''' Dreiecks, von dem ein Rechteck abgezogen werden muss. Der Winkel oben links ist ein rechter Winkel. Daher ist eine der Seiten a und b die Grundseite und die andere Seite ist die Höhe des Dreiecks.|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².<br>Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.<br> | {{Lösung versteckt|1=a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².<br>Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.<br> | ||
Lösung zur Kontrolle: A<sub>Schulhof</sub>=1074,15m²|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | Lösung zur Kontrolle: A<sub>Schulhof</sub>=1074,15m²|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 7|Nachdenkaufgaben: Löse Buch | ||
* S. 89 Nr. 12 | * S. 89 Nr. 12 | ||
* S. 90 Nr. 15 | * S. 90 Nr. 15 | ||
Nutze als Hilfe die nachfolgende Applets. Was geschieht mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Dreiecks. Notiere und erkläre.|Üben}} | Nutze als Hilfe die nachfolgende Applets. Was geschieht mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Dreiecks. Notiere und erkläre.|Üben}} | ||
<ggb_applet id="s6gkebvn" width="911" height="507" border="888888" /> | <ggb_applet id="s6gkebvn" width="911" height="507" border="888888" /> | ||
<ggb_applet id="fm2qyyjz" width="767" height="507" border="888888" /> | |||
<ggb_applet id="te6w3afp" width="911" height="507" border="888888" /> | |||
<small>Applets von C.Buß-Haskert</small><br> | |||
{{Box|Noch mehr Übungen|Du findest weitere Übungen auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/dreieck.shtml '''Aufgabenfuchs'''].|Üben}} | |||
Für die schnellen Rechner: | |||
{{Fortsetzung|weiter=5) Drachen (Deltoid)|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen}} | |||
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Du kannst das Kapitel zum Drachen überspringen, um Zeit zu sparen. Gehe sofort weiter zu den gemischten Übungsaufgaben. | |||
{{Fortsetzung|weiter=6) Bunte Mischung|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung}} |
Aktuelle Version vom 9. Dezember 2022, 03:54 Uhr
4.4) Dreieck: Umfang und Flächeninhalt
1) Höhen im Dreieck
Wiederhole zunächst die Bezeichnungen am Dreieck. Übertrage die Zeichnung in dein Heft.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Die Höhen stehen senkrecht auf den Dreiecksseiten und verlaufen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
Zeichne die Höhe hc zur Seite c:
Zeichne ebenso die Höhe ha zur Seite a:
... und die Höhe hb zur Seite b:
In einem stumpfwinkligen Dreieck verlaufen die Höhen teils außerhalb des Dreiecks. Die Dreiecksseite muss verlängert werden, um die Höhe einzeichnen zu können:
Übe zunächst das Einzeichnen der Höhen mit dem nachfolgenden Applet:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Bearbeite die nachfolgenden Applets Schritt für Schritt.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Du kannst die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auch anders herleiten:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Entnimm den Skizzen bzw. der Aufgabenstellung die nötigen Maße und setze sie in die Formel ein.
3) Formeln umstellen
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die Zahlen ein und bereche.
Lösungen (gemischt): 6; 10,5; 12; 13,5; 14; 18; 30; 36
4) Anwendungsaufgaben
Die Holzverkleidung hat die Form eines Dreiecks mit der Grundseite g=1,5m und der Höhe h=3,7-2,2=1,5(m).
Lösung zur Kontrolle:AHolz=1,125m²
Das Fenster hat die Form eines Trapezes mit den Seiten c=1,1+1,5+1,5=3,7(m), a=1,5(m) und der Höhe h=2,2(m).
Du kannst die Glasfläche auch als zusammengesetzte Fläche betrachten:
Ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke außen.
Lösung zur Kontrolle:A=5,72m²
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere jeweils die Fläche mit dem Preis pro m².
Eine Dreiecksfläche hat die Grundseite g=5,2m und die Höhe h=7,35m. Die andere Zahlenangabe ist für die Lösung dieser Aufgabe überflüssig!
Um die Kosten zu berechnen, multipliziere die Dachfläche mit dem Preis pro m²
a=44,8(m), h=b=58,5m, also beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks 1310,4m².
Die Fläche des Rechteck des Schulgebäudes (236,25m²) muss nun von dieser Fläche abgezogen werden.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applets von C.Buß-Haskert
Für die schnellen Rechner:
Du kannst das Kapitel zum Drachen überspringen, um Zeit zu sparen. Gehe sofort weiter zu den gemischten Übungsaufgaben.