Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisfläche

Kreisfläche A

Pizza - mini oder maxi

In deiner Lieblingspizzeria werden die Pizzen in zwei verschiedenen Größen angeboten:

Die Mini-Pizza hat einen Durchmesser von 20 cm,

der Durchmesser der Maxi-Pizza beträgt 40cm.

Pizza "Green Pepper" mini - 4,20 €

Pizza "Green Pepper" maxi - 12,60 €.

Wo bekommst du mehr Pizza für dein Geld?

Diskutiert, welche Größen gegeben bzw. gesucht sind.

Aufgabe aus dem Unterricht:
kleine Pizza: d₁ = 17cm; Preis: 2 Stück kosten 2,49€
mittlere Pizza: d₂ = 25cm; Preis: 2,49€

große Pizza: d₃ = 28cm; Preis: 2,89€

Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.

Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.

2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel

Kreisfläche - Herleitung der Formel

Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch.

a) Beschreibe, was geschieht.
b) Welche Figur entsteht?

c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.

Originallink https://www.geogebra.org/m/KvkYnd6A

Applet von Anthony Or. Education Bureau

Das Applet ist einfacher dargestellt und gibt bei er neu entstandenen Figur die Längen an. Kannst du nun eine Formel für den Flächeninhalt herleiten?
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC

Applet von R. Schmidt

Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= $\tfrac{u}{2}$ (halber Umfang) und b = r (Radius)

Also gilt:
A = a·b   | Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.
   = $\tfrac{u}{2}$ · r   | Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.
   = $\tfrac{\text{2πr}}{2}$ · r   | Kürze mit 2.
   = πr · r   | Fasse r·r zusammen.

= π·r²

Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:

Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:
Beschreibe!
Originallink https://www.geogebra.org/m/cQeSV4tC

Kreisfläche - Formel

Den Flächeninhalt A eines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:

A = π r²

Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =

\tfrac{d}{2}

.

Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:

2.2 Kreisfläche - Berechnungen

Kreisfläche - Formel umstellen

Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises
A = π·r² nach r um.

Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.

Erinnerung: Die Umkehraufgabe für das Quadrieren ist das Wurzelziehen:

Flächeninhaltesformel umstellen nach r.png

Beispiele:

Fläche A berechnen:

geg: r = 3,0 cm
ges: A
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 3,0²

= 28,27 (cm²)

geg: d = 5,0 cm
ges: A
r = $\tfrac{d}{2}$ = $\tfrac{5}{2}$ = 2,5 (cm)
A = π · r² |Wert einsetzen
= π · 2,5²

= 19,63 (cm²)

Radius r berechnen:

geg: A = 7,0 cm²
ges: r
A = π · r²   |: π
$\tfrac{A}{\pi}$ = r²  | $\surd$
$\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}$ = r   |Wert einsetzen
$\sqrt{\tfrac{7,0}{\pi}}$ = r
1,5 (cm) ≈ r

Durchmesser d berechnen:

geg: A = 18,10 cm²
ges: d
d = 2·r; Berechne zunächst r:
A = π · r²   |: π
$\tfrac{A}{\pi}$ = r²   | $\surd$
$\sqrt{\tfrac{A}{\pi}}$ = r   |Wert einsetzen
$\sqrt{\tfrac{18,10}{\pi}}$ = r
2,4 (cm) ≈ r

d = 2·r = 2 · 2,4 = 4,8 (cm)

Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

1
2
3
4

Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.

S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)
S. 132 Nr. 4

Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.

Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt

Ergänze die Tabelle.

Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?

Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.

Radius r und Umfang u:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannverdoppelt, verdreifacht, vervierfacht sich der Umfang u.
Radius r und Flächeninhalt A:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dannvervierfacht, verneunfacht, versechzehnfacht sich der Flächeninhalt A.

Prüfe deine Vermutung mit dem nachfolgenden GeoGebra-Applet:

2.3 Kreisfläche - Anwendungen

Jetzt kannst du die Einführungsaufgabe lösen: Bei welcher Pizza erhältst du mehr Pizza für dein Geld?

Mini-Pizza: d = 20cm, also r = 10cm; 4,20€

A = π · r²
= π · 10²
= 314,16 (cm²)
Preis pro cm²:

4,20 : 314,16 = 0,013 Euro pro cm².

Maxi-Pizza: d = 40cm, also r = 20cm; 12,60€

A = π · r²
= π · 20²
= 1256,64 (cm²)
Preis pro cm²:

12,60 : 1256,64 = 0,010 Euro pro cm².

Bei der Maxi-Pizza bezahle ich pro cm² weniger Geld.

Geometrische Anwendungen

Geometrische Anwendungen - Beispiele

Berechne den Flächeninhalt der Figuren. Notiere deine Überlegungen übersichtlich.

1. Beispiel:

A = A_Quadrat - A_Halbkreis
   = a² - $\tfrac{1}{2}$ ·π·r²
   = 5² - $\tfrac{1}{2}$ ·π·2,5²
   ≈ 25 - 9,82
   = 15,18 [cm²]

2. Beispiel:

A = A_Viertelkreis - A_Halbkreis
   = $\tfrac{1}{4}$ ·π· $r_1^2$ - $\tfrac{1}{2}$ ·π· $r_2^2$
   = $\tfrac{1}{4}$ ·π·6² - $\tfrac{1}{2}$ ·π·3²
   ≈ 28,27 - 14,14
   = 14,13 [cm²]

3. Beispiel:

Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):
d² = 3² + 4²
d = $\sqrt{3^2 + 4^2}$
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]
A = A_Dreieck + A_Halbkreis
   = $\tfrac{1}{2}$ ·g·h + $\tfrac{1}{2}$ ·π· $r^2$
   = $\tfrac{1}{2}$ ·3·4 - $\tfrac{1}{2}$ ·π·2,5²
   ≈ 6 + 9,82
   = 15,82 [cm²]

Übung 4 - Geometrische Anwendungen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.

