Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

Info

Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, Änderungsrate und Änderungseffekt, erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Herleitung des Integrals

Konstante und lineare Funktionen

Beispiel 1: Jogger

Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion $f(x) = 3$, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt? Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m ($3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m$) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle $[0,b]$ auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion F(x) mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

Beispiel 2: Durchflussrate

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate $f$ der Leitung für das Intervall $[0, 9]$ dargestellt.

Figur 1

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viele Liter Wasser befinden sich nach 9 Minuten im Wassertank?

Tipp

Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.

Lösungsweg

Im Intervall $[0;3]$ beträgt der Zufluss $2\frac{L}{min}$. In diesen 3 Minuten fließen $A1 = 2 \frac{L}{min} \cdot 3\ min = 6 L$ in den Tank. Im Intervall $[3;5]$ beträgt die mittlere Zuflussrate $1\frac{L}{min}$. In diesen 2 Minuten kommen $A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{L}{min} \cdot 2\ min = 2 L$ dazu. Im Intervall $[5;9]$ ist die Durchflussrate negativ. Es fließen $A3 = 1{,}5 \frac{L}{min} \cdot 4\ min = 6 L$ ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall $[a;b]$ mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegende Flächen negativ zählt. Dieser orientierte Flächeninhalt beträgt beim Wassertank:

$A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)$

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 L. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 L im Tank.

Lösung

Es befinden sich nach 9 Minuten 2 Liter im Wassertank.

Merke: Orientierter Flächeninhalt

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die Gesamtänderung der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)

Allgemeine Herleitung und Definition

Idee für ganzrationale Funktionen

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es, den Änderungseffekt durch Rechtecks- und Dreiecksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher? Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln, nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht, sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die Untersumme. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das Integral aktivieren.

Hinweise:

• $N$ markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
• Das $\Delta x$ gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen sind, desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das $\Delta x$.
• Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen unter dem Graphen an.

Was du erkennen kannst

• Je mehr Unterteilungen es gibt, desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
• Je mehr Unterteilungen der Untersumme es gibt, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
• Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
• Je mehr Unterteilungen es gibt und je kleiner das $\Delta x$ ist, desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.

Definition: Integral

Die Funktion $f$ sei auf dem Intervall $[a;b]$ stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und $A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x$ sei eine beliebige Rechtecksumme zu $f$ über dem Intervall $[a;b]$.

Dann heißt der Grenzwert $\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n$ Integral der Funktion $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ .

Man schreibt dafür:

$\int_{a}^{b} f(x) dx$ (lies: Integral von $f(x)$ von $a$ bis $b$).

Hinweis: Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die Idee für ganzrationalen Funktionen an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [1]

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Die Funktion $f$ sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall $[a;b]$. Dann gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ für eine beliebige Stammfunktion $F$ von $f$ auf $[a;b]$.

Stammfunktionen bilden

Stammfunktion Definition

Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion zu einer Funktion $f$ auf einem Intervall $[a,b]$, wenn gilt: $F'(x) = f(x)$. Sind $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ auf einem Intervall $[a,b]$, dann gibt es eine Konstante $c$, sodass gilt:

$F(x) = G(x)+c$

Satz: Bestimmung von Stammfunktionen

Zur Funktion $f$ mit $f(x)=x^r$ $(r \neq -1)$ ist $F$ mit $F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}$ eine Stammfunktion. Zur Funktion $f$ mit $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$ ist $F$ mit $F(x)=\ln(|x|)$ eine Stammfunktion. Sind $G$ und $H$ Stammfunktionen von $g$ und $h$, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:

• $f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)$
• $f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)$
• $f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)$

Beispiele

Hier findest du ein paar Beispielfunktionen und ihre Stammfunktion.

$f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c$

$f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c$

$f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c$

Grundlegende Kompetenzen

Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk

Gezeitenkraftwerk in Annapolis Royal, Nova Scotia, Kanada

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt vereinfacht die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

Durchflussrate

a) Was bedeutet die Fläche eines Kästchens in der Abbildung im Sachzusammenhang?

