Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen
K (Parallelogramm ergänzt) Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 15: | Zeile 15: | ||
<ggb_applet id="BkjVfyDh" width="800" height="600" /> | <ggb_applet id="BkjVfyDh" width="800" height="600" /> | ||
Zeile 23: | Zeile 22: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div> | ||
</div> | </div> | ||
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest: | Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 49: | Zeile 38: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 67: | Zeile 51: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 87: | Zeile 63: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 99: | Zeile 71: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 111: | Zeile 79: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
{{Box|Übung 1: Höhen zeichnen|Ziehe im Applet das Geodreieck so, dass du die Höhe einzeichnen könntest. Prüfe mit dem Button, ob du richtig gearbeitet hast.|Üben}} | |||
<ggb_applet id="ESTtW7pU" width="1399" height="888" border="888888" /> | |||
{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | {{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | ||
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | [[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | ||
Zeile 131: | Zeile 92: | ||
<ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" /> | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br> | {{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br> | ||
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br> | Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br> | ||
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br> | '''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br> | ||
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br> | Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br> | ||
'''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}} | '''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{ev:youtube|PXiqKPhvzfQ|600|center}} | |||
{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | {{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | ||
<ggb_applet id="fxuakzxq" width="900" height="500" border="888888" /> | <ggb_applet id="fxuakzxq" width="900" height="500" border="888888" /> | ||
{{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch | {{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch | ||
* S. 85 Nr. 1 | * S. 85 Nr. 1 | ||
* S. 85 Nr. 2 | * S. 85 Nr. 2 | ||
* S. 85 Nr. 6|Üben}} | * S. 85 Nr. 6|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br> | {{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br> | ||
A=a∙h<sub>a</sub><br> =8∙5<br> =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br> | A=a∙h<sub>a</sub><br> =8∙5<br> =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br> | ||
u=2a + 2b<br> =2∙8 + 2∙6<br> =28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}} | u=2a + 2b<br> =2∙8 + 2∙6<br> =28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br> | {{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br> | ||
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}} | a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}} | ||
{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | {{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | ||
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}} | {{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}} | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | ||
A = a∙h<sub>a</sub> |:h<sub>a</sub><br> | A = a∙h<sub>a</sub> |:h<sub>a</sub><br> | ||
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br> | <math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br> | ||
a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br> | a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br> | ||
</div> | </div> | ||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | <div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | ||
A = a∙h<sub>a</sub> |:a<br> | A = a∙h<sub>a</sub> |:a<br> | ||
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br> | <math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br> | ||
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div> | h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 213: | Zeile 141: | ||
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br> | Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br> | ||
u = 2a + 2b |-2b<br> | u = 2a + 2b |-2b<br> | ||
u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br> | u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br> | ||
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br> | <math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br> | ||
Stelle die Formel entsprechend nach b um. | Stelle die Formel entsprechend nach b um. | ||
{{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}} | {{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}} | ||
{{Box|Übung 4|Löse Buch | {{Box|Übung 4|Löse Buch | ||
* S. 85 Nr. 7 | * S. 85 Nr. 7 | ||
S. 96 Nr. 3 | |||
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | ||
Zeile 245: | Zeile 162: | ||
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}} | Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}} | ||
<ggb_applet id="eemvx2an" width="800" height="620" /> | <ggb_applet id="eemvx2an" width="800" height="620" /> | ||
Zeile 263: | Zeile 178: | ||
* S. 86 Nr. 13|Üben}} | * S. 86 Nr. 13|Üben}} | ||
Zeile 293: | Zeile 207: | ||
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | ||
Version vom 1. November 2020, 07:18 Uhr
4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:
Beispiel 2
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Beispiel 3
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; ha=5cm und b=6cm.
A=a∙ha
=8∙5
=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²
=2∙8 + 2∙6
=28 (cm)
Achte auf gleiche Einheiten!
A = a∙ha |:ha
= a
a =
A = a∙ha |:a
= ha
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b |-2b
u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
- b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6 m; ha= 4,25m
2. a = 4m; ha = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!
geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; ha= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)
45,30€ pro m²
4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.
Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.