Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm

Einstieg und Vorwissen
1) Vierecke und ihre Eigensschaften
2) Haus der Vierecke
3) Winkelsumme im Viereck
4) Umfang und Flächeninhalt

• 4.1) Quadrat und Rechteck
  
• 4.2) Parallelogramm
  
• 4.3) Trapez
  
• 4.4) Dreieck
  
• 4.4) Drachen
  
• 4.5) Bunte Mischung

4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt

Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.

Höhen im Parallelogramm

Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.

Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?

Höhen im Parallelogramm zeichnen

Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h_a und h_b. Die Bildfolgen helfen dir dabei.

Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie

Nullpunkt

Mittellinie

Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:

Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.

Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.

Zeichne die Höhe.

Beschrifte die Zeichnung.

Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:

Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:

Beispiel 2

Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Beispiel 3

Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.

Übung 1: Höhen zeichnen

Setze im nachfolgenden Applet den Haken bei Parallelogramm . Schiebe dann das Geodreieck so, wie du es zum Einzeichnen der Höhen legen musst.Prüfe die Lage des Geodreiecks, indem du den Haken in den Feldern h_a bzw. h_b setzt.

Und nun im Heft...

Übung 2: Höhen zeichnen

Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.

Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.

Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.
A = a∙h_a oder A = b∙h_b; allgemein: A = g∙h
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit

u = 2a + 2b oder u = 2(a + b).

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Übung 3

Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch

• S. 85 Nr. 1
• S. 85 Nr. 2
• S. 85 Nr. 6

Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h_a=5cm und b=6cm.
A=a∙h_a
  =8∙5
  =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²

u=2a + 2b
  =2∙8 + 2∙6
  =28 (cm)

Achte auf gleiche Einheiten!

a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm

Umstellen der Formel

Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden.
1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.
2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.

Umstellen nach einer Seite:

A = a∙h_a   |:h_a
$\tfrac{A}{ha}$ = a
a = $\tfrac{A}{ha}$

Umstellen nach einer Höhe:

A = a∙h_a   |:a
$\tfrac{A}{a}$ = h_a

h_a = $\tfrac{A}{a}$

Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b   |-2b
u - 2b = 2a   |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
$\tfrac{u}{2}$ - b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.

Übung 4

Löse Buch

• S. 85 Nr. 7
• S. 96 Nr. 3

Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.

Übung 5

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 86 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.

Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen

Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächeninhalt A(innen drin) und Umfang u (drum herum).

• S. 86 Nr. 9

• S. 86 Nr. 10

• S. 86 Nr. 11

• S. 86 Nr. 12

• S. 86 Nr. 13

Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.

Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)

geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit

1. a = 6 m; ha= 4,25m

2. a = 4m; ha = 4,25m

35 Dachziegeln pro m²

ges.: Anzahl der Dachziegel

Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt.
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!

geg: Treppenaufgang Parallelogramm,

a= 3,30m; ha= 2,00 m

(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)

45,30€ pro m²

ges.: Kosten

Übung 7

Nachdenkaufgabe: Löse Buch

• S. 90 Nr. 14

Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.

4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?

Flächeninhalt und Umfang einer Raute

Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Daher ist der Flächeninhalt A einer Raute:
A = a∙h_a

Sind e und f die Diagonalen der Raute gilt zudem:

A = $\frac{\text{e*f}}{\text{2}}$

Der Umfang u einer Raute wird berechnet mit

u = 4a .

Übung 7

Löse Buch

• S. 96 Nr. 5c

Zeichne die Diagonalen ein und miss ihre Länge. Berechne damit den Flächeninhalt.
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.