Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.
Kreisumfang entdecken
a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.
Applet von Pöchtrager
Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:
eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet
beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:
π = = 3,14159...
Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
1.3 Kreisumfang - Berechnungen
Kreisumfang - Berechnungen
[1]
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.
Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.
Kreisumfang - Berechnungen
Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln u = π · d oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.
Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:
Für d = 40 cm:
"Durchmesser mal 3" 40·3 = 120 (cm)
"plus 5%" 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):
d² = 3² + 4²
d =
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]
u = a + b + uHalbkreis
= 3 + 4 + ·2·π·
= 3 + 4 + ·2·π·2,5
≈ 7 + 7,85
= 14,85 [cm]
Übung 3 - geometrische Anwendungen
Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.
Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?
d1=2cm; d2=1cm; d3=; d4=; d5 = ; ...
Berechne jeweils die Umfänge: u1 = ·2·π = π; ...
Kreisumfang - Sachsituationen
Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.
Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt.
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r2=6370000+1,5 = 6370001,5(m)
Übung 5 - Sachsituationen
Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde). Entnimm den den Erdradius aus der Aufgabe. Berechne den Umfang der Erde und ergänze ihn um 1 m. Wie sehr vergrößert sich dann der Radius?
Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.
Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.
Länge = 25·π·d=...
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