Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars "Digitale Werkzeuge in der Schule".

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

1 Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden?

	Mittels einer Sekante.
	Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
	Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
	Mittels einer Tangente.

2 Was gibt die Tangentensteigung an?

	Die durchschnittliche Änderungsrate.
	Die lokale Änderungsrate.
	Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

3 Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von $f(x)=x+5.$

	-1
	1
	5

4 Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?

	zwei Extrema
	drei Extrema
	vier Extrema
	keinen Wendepunkt
	einen Wendepunkt
	zwei Wendepunkte

5 $f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2$ verhält sich...

	im Unendlichen wie $g(x)=\frac{5}{8}x^3$.
	im Unendlichen wie $g(x)=-\frac{5}{8}x^3$.
	nahe Null wie $h(x)=-3x+2$.
	nahe Null wie $h(x)=3x+2$.

6 Auf einem Intervall $[x_1, x_2)$ ist eine Funktion $f(x)$ streng monoton steigend, auf dem Intervall $(x_2, x_3]$ ist $f(x)$ streng monoton fallend ($x_1<x_2<x_3$). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen.

	Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall $[x_1, x_3]$ monoton steigend
	$f'(x_1)>0$
	$f'(x_2)=0$
	An der Stelle $x_2$ bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

7 Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an!

	Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
	Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
	Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
	Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
	Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion

8 Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung.

	Wahr
	Falsch

9 Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte.

	Wahr
	Falsch

10 Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt

	einen Hochpunkt.
	einen Wendepunkt.
	eine Nullstelle.
	einen Sattelpunkt.

11 Löse folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{rlllll}\\ I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\ II\quad & 3x & + & 11y & = & 11 \end{array}$

Welche Aussage trifft auf $x$ und $y$ zu?

	$x > 0$, $y > 6$
	$x > 1$, $y < 6$
	$x < 1$, $y > 3$
	$x < 0$, $y < 3$

12 Eine Funktion $f(x)$ beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. $x$ wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht.

	$f(10)=55$
	$f'(20)=0$
	$f(20)$ ist eine Wendestelle.
	$f(60)=f(0)$
	Im Intervall $[20,60]$ ist $f'(x)$ negativ.
	Im Intervall $[20,60]$ hat $f'(x)$ mindestens eine Nullstelle.

13 Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.

	Wahr
	Falsch

14 Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme?

	Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
	Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
	Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
	Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

15 Sei $f(x)$ die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde ($km/h$) angibt, dann gilt für die Stammfunktion $F(x)$:

	$F(x)$ gibt die Beschleunigung des Autos an.
	$F(x)$ gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
	$F(x)$ gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
	$F(x)$ gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

16 Eine Stammfunktion von $f(x) = x^2 \cdot cos(x)$ lautet $F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x)$.

	wahr
	falsch

17 Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion $b(x)= x^2 + 1$ mit dem Flächeninhalt $B=6$.

Flächeninhalt der Funktion $b(x)$.

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)

	2
	9
	13

18 Bestimme den Wert des Integrals $\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx$

	12
	6
	9

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate
• bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
• bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel Optimierungsprobleme
• bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel Steckbriefaufgaben
• bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt
• bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel Von der Randfunktion zur Integralfunktion