Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
(Link ergänzt)
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(10 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 39: Zeile 39:
schwarzer Ring: r<sub>a</sub> = 32cm; r<sub>i</sub> = 24cm.<br>
schwarzer Ring: r<sub>a</sub> = 32cm; r<sub>i</sub> = 24cm.<br>
blauer Ring: r<sub>a</sub> = 24cm; r<sub>i</sub> = 16cm.<br>
blauer Ring: r<sub>a</sub> = 24cm; r<sub>i</sub> = 16cm.<br>
roter Ring: r<sub>a</sub> = 18cm; r<sub>i</sub> = 8cm.<br>
roter Ring: r<sub>a</sub> = 16cm; r<sub>i</sub> = 8cm.<br>
Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}
Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.|2=Tipp 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösung zu a)<br>
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösung zu a)<br>
Zeile 69: Zeile 69:
{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 5
* 5
* 23|Üben}}
* 23 (Profi-Aufgabe, freiwillig)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=gegeben: A Kreisring und d, also auch der äußere Radius r<sub>a</sub>.<br>
Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreisringes nach <sub>i</sub> um:<br>
A = π·<math>r_a^2</math> - π·<math>r_i^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;+π·<math>r_i^2</math><br>
π·<math>r_i^2</math> + A = π·<math>r_a^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;-A<br>
π·<math>r_i^2</math> = π·<math>r_a^2</math> - A &nbsp;&nbsp;&#124;:π<br>
<math>r_i^2</math> = <math>\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>r_i^2</math> = <math>\sqrt{\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;Werte einsetzen<br>
<math>r_i</math> = ...|2=Formel umstellen Nr. 23|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 4 - Anwendung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{Box|Übung 4 - Anwendung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=ppwg6p33j21|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=ppwg6p33j21|width=100%|height=600px}}
Zeile 89: Zeile 98:
{{LearningApp|app=p3o29ay9n20|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p3o29ay9n20|width=100%|heigth=600px}}


{{Box|Übung 6|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/teilkreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1
* 2
* 3
* 4
* 5|Üben}}


{{Box|1=Kreisausschnitt und Kreisbogen|2=Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.<br>[[Datei:Hefteintrag Kreisteile.png|rahmenlos|800x800px]]|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Kreisausschnitt und Kreisbogen|2=Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.<br>[[Datei:Hefteintrag Kreisteile.png|rahmenlos|800x800px]]|3=Arbeitsmethode}}
Zeile 110: Zeile 113:
&nbsp;&nbsp; = 6,3 (cm)<br></div>
&nbsp;&nbsp; = 6,3 (cm)<br></div>
</div>
</div>
{{Box|Übung 6|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/teilkreis.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1
* 2
* 3
* 4
* 5|Üben}}
<br>
<br>
<div class="grid">
<div class="grid">
Zeile 151: Zeile 163:


{{Box|Übung 8|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.
{{Box|Übung 8|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.
* S. 138 Nr. 4
* S. 138 Nr. 4 b,c
* S. 138 Nr. 5
* S. 138 Nr. 5 a,c
* S. 138 Nr. 6
* S. 138 Nr. 6
* S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)|Üben}}
* S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: b und r<br>
ges: α<br>
Stelle die Kreisbogen-Formel nach α um:<br>
b = 2πr·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·360 ("Nenner weg")<br>
360°·b = 2πr·α &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124; : (2πr)<br>
<math>\tfrac{360 \cdot b}{2\pi r}</math> = α &nbsp;&nbsp;&#124; Werte einsetzen<br>
... |2=Tipp zu Nr. 5a (Formel umstellen)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen:<br>
4b) r ≈ 1,11 cm; 4c) r ≈ 20,0 cm<br>
5a) α ≈ 80,21°; 5c) α ≈ 144,3°|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 und 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...<br>
{{Lösung versteckt|1=Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...<br>
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:<br>
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:<br>
Zeile 196: Zeile 218:
[[Datei:Wendeltreppe Stufe.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]* Wendeltreppe<br>
[[Datei:Wendeltreppe Stufe.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]* Wendeltreppe<br>
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.|Üben}}
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:<br>
{{Lösung versteckt|1=Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:<br>Originallink: https://www.geogebra.org/m/ruaau9qb<br>
<ggb_applet id="ruaau9qb" width="1904" height="948" border="888888" /><br>|2=Tipp Animation|3=Verbergen}}
<ggb_applet id="ruaau9qb" width="1904" height="948" border="888888" /><br>|2=Tipp Animation|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.<br>
{{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.<br>