Tipp

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

Lösung

Die Fläche eines Kästchens entspricht $4\ 000\ 000 m^{3}$

b) In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am schnellsten zu und wann am schnellsten ab?

Tipp

Hier werden die Zeiträume mit der größten und kleinsten Durchflussrate gesucht.

Lösung

Die schnellste Zunahme passiert im Intervall $[2, 4]$.

Die schnellste Abnahme passiert im Intervall $[8, 10]$.

c) Wie viel Wasser befindet sich nach 6 Stunden und nach 12 Stunden im Speicher?

Tipp

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst. Beachte den orientierten Flächeninhalt. Falls du Schwierigkeiten hast, schaue dir Beispiel 2: Durchflussrate an.

Lösung

Nach 6 Stunden: $A1 = \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} = 40\ 000\ 000 m^{3}$

Antwort: Nach 6 Stunden befinden sich $40\ 000\ 000\ m^{3}$ Wasser im Speicher.

Zwischen 6 Stunden und 12 Stunden: $A2 = \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\ 000\ 000 \frac{m^{3}}{h}}{2} = 40\ 000\ 000 m^{3}$

Nach 12 Stunden: $A1 - A2 = 0$

Antwort: Nach 12 Stunden befinden sich $0\ m^{3}$ Wasser im Speicher.

d)Wie geht es nach 12 Stunden vermutlich weiter?

Lösung

Da es ein Gezeitenkraftwerk ist und Ebbe und Flut immer im Wechsel stattfinden, geht es nach 12 Stunden wie zu Beginn weiter. Das bedeutet, dass die Funktion sich wiederholt.

Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm

Die Graphen in a), b) und c) zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a)

Figur 1

Tipp

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der $x$-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

Lösung

• Fläche oberhalb der $x$-Achse: $16\ FE$
• Fläche unterhalb der $x$-Achse: $4\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $16 - 4 = 12\ FE$
• Die Murmel hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

b)

Figur 2

Tipp

Auf dem Intervall $[4, 7]$ kannst du die Fläche zwischen $x$-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.

Lösung

• Fläche oberhalb der $x$-Achse: $20\ FE$
• Flächer unterhalb der $x$-Achse: $0\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $20\ FE$
• Die Murmel hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

c)

Figur 3

Lösung

• Fläche oberhalb der $x$-Achse: $49{,}5\ FE$
• Fläche unterhalb der $x$-Achse: $5\ FE$
• Integral/orientierter Flächeninhalt: $44{,}5\ FE$
• Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion

Betrachte das untenstehende Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

Hinweis: Exponenten kannst du mit ^ eingeben.

1. $f(x)=1$
2. $f(x)=x$
3. $f(x)=x^2$
4. $f(x)=x^3 + x^2 - 1$

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

Tipp

Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass $F'(x)=f(x)$ ist.

Lösung

Dir kann Folgendes auffallen:

• $F'(x)=f(x)$
• Nullstellen bei $f(x)$ sind Extremstellen bei $F(x)$. Beachte hier den Vorzeichenwechsel, um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
• Extremstellen bei $f(x)$ sind Wendestellen bei $F(x)$.
• Wenn $f(x)$ negativ bzw. positiv ist, so ist bei $F(x)$ die Steigung negativ bzw. positiv.
• $F(x)$ kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von $f(x)$

Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen

Ordne die Graphen der Funktion $f(x)$ der Stammfunktion $F(x)$ zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an.

Du kannst den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen besser erkennen kannst.

Tipp 1

Mache dir klar, wie die Funktion $f$ und eine zugehörige Stammfunktion $F$ zueinander stehen. Was bedeutet es, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Tipp 2

Was gilt für die Stammfunktion $F$ von $f$, wenn $f$ an der Stelle $a$ einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?

