Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile

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SEITE IM AUFBAU!!


3 Kreisteile

Welche Arten von Kreisteilen gibt es?
Mache dich mit den verschiedenen Begriffen vertraut:

GeoGebra

Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager

3.1 Kreisring

Kreisringe - Bogenschießen
Target-459833 1920.jpg
Archery-152912 1280.png
Die Scheibe beim Bogenschießen besteht aus Kreisringen mit fünf verschiedenen Farben, wobei jeder Farbring gleich breit ist. Der Durchmesser der Bogenscheibe beträgt 80 cm. Die Punkte werden danach verteilt, welcher Ring getroffen wird.

Die meisten Punkte gibt, wenn der gelbe Kreis getroffen wird, die wenigsten Punkte für das Treffen des weißen Kreisringes. Ist das sinnvoll?
a) Berechne dazu die Flächeninhalte der einzelnen Farbringe.

b) Leite eine Formel herleiten, mit der du den Flächeninhalt von Kreisringen bestimmen kannst.

Scheibe Bogenschießen.png
Für die Fläche des weißen Ringes, berechne zunächst den Flächeninhalt der gesamte Scheibe A1 mit dem Radius raußen = 40cm. Subtrahiere anschließend den Flächeninhalt des inneren Kreises A2 mit dem Radius rinnen = 32cm.

Jeder Kreisring ist 8 cm breit.

AKreisring weiß = A1 - A2
   = π·ra² - π·ri²
   = π·40² - π·32²
   = π·(40² - 32²)

   = 1809,56 (cm²)

Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:
schwarzer Ring: ra = 32cm; ri = 24cm.
blauer Ring: rra = 24cm; ri = 16cm.
roter Ring: ra = 18cm; ri = 8cm.

Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.

Vergleiche deine Lösung zu a)
Aweiß = 1809,56 cm²
Aschwarz = 1407,43 cm²
Ablau = 1005,31 cm²
Arot = 603,19 cm²
Agelb = 201,06 cm²

Da der Flächeninhalt immer kleiner wird, ist es sinnvoll für eine kleiner Fläche mehr Punkte zu verteilen.

Für die Berechnungen der Flächeninhalte der Kreisringe hast du immer vom äußeren Kreis den inneren Kreis subtrahiert. Leite so die Formel her:
AKreisring = Aaußen - Ainnen
     = π·r²a - π·r²i   | π als gleichen Faktor ausklammern

     = π·(r²a - r²i)


Kreisring

Flächeninhalt eines Kreisringes:
AKreisring = π·ra² - π·ri²   | (π als gleichen Faktor ausklammern)

     = π·(r²a - r²i)


Die Formel wird veranschaulicht im nachfolgenden Applet:

GeoGebra



Übung 1

Löse die Aufgabe aus dem Buch und prüfe deine Ergebnisse mit dem Applet oben.

  • S. 150 Nr. 6

Berechne zunächst r2.

r2=r1+a
Übung2

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 5
  • 23
Übung 3 - Anwendung
Löse die nachfolgenden LearningApps.



3.2 Kreisausschnitt AS und Kreisbogen b

Kreisteile - Begriffe

Teile einen Kreis durch zwei Radien.

Kreisteile Begriffe.png


Beobachte den Zusammenhang zwischen der Fläche des Kreisausschnittes und dem Mittelpunktswinkel α im nachfolgenden Applet:

GeoGebra

Applet von IT Wombat


Übung 4
Löse die folgende LearningApp zu Mittelpunktswinkeln und ihren Bezeichnungen


Übung 5

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5


Kreisausschnitt und Kreisbogen
Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.
Hefteintrag Kreisteile.png

Beispiele:
geg: r = 5cm; α = 72°

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnittes AS:
AS = π·r²·   |Werte einsetzen
   = π·5²·

   = 15,71 (cm²)
Berechne die Länge des Kreisbogens b:

b = 2·π·r·   |Werte einsetzen
   = 2·π·5·

   = 6,3 (cm)




Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine ausführliche und übersichtliche Darstellung.

  • S. 138 Nr. 2
  • S. 138 Nr. 3

Prüfe deine Lösungen mithilfe des Applets:

GeoGebra


Formeln umstellen
Aufgabe Formel Kreisausschnitt umstellen.png
a) geg: AS = 38,6 cm²; α = 108°

ges: r



Aufgabe Formel Kreisbogen umstellen.png
b) geg: b = 6cm; α = 48°

ges: r



Formel umstellen Kreisausschnitt nach Winkel.png
c) geg: r = 8,5 cm; AS = 70,6 cm²

ges: α



Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.
Formel Kreisausschnitt umstellen nach r.png
Formel Kreisbogen umstellen nach r.png
Formel Kreisausschnitt umstellen nach Winkel.png

Formeln umstellen


Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.

  • S. 138 Nr. 4
  • S. 138 Nr. 5
  • S. 138 Nr. 6
  • S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)

Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:
b=2·π·r·
1=2·π·1·   |·360
360 = 2·π·1·α   |:(2·π)
= α
57,3° ≈ α

2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.
b=2·π·r· &nbps; |b=r
r=2·π·r·   |·360
r·360 = 2·π·r·α   |:(2·π·r)
= α   |r kürzen
= α
57,3° ≈ α

b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)
oder b = 2r einsetzen
Lösung: α ≈ 114,6°
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)
oder b=0,5r

α ≈ 28,6°


Anwendungsaufgaben

Übung 8 - Anwendungen

Löse die Aufgabe aus dem Buch und die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

  • S. 138 Nr. 8
  • 12
  • 13
  • 39
  • 42
  • 43


Übung 9 - Profiaufgaben
Scheibenwischeraufgabe.png
* Scheibenwischer

Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer schwenkt über einen Winkel von 150° hin und her. Berechne den Flächeninhalt der erfassten Fläche.


Wendeltreppe Stufe.png
* Wendeltreppe
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.

Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:

GeoGebra

Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.

A = AKreisring ·
Der Mittelpunktswinkel α beträgt 360°:12 = 30°, da 12 Stufen genau 360° ergeben.

Zusammenfassung