Aktuelle Version vom 19. April 2024, 14:28 Uhr

Schullogo HLR.jpg



3 Kreisteile

Welche Arten von Kreisteilen gibt es?
Mache dich mit den verschiedenen Begriffen vertraut:

GeoGebra

Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager


Übung 1 - Begriffe
Bearbeite die nachfolgenden Apps (Autor: FLINK-Team, GeoGebra)

GeoGebra


3.1 Kreisring

Kreisringe - Bogenschießen
Target-459833 1920.jpg
Archery-152912 1280.png
Die Scheibe beim Bogenschießen besteht aus Kreisringen mit fünf verschiedenen Farben, wobei jeder Farbring gleich breit ist. Der Durchmesser der Bogenscheibe beträgt 80 cm. Die Punkte werden danach verteilt, welcher Ring getroffen wird.

Die meisten Punkte gibt, wenn der gelbe Kreis getroffen wird, die wenigsten Punkte für das Treffen des weißen Kreisringes. Ist das sinnvoll?
a) Berechne dazu die Flächeninhalte der einzelnen Farbringe.

b) Leite eine Formel herleiten, mit der du den Flächeninhalt von Kreisringen bestimmen kannst.

Scheibe Bogenschießen.png
Für die Fläche des weißen Ringes, berechne zunächst den Flächeninhalt der gesamte Scheibe A1 mit dem Radius raußen = 40cm. Subtrahiere anschließend den Flächeninhalt des inneren Kreises A2 mit dem Radius rinnen = 32cm.

Jeder Kreisring ist 8 cm breit.

AKreisring weiß = A1 - A2
   = π·ra² - π·ri²
   = π·40² - π·32²
   = π·(40² - 32²)

   = 1809,56 (cm²)

Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:
schwarzer Ring: ra = 32cm; ri = 24cm.
blauer Ring: ra = 24cm; ri = 16cm.
roter Ring: ra = 16cm; ri = 8cm.

Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.

Vergleiche deine Lösung zu a)
Aweiß = 1809,56 cm²
Aschwarz = 1407,43 cm²
Ablau = 1005,31 cm²
Arot = 603,19 cm²
Agelb = 201,06 cm²

Da der Flächeninhalt immer kleiner wird, ist es sinnvoll für eine kleiner Fläche mehr Punkte zu verteilen.

Für die Berechnungen der Flächeninhalte der Kreisringe hast du immer vom äußeren Kreis den inneren Kreis subtrahiert. Leite so die Formel her:
AKreisring = Aaußen - Ainnen
     = π·r²a - π·r²i   | π als gleichen Faktor ausklammern

     = π·(r²a - r²i)


Kreisring

Flächeninhalt eines Kreisringes:
AKreisring = π·ra² - π·ri²   | (π als gleichen Faktor ausklammern)

     = π·(r²a - r²i)


Die Formel wird veranschaulicht im nachfolgenden Applet: https://www.geogebra.org/m/mdksvgq6

GeoGebra



Übung 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch und prüfe deine Ergebnisse mit dem Applet oben.

  • S. 150 Nr. 6

Berechne zunächst r2.

r2=r1+a
Übung 3

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 5
  • 23 (Profi-Aufgabe, freiwillig)

gegeben: A Kreisring und d, also auch der äußere Radius ra.
Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreisringes nach i um:
A = π· - π·   |+π·
π· + A = π·   |-A
π· = π· - A   |:π
=   |
=   |Werte einsetzen

= ...