Tipp 3

$f(x)$ ist die Ableitung von $F(x)$. Somit gibt die Funktion $f$ die Steigung der Stammfunktion $F$ an.

Tipp 4

Hat $F$ an der Stelle $a$ einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat $f$ an der Stelle $a$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.

Tipp 5

Hat $F$ an der Stelle $a$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat $f$ an der Stelle $a$ eine Nullstelle.

Aufgaben mittlerer Schwierigkeit

Aufgabe 5: Kanalaufgabe

Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

Querschnitt des komplett gefüllten Kanals

a) Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2$ den Grundverlauf des Kanals darstellt.

Tipp

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.

1. Du berechnest das Integral von der Funktion $f$ mit den Grenzen $(-4|4)$. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
2. Du erstellst eine zweite Funktion $g(x)=4$, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) $g$ mit den Grenzen $(-4|4)$ entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von $g-f$ mit den Grenzen $(-4|4)$, also $\int_{-4}^{4} g-f$ berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
3. Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die $x$-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

Beachte: Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

• Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg

  Abbildung 1: Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot

• 

  Abbildung 1: Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot

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  Abbildung 2: Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals $g-f$ berechnet werden kann.

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  Abbildung 3: f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.

Lösung

$f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3$ und $g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x$ $A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33$

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt $21{,}33\ m^2$.

b) Wie viel Wasser [in $m^3$] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

Tipp

In Aufgabe a) hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.

Tipp

Um die Wassermenge im Kanal [in $m^3$] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.

Lösung

$21{,}33 \cdot 2000 = 42660$

Antwort: Es befinden sich $42660\ m^3$ Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.

c) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

Tipp

Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe a) & b) vorgehen.

Tipp

Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür kannst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.

Lösung

$7{,}54 \cdot 2000 = 15080$ , $\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349$

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.

Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall $I=[-5, 5]$. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

$f(x)=x^3+2x^2-3$

Tipp 1

Um eine Stammfunktion $F$ zu einer Funktion $f$ zu skizzieren, überlege, wie die Funktion $f$ und eine zugehörige Stammfunktion $F$ zueinander stehen. Was bedeutet es, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist?

Tipp 2

Was gilt für die Stammfunktion $F$ von $f$, wenn $f$ an der Stelle $a$ einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?

Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.

Tipp 3

$f(x)$ ist die Ableitung von $F(x)$. Somit gibt die Funktion $f$ die Steigung der Stammfunktion $F$ an.

Tipp 4

Hat $F$ an der Stelle $a$ einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat $f$ an der Stelle $a$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.

Tipp 5

Hat $F$ an der Stelle $a$ ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat $f$ an der Stelle a eine Nullstelle.

Lösung

$F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x$

Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln

Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion $f(x)$.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

Tipp 1

Eine Stammfunktion $F$ einer entsprechenden Funktion $f$ erhält man, indem man die Funktion $f$ integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion $F$ und ihr entsprechenden Funktion $f$ verdeutlicht, an.

Tipp 2

Solltest du beim Bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.

Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln.

Aufgabe 8: Bakterienwachstum

Die Funktion $f(t)=-t^2+6t$ gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, $t$ in Stunden, $f(t)$ in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

a) Wie lautet die Funktion $g(t)$, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt $t$ angibt?

Tipp

Bestimme das Integral von $f(t)$ von $0$ bis $t$ und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.

Lösung

$F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2$

Die Stammfunktion $F(t)$ gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

$g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt$

$g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2$

Bei der Funktion $g(t)$ wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und $g(t)$ die Anzahl der Bakterien in Hundert angibt.

b) Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

Figur 1

Tipp

$f(t)$ gibt die Wachstumsrate an und $g(t)$ die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.

Lösung

$g(4) = \frac{86}{3} \approx 28{,}7$

$28{,}7 \cdot 100=2870$

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 2870 Bakterien.

$g(6) = 38$

$38 \cdot 100=3800$

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 3800 Bakterien.

