Du hast jeweils den Durchmesser der Pizzen gegeben, damit kannst du den Radius berechnen.
Um die Frage zu beantworten, musst du den Flächeninhalt der Pizzen berechnen können.
Zum Schluss muss der jeweilige Preis durch die Fläche dividiert werden, dann kannst du vergleichen, wie groß die Fläche ist, die du pro Euro bekommst.
2.1 Kreisfläche - Herleitung der Formel
Kreisfläche - Herleitung der Formel
Führe die beschriebenen Schritte im GeoGebra-Applet durch.
a) Beschreibe, was geschieht.
b) Welche Figur entsteht?
c) Leite damit eine Formel für die Kreisfläche her.
Die Fläche, die durch das Einteilen des Kreises und das Umlegen entsteht, hat annähernd die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen a= (halber Umfang) und b = r (Radius)
Also gilt:
A = a·b | Setze für a den halben Umfang und für b den Radius ein.
= · r | Setze für u die Formel für den Umfang ein: u =2πr.
= · r | Kürze mit 2.
= πr · r | Fasse r·r zusammen.
= π·r²
Das Video fasst die Herleitung der Formel zusammen:
Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Kreises abzuschätzen, zeigt das folgende Applet von Pöchtrager:
Beschreibe!
Kreisfläche - Formel
Den Flächeninhalt Aeines Kreises kann man mithilfe des Radius r berechnen:
A = π r²
Wenn der Durchmesser gegeben ist, berechne zunächst den Radius r =.
Merke dir die Formel mit dem Lied von Dorfuchs:
2.2 Kreisfläche - Berechnungen
Kreisfläche - Formel umstellen
Stelle die Formel für den Flächeninhalt des Kreises
A = π·r² nach r um.
Übertrage anschließend die Beispielaufgaben in dein Heft.
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe ausführlich und übersichtlich. Notiere - falls nötig - und die Umstellung der Formel. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
S. 131 Nr. 1 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 131 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 132 Nr. 3 (Wähle aus: a und c oder b und d)
S. 132 Nr. 4
Prüfe deine Lösungen mithilfe der LearningApp. Trage deine Lösung ein und klicke den Prüfbutton. Hake im Heft deine Ergebnisse ab.
Übung 3 - Zusammenhang zwischen Radius und Umfang bzw. Radius und Flächeninhalt
Ergänze die Tabelle.
Trage die Werte in ein Koordinatenkreuz ein. Was fällt dir auf?
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft.
Radius r und Umfang u:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann, , sich der Umfang u.
Radius r und Flächeninhalt A:
Wenn man den Radius r eines Kreises verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht,... dann, , sich der Flächeninhalt A.
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Überlegungen ausführlich und übersichtlich. Zeichne - falls nötig - Teilskizzen. Prüfe deine Lösungen und hake ab.
Der Radius der Halbkreise beträgt r = 1 cm, denn
Für den Umfang läuft die Ameise an drei Seiten des Quadrates und den Halbkreisbogen entlang.
Berechne den Umfang des Halbkreises: uHalbkreis = ·uKreis = ·2·π·r = π·r
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des Quadrates A 1und dem Flächeninhalt des Halbreises A2.
Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises A2 = AHalbkreis = ·AKreis = ·π·r².
Umfang u: Die Ameise läuft 4 Viertelkreisbögen, also um einen ganzen Kreis herum. Außerdem läuft sie viermal die Strecke vom 4cm.
Lösung: u = 41,1 cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Quadrat in der Mitte und 4 Viertelkreisen, also einem ganzen Kreis.
Umfang u: Das Dreieck ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Basis ist 4cm lang. Bestimme die Länge der Schenkel mit dem Satz des Pythagoras.
x2 + x2 = 42 &124;
2x2 = 16
…
Lösung: u = 11,9cm
Flächeninhalt A: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt A1 des Dreiecks und dem Flächeninhalt A2 des Halbkreises.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, sind die Schenkel je Grundseite und Höhe des Dreiecks.
Umfang u: Auch hier handelt es sich um ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Bestimme die Schenkellänge mit dem Satz des Pythagoras (vgl. Aufgabe 6c). Der Umfang der zwei Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises.
Radius r = 12:4 = 3 (cm)
Lösung: u = 35,8 (cm)
Der Winkel 45° bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein halbes Quadrat handelt. Das Dreieck ist also ebenfalls gleichschenklig rechtwinklig.
Damit beträgt der Radius des Halbkreises r = 4,5:2 = 2,25 (cm) .
Umfang u: Bestimme die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: u = 18,0 cm (mit genauen Werten 17,9)
Berechne den Radius des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung: Umfang u = 38,8cm
Flächeninhalt A: Die Grundseite des Dreiecks ist 2r lang, die Höhe beträgt 8cm. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. Falls du die Formel nicht mehr weißt, findest du sie hinten im Schulbegleiter.