S. 132 Nr. 6
S. 132 Nr. 8

Umfang u: Die Ameise läuft außen um die Figur herum. Addiere die Teilstrecken.
Flächeninhalt A: Male die Fläche innen drin aus.

Zerlege die Figur in Teilflächen A₁, A₂,... und berechne deren Flächeninhalt. Bestimme dann den gesamten Flächeninhalt als Summe der Teilflächen.

Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn

Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.
Berechne den Umfang des Halbkreises: u_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$ ·u_Kreis = $\tfrac{1}{2}$ ·2·π·r = π·r

Lösung: u = 9,1cm

Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A ₁und dem Flächeninhalt des Halbreises A₂.
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A₂ = A_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$ ·A_Kreis = $\tfrac{1}{2}$ ·π·r².

Lösung: 5,57cm²

Musterlösung (Schreibweisen) zu Nr. 6a:
Umfang u:
u_Halbkreis = $\tfrac{1}{2}$ ·u_Kreis
   = $\tfrac{1}{2}$ ·2·π·r
   = π·r
   = π·1
   = 3,14 (cm)
u_gesamt = 2 + 2 + 2 + 3,14 = 9,14 (cm)

Flächeninhalt A:

A₁ = A_Quadrat
= 2²

= 4 (cm²)

A₂ = A_Halbkreis
   = $\tfrac{1}{2}$ ·A_Kreis
   = $\tfrac{1}{2}$ ·π·r²
   = $\tfrac{1}{2}$ ·π·1²

= 1,57 (cm²)

A_gesamt = A₁ + A₂
= 4 + 1,57

= 5,57 (cm²)

Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm.
Lösung: u = 41,1 cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.

Lösung: A = 66,3 cm²

Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.

x² + x² = 4² &124;
2x² = 16
…
Lösung: u = 11,9cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A₁ des Dreiecks und dem Flächeninhalt A₂ des Halbkreises.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.

Lösung: A_gesamt = 3,92 + 6,28 = 10,2 (cm²) (mit genauen Werten 10,3)

Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises.
Radius r = 12:4 = 3 (cm)
Lösung: u = 35,8 (cm)

Flächeninhalt A: Lösung: 64,4 (cm²) (mit genauen Werten 64,3)

Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig.
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)

Flächeninhalt A: Lösung: A = 18,07 cm²

Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.

Lösung: Umfang u = 38,8cm
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.

Lösung: Flächeninhalt A = 104,55 cm²

Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise). Lösung: u = 25,1cm
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).

A_Figur =

\tfrac{1}{2}

π·4² - π·2² = 12,57 (cm²)

Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.

Lösung: u = 25,1cm; A = 37,70cm²

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).
Lösung: u = 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).

Lösung:A = 28,27cm³

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.

Lösung: A = 25,13cm²

Übung 5 - Geometrische Anwendungen

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

12
13
14
18

ODER:

Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.

Sachsituationen

Einstiegsaufgabe - Kreisfläche

Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:

Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?
Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?
Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?

Originallink: https://www.geogebra.org/m/krnwuf2s

Applet von Hans-Jürgen Elschenbroich

Übung 6 - Sachsituationen

Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.

S. 133, Nr. 10 (*)
S. 134, Nr. 16 (*)
S. 134, Nr. 17 (*)
S. 134, Nr. 18 (*)
S. 134, Nr. 19 (*)
S. 134, Nr. 20 (**)
S. 134, Nr. 21 (**)
S. 150, Nr. 7 (*)
S. 150, Nr. 8 (**)
S. 150, Nr. 9 (**)

Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.
A_Verschnitt = A_Quadrat - A_Kreise
    = 80 · 80 - 1·π·40²
    = 6400 - 5026,55
    = 1373,45cm²
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?

Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.

Der Mobilfunkmast gibt die Signale in jede Richtung weiter, das erreichte Gebiet ist also kreisförmig mit dem Radius r = 10km.

Die Flügellänge entspricht dem Radius, die Winderntefläche der Kreisfläche.
Lösung: a) A ≈ 1122,21 m²

b) A ≈ 3848,45 m²

Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.

Lösung: 8584 m²

Schätze die Größe des Mannes (ca. 1,80m) und damit den Durchmesser der Iris (ca. 3,20m). Berechne nun die Kreisfläche.

Um die Größe des Plakates zu bestimmen, überlege, wie groß die Iris im Verhältnis zur Körpergröße ist.

Berechne zunächst die Fläche des Topfbodens und die Fläche der Herdplatte.

Wie viel Prozent der Herdplatte werden vom Topf abgedeckt? p% =

\tfrac{A_Topf}{A_Platte}

Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.

Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der Umfang in Metern m gesucht oder die Fläche in Quadratmeter m²?

Um wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%.
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: Wie geht Prozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.

Lösung: p% = 91,7%

Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also um welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.

Für p% gilt dann p% =

\tfrac{W}{G}

.

Du kannst auch anders vorgehen:
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann auf wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat.
Gegeben sind hier also G und G⁺.
Berechne damit p⁺%.

Lösung: p⁺% = 191,7%, also ist p% = 91,7%

Die Umlaufbahn ist gesucht, also der Umfang u.

Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in

\tfrac{km}{h}

. Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.

Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.

Lösung: v = 11094,5

\tfrac{km}{h}

Übung 7 - Sachsituationen online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

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Löse auf auf der Seite Aufgabenfuchs 2 die Aufgabe

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Vermischte Übungen

Übung 8

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