Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
K (Parallelogramm ergänzt)
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<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div>
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<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div>
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Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:


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<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div>
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<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div>
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</div>
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  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div>
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<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div>
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  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div>
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  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div>
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  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div>
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  <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div>
  <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div>
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  </div>
 
{{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Ziehe im Applet das Geodreieck so, dass du die Höhe einzeichnen könntest. Prüfe mit dem Button, ob du richtig gearbeitet hast.|Üben}}
 
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{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}}
{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}}


[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
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<br>
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{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br>
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br>
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br>
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br>
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br>
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br>
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br>
'''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}}
'''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}}
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{{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch
{{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch
* S. 85 Nr. 1
* S. 85 Nr. 1
* S. 85 Nr. 2
* S. 85 Nr. 2
* S. 85 Nr. 6|Üben}}
* S. 85 Nr. 6|Üben}}


{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br>
{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br>
A=a∙h<sub>a</sub><br>&nbsp;&nbsp;=8∙5<br>&nbsp;&nbsp;=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br>
A=a∙h<sub>a</sub><br>&nbsp;&nbsp;=8∙5<br>&nbsp;&nbsp;=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br>
u=2a + 2b<br>&nbsp;&nbsp;=2∙8 + 2∙6<br>&nbsp;&nbsp;=28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
u=2a + 2b<br>&nbsp;&nbsp;=2∙8 + 2∙6<br>&nbsp;&nbsp;=28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}}




{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br>
{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br>
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}


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{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}}




{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}}
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}}


<div class="grid">
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<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br>
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:h<sub>a</sub><br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:h<sub>a</sub><br>
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br>
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br>
a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br>
a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br>
</div>
</div>


  <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br>
  <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:a<br>
A = a∙h<sub>a</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;:a<br>
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br>
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br>
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div>
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div>
</div>
</div>


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Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br>
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br>
u = 2a + 2b &nbsp;&nbsp;&#124;-2b<br>
u = 2a + 2b &nbsp;&nbsp;&#124;-2b<br>
u - 2b = 2a &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br>
u - 2b = 2a &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br>
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br>
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br>
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
{{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}}


{{Box|Übung 4|Löse Buch
{{Box|Übung 4|Löse Buch
* S. 85 Nr. 7
* S. 85 Nr. 7


* S. 96 Nr. 3
S. 96 Nr. 3


Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}




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Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}}
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}}




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* S. 86 Nr. 13|Üben}}
* S. 86 Nr. 13|Üben}}




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ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}





Version vom 1. November 2020, 07:18 Uhr

4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.


Höhen im Parallelogramm
Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

GeoGebra


Höhen im Parallelogramm zeichnen
Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen ha und hb. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie

Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.pngNullpunkt
Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.pngMittellinie

Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:

Parallelogramm Höhen einzeichnen 2.pngSchiebe den Nullpunkt auf die Seite.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.pngDrehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.pngZeichne die Höhe.
Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.pngBeschrifte die Zeichnung.

Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:

Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png


Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:

Beispiel 2

Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png

Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png

Beispiel 3

Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png

Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png
Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png
Übung 1: Höhen zeichnen
Ziehe im Applet das Geodreieck so, dass du die Höhe einzeichnen könntest. Prüfe mit dem Button, ob du richtig gearbeitet hast.
GeoGebra


Übung 2: Höhen zeichnen
Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

GeoGebra




Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Parallelogramm mit zwei Höhen.png
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙ha oder A = b∙hb; allgemein: A = g∙h
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).

Vorlage:Ev:youtube



GeoGebra


Übung 3

Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch

  • S. 85 Nr. 1
  • S. 85 Nr. 2
  • S. 85 Nr. 6

Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; ha=5cm und b=6cm.
A=a∙ha
  =8∙5
  =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²

u=2a + 2b
  =2∙8 + 2∙6
  =28 (cm)


Achte auf gleiche Einheiten!

a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm




Umstellen der Formel
Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.
Umstellen nach einer Seite:

A = a∙ha   |:ha
= a
a =

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙ha   |:a
= ha

ha =


Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
- b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.


Übung 4

Löse Buch

  • S. 85 Nr. 7
S. 96 Nr. 3
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.



Übung 5

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

  • S. 86 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.


GeoGebra


Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

  • S. 86 Nr. 9
  • S. 86 Nr. 10
  • S. 86 Nr. 11
  • S. 86 Nr. 12
  • S. 86 Nr. 13


Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.
Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)
S.86 Nr.10 Tipp.png

geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit

1. a = 6 m; ha= 4,25m

2. a = 4m; ha = 4,25m

35 Dachziegeln pro m²

ges.: Anzahl der Dachziegel
Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt.
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!

geg: Treppenaufgang Parallelogramm,

a= 3,30m; ha= 2,00 m

(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)

45,30€ pro m²

ges.: Kosten


Übung 7

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

  • S. 90 Nr. 14
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.
GeoGebra

4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.


Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

GeoGebra


Flächeninhalt und Umfang einer Raute
Raute mit Höhe.png



Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a∙ha

Raute mit Diagonalen.png
Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A =

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .


Übung 7

Löse Buch

  • S. 96 Nr. 5c
Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge. Berechne damit den Flächeninhalt.
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.

Raute S.96 Nr. 5c.png

Raute S.96 Nr. 5c mit Höhe.png