Der Durchmesser d beträgt immer 8cm. Bestimme jeweils den Durchmesser bzw. Radius der kleineren Kreise und berechne damit den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.
Der Umfang u setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: u = 25,1cm
Um die Fläche der Figur zu berechnen, subtrahiere vom großen Halbkreis die zwei kleinen Halbkreise (bzw. einen ganzen kleinen Kreis).
Der Umfang der Figur ist genauso groß wie in Teil a.
Der Flächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe des großen Halbkreises und eines kleinen Kreises.
Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem großen Halbkreis, dem mittleren Halbkreis und zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).
Lösung: u = 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur setzt sich zusammen aus dem Flächeninhalt des großen Halbreises + dem Flächeninhalt des mittleren Halbkreises - zwei kleinen Halbkreisen (also einem ganzen kleinen Kreis).
Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Umfang des großen Halbkreises und dem Umfang eines ganzen kleinen Kreises (zwei Halbkreise).
Lösung: 25,1cm
Der Flächeninhalt der Figur ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises, denn der kleine Halbkreis wird einmal addiert und dann wieder subtrahiert.
Konstruiere mit dem Zirkel Figuren aus Kreisen bzw. Halbkreisen und berechne dazu Umfang und Flächeninhalt.
Sachsituationen
Einstiegsaufgabe - Kreisfläche
Betrachte das nachfolgende Applet und beantworte die folgenden Fragen:
Aus einem Quadrat der Seitenlänge a wird ein maximaler Kreis ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt der Abfall?
Jetzt werden 4, 9, 16 gleich große Kreise ausgeschnitten. Wieviel Prozent beträgt nun der Abfall?
Auch wenn das Ergebnis zunächst überraschen mag, kann man es einfach erklären. Betrachte für n > 1 den Zusammenhang zwischen dem hervorgehobenen kleinen Quadrat mit kleinem Kreis und der Figur für n = 1. Wie entstehen diese Figuren auseinander? Was bedeutet das für die Flächen?
Löse so viele Aufgaben, dass du mindestes 7 Sternchen sammelst. Notier deine Rechnungen ausführlich und übersichtlich. Prüfe deine Lösungen und hake ab.
Der Flächeninhalt des Verschnittes berechnest du, indem du die Kreisflächen von der Quadratfläche subtrahierst. Bestimme für die Berechnung der Kreisflächen jeweils den Radius der Kreise.
AVerschnitt = AQuadrat - AKreise
= 80 · 80 - 1·π·40²
= 6400 - 5026,55
= 1373,45cm²
Rechne weiter für die übrigen Figuren. Was fällt dir auf?
Der Flächeninhalt der Kreise insgesamt beträgt immer 5026,55 cm², daher bleibt der Verschnitt gleich.
Die Kreisform entsteht, da die Bewässerungsanlagen sich kreisförmig drehen.
Um die ungenutzte Fläche zu berechnen, subtrahiere die Kreisfläche von der quadratischen Fläche.
Was ist gesucht, der Umfang oder der Flächeninhalt? Für den Umfang überlege, ob "Kalle läuft" bzw. wie in den Videos eine Ameise den Weg läuft. Für den Flächeninhalt überlege, ob du die gesuchte Größe als Fläche ausmalen könntest.
Achte auch auf die Einheit der gesuchten Größe: Ist der Umfang in Metern m gesucht oder die Fläche in Quadratmeter m²?
Um wie viel Prozent ... ist gefragt. Du benötigst für die Prozentrechnung also die Größen Grundwert G und Prozentwert W. Berechne diese und damit dann den Prozentsatz p%.
Erinnerung: Formel für die Prozentrechnung: Wie geht Prozentrechnung? W = G·p%. Stelle diese Formel nach p% um.
Die Größe der zweiten Pizza wird mit der der ersten Pizza verglichen. Also ist G der Flächeninhalt der ersten Pizza. W ist die Differenz der Flächeninhalte, also um welche Fläche die große Pizza größer ist also die kleine.
Du kannst auch anders vorgehen:
Berechne den Flächeninhalt der kleinen und der große Pizza. Überlege dann auf wie viel Prozent der kleinen Pizza sich die Fläche der zweiten Pizza vergrößert hat. Gegeben sind hier also G und G+.
Berechne damit p+%.
Tipp zur Bahngeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit gibt an, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wird (in . Du benötigst also die Strecke, die zurückgelegt wird und die Zeit, in der diese Strecke zurückgelegt wird.
Strecke: Länge der Umlaufbahn, also u.
Zeit: Der Satellit ist geostationär, er bewegt sich also genauso schnell, wie die Erde sich dreht. Für eine ganze Umlaufbahn benötigt er also 24 Stunden (einen Tag), denn die Erde dreht sich in 24 Stunde einmal um ihre Achse.
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