Wir dürfen beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Danach multiplizieren wir die Zahlen und fassen gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen.
Beim Dividieren durch eine Zahl dividiere nur die Zahlen.
Beispiele:
a) a∙a = a²
b) 4b∙0,2b = 4∙0,2∙b∙b = 0,8b²
c) 12x∙7y = 12∙7∙x∙y = 84xy
d) 0,5c∙3d²∙6c = 0,5∙3∙6∙c∙c∙d² = 9c²d²
e) 6ab:3b = = 2∙a (gekürzt)
Je nachdem, in welcher Potenz die Variable vorkommt, unterschieden wir zwischen verschiedenen Gleichungen.
Lineare Gleichung: Die Variable kommt nur in einfacher Potenz vor, also x.
Beispiel: 3x + 4 (x - 3) = 4 - (3 - x) + 2
Quadratische Gleichung: Die Variable kommt in quadratischer Form vor, also x². Beispiel: -2x² + 2x + 24 = 0
Gleichungen höheren Grades: Die Variable kommt in höherer Potenz vor. Beispiel: 375 = 3x³
Übungen
Merksätze
Gleichungen lösen
Gleichungen lösen durch
Termumformungen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen
Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren/subtrahieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren (außer 0)
Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.
Merksätze
Das Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.
Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Additionsverfahren.
Merksätze
Das Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.
Gemischt quadratische Gleichungen lösen mit der p-q-Formel
Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein: x² + px + q = 0
Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x1/2 = -
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.
Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.
Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.
Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung
Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:
Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c. Mithilfe der quadratischen Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.
Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand wird Diskriminante D genannt. Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.
Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.
ist nicht lösbar, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.
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