Übung 4 - Anwendung
Löse die nachfolgenden LearningApps.



3.2 Kreisausschnitt AS und Kreisbogen b

Kreisteile - Begriffe

Teile einen Kreis durch zwei Radien.

Kreisteile Begriffe.png


Beobachte den Zusammenhang zwischen der Fläche des Kreisausschnittes und dem Mittelpunktswinkel α im nachfolgenden Applet:

GeoGebra

Applet von IT Wombat


Übung 5
Löse die folgende LearningApp zu Mittelpunktswinkeln und ihren Bezeichnungen



Kreisausschnitt und Kreisbogen
Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.
Hefteintrag Kreisteile.png

Beispiele:
geg: r = 5cm; α = 72°

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnittes AS:
AS = π·r²·   |Werte einsetzen
   = π·5²·

   = 15,71 (cm²)
Berechne die Länge des Kreisbogens b:

b = 2·π·r·   |Werte einsetzen
   = 2·π·5·

   = 6,3 (cm)


Übung 6

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5





Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine ausführliche und übersichtliche Darstellung.

  • S. 138 Nr. 2
  • S. 138 Nr. 3

Prüfe deine Lösungen mithilfe des Applets:

GeoGebra



Formeln umstellen

Formeln umstellen
Aufgabe Formel Kreisausschnitt umstellen.png
a) geg: AS = 38,6 cm²; α = 108°

ges: r



Aufgabe Formel Kreisbogen umstellen.png
b) geg: b = 6cm; α = 48°

ges: r



Formel umstellen Kreisausschnitt nach Winkel.png
c) geg: r = 8,5 cm; AS = 70,6 cm²

ges: α



Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.
Formel Kreisausschnitt umstellen nach r.png
Formel Kreisbogen umstellen nach r.png
Formel Kreisausschnitt umstellen nach Winkel.png



Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.

  • S. 138 Nr. 4 b,c
  • S. 138 Nr. 5 a,c
  • S. 138 Nr. 6
  • S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)

geg: b und r
ges: α
Stelle die Kreisbogen-Formel nach α um:
b = 2πr·   |·360 ("Nenner weg")
360°·b = 2πr·α    | : (2πr)
= α   | Werte einsetzen

...

Lösungen:
4b) r ≈ 1,11 cm; 4c) r ≈ 20,0 cm

5a) α ≈ 80,21°; 5c) α ≈ 144,3°

Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:
b=2·π·r·
1=2·π·1·   |·360
360 = 2·π·1·α   |:(2·π)
= α
57,3° ≈ α

2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.
b=2·π·r· &nbps; |b=r
r=2·π·r·   |·360
r·360 = 2·π·r·α   |:(2·π·r)
= α   |r kürzen
= α
57,3° ≈ α

b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)
oder b = 2r einsetzen
Lösung: α ≈ 114,6°
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)
oder b=0,5r

α ≈ 28,6°


Anwendungsaufgaben

Übung 9 - Anwendungen

Löse die Aufgabe aus dem Buch und die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

  • S. 138 Nr. 8
  • 12
  • 13
  • 39
  • 42
  • 43
Du findest im Aufgabentext Informationen zum Radius und zum Mittelpunktswinkel.


Übung 10 - Profiaufgaben
Scheibenwischeraufgabe.png
* Scheibenwischer

Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer schwenkt über einen Winkel von 150° hin und her. Berechne den Flächeninhalt der erfassten Fläche.


Wendeltreppe Stufe.png
* Wendeltreppe
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.

Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:
Originallink: https://www.geogebra.org/m/ruaau9qb

GeoGebra

Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.

A = AKreisring ·
Der Mittelpunktswinkel α beträgt 360°:12 = 30°, da 12 Stufen genau 360° ergeben.

Zusammenfassung