Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisumfang

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Schullogo HLR.jpg




1 Kreisumfang u

1.1 Kreisumfang entdecken

Kreisumfang entdecken

Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?

Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.


Kreisumfang entdecken

a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:
Tabelle Umfang.png
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)

d) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.

Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.

Applet von Pöchtrager

Unfolding circle demonstration of pi.gif
Kreisumfang
Kreisumfang 1.png
Kreisumfang 2.png
Den Umfang u eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r)
berechnen wir mit der Formel:

u = π · d   oder u = 2· π · r  (denn d = 2·r)


Zusammenfassung:



1.2 Exkurs: Kreiszahl π

Football-157930 1280.png

Beim Kreis ist das Verhältnis von Umfang u und Durchmesser d ist immer gleich.

Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. = π = 3,141... Dieser Dezimalbruch endet nie.

Dorfuchs hat die ersten 200 Nachkommastellen von π mit einer Fußballjonglage verbunden: Beeindruckend!


Wir nähern uns Durfuchs an: 😉

20 Nachkommastellen:
32 Nachkommastellen:
40 Nachkommastellen (mit Seilspringen)


Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.

Applet von Pöchtrager

Pi-3166190 1920.png

Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:

  • eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
  • Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
  • mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
  • Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000  Dezimalstellen berechnet
  • beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:
Unfolding circle demonstration of pi.gif

π = = 3,14159...

  • Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.


Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
Taschenrechner pi.png


1.3 Kreisumfang - Berechnungen

Kreisumfang - Berechnungen

Kreisumfang Berechnungen Einstieg komplett.png[1]
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.

Vervollständige den Gedanken von Lara.



Kreisumfang - Berechnungen

Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln
u = π · d   oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.

Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.
Kreisumfang - Berechnungen
Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft

Beispiele:

Umfang u berechnen:

geg: d = 3,0 cm
ges: u
u = π · d   |Wert einsetzen
   = π · 3,0

   = 9,4 (cm)

geg: r = 1,0 cm
ges: u
u = 2 · π · r   |Wert einsetzen
   = 2 · π · 1,0

   = 6,3 (cm)
Durchmesser d berechnen:

geg: u = 15,7 cm
ges: d
u = π · d   |: π
= d   |Wert einsetzen
= d

5,0 (cm) = d
Radius r berechnen:

geg: u = 22,0 cm
ges: r
u = 2 · π · r   |: (2·π)
= r  Wert einsetzen
= r

3,5 (cm) = r




Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Übung 2 - Grundlagen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.

  • S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)
  • S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
  • S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)

Prüfe deine Lösungen mit dem Applet:

GeoGebra

Applet von C. Buß-Haskert


Kreisumfang - "Pi mal Daumen"
Woman-2759503 1920.jpg
Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent.

a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für

  • d = 40 cm
  • d = 8 cm
  • r = 3 cm.

b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.

c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.


1.4 Anwendungsaufgaben

Geometrische Anwendungen - Beispiele

Berechne den Umfang der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.

1. Beispiel:

Halbkreis im Quadrat 2.png
u = a + a + a + uHalbkreis
   = 5 + 5 + 5 + ·2·π·r
   = 15 + ·2·π·2,5
   ≈ 15 + 7,85
   = 22,85 [cm]

2. Beispiel:

Halbkreis im Viertelkreis.png
u = uViertelkreis + uHalbkreis + a
   = ·2·π· + ·2·π· + 6
   = ·2·π·6 + ·2·π·3 + 6
   ≈ 9,42 + 9,42 + 6
   = 24,84 [cm]

3. Beispiel:

Rechtwinkliges Dreieck mit Halbkreis.png
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):
d² = 3² + 4²
d =
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]
u = a + b + uHalbkreis
   = 3 + 4 + ·2·π·
   = 3 + 4 + ·2·π·2,5
   ≈ 7 + 7,85
   = 14,85 [cm]

 
Übung 3 - geometrische Anwendungen

Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.

  • S. 129 Nr. 4
  • S. 129 Nr. 5
  • S. 129 Nr. 8

Hilfsapplet zu Nr. 5

GeoGebra



Kreisumfang - Sachsituationen
Din A4 Blatt Rolle 3.png
Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.

a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.

Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.


Übung 4 - Sachsituationen
Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft.

Originallink https://www.geogebra.org/m/syux7xjs

GeoGebra

Applet von Schober


Übung 5 - Sachsituationen

Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

  • S. 129 Nr. 7 (**)
  • S. 130 Nr. 11 (*)
  • S. 130 Nr. 12 (*)
  • S. 130 Nr. 13 (*)
  • S. 130 Nr. 14 (*)
  • S. 130 Nr. 15 (**)
  • S. 130 Nr. 16 (**)
  • S. 130 Nr. 17 (*)


Übung 6 - online

Wähle von der Seite Aufgabenfuchs mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.

  • 9
  • 25
  • 26
  • 29
  • 30
  • 31
  • 32
  1. nach einer Idee von Schober auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/hh7dahad#material/ybzhmw8f