Knobelaufgaben

Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate $z(t)$ über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift.)

Zeit t in h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Änderungsrate z(t) in ME/h	0,0	-0,041	-0,037	-0,026	-0,009	0,046	0,031	0,019	0,006

a) Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

Tipp

Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?

Lösung

Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.

b) Berechne für die Zeiten $t = 0, 3, 6, 12, 24$ die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Zeit t in h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Gesamtmenge CO₂ in ME				2,33		2,33	2,45	2,53

Tipp 1

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.

Tipp 2

Berechne die Flächen unter den Intervallen $[0, 3], [0, 6], [0, 12], [0, 24]$.

Lösung

1. Für $t=0$: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
2. Für $t=3$: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall $[0,3]$. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt $(3,-0{,}041)$ und damit $-0{,}041$. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:$A_1 = \frac {3h \cdot (-0{,}041 \frac{ME}{h})}{2} + 2{,}6 ME$ ≈ $2{,}54 ME$ (aufgerundet).
3. Für $t=6$: Wir betrachten die Fläche $A_2$ auf dem Intervall $[0, 6]$. Den Flächeninhalt auf dem Intervall $[0, 3]$ kennen wir bereits als $A_1$. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall $[3, 6]$ besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: $A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0{,}037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0{,}005 \frac{ME}{h})}{2}$ ≈ $2{,}42 ME$ (aufgerundet).
4. Für $t= 12, 24$ mit dem gleichen Verfahren.

Zeit t in h	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Gesamtmenge CO₂ in ME	2,6	2,54	2,42	2,33	2,28	2,33	2,45	2,53	2,57

c) Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

Tipp

Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.

Lösung

Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 Stunden am geringsten (etwa 2,28 ME).

d) Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

1. $\int_{0}^{12} z(t) dt$
2. $\int_{12}^{24} z(t) dt$
3. $\int_{0}^{24} z(t) dt$

Tipp

Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.

Lösung

1. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der $x$-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben. Der Gesamtbestand ist gesunken.
2. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
3. Das Integral beschreibt die durchschnittliche CO₂-Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers

Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: $f(x)=-x^3+4{,}5x^2+34x-50$

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).

Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird

a) Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

Tipp

Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!

Lösung

Stammfunktion: $F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4{,}5}{3}x^3+17x^2-50x$

1. $\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24$
2. $\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397{,}25$
3. $\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380{,}25$

2 und 3 analog wie 1. Alle Werte sind in Millionen Euro.

b) Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

Tipp

Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.

Lösung anzeigen

Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.

c) In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

Tipp 1

In welchem Zeitraum liegt der Graph von $f(x)$ überhalb der $x$-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.

Tipp 2

Schaue dir den Graphen von $f$, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.

Tipp 3

Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.

Lösung

Nullstellen berechnen: $f(x) = 0$

$x_1 = -4{,}79$

$x_2 = 1{,}31$

$x_3 = 7{,}98$

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen $x_2$ und $x_3$ in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

$\int_{1{,}31}^{7{,}98} f(x) dx = F(7{,}98) - F(1{,}31) = 465{,}71$

Aufgabe 11: Corona Virus

Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

$f(x) = \frac{1}{2}x^2$ (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Hypothetisch nehmen wir an, dass ein Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt wird, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt $x = 3$ Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9$ , $x$ ≥ $3$

a) Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne, nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

Tipp 1

Die Funktion ist aus den Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von $[0, 3]$ beschränkt und g(x) auf dem Intervall von $[3,a]$. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)

Tipp 2

Berechne die Nullstelle von $g(x)$. Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.

Lösung

Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:

$f(x) = \frac{1}{2}x^2$ , für $0 \leq x \leq 3$ und $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9$ , für $3 \leq x \leq a$.

Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für $x \geq 3$:

$g(x) = 0 = g(a)$ ↔ $\frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0$ ↔ $x^2 -12x + 18 = 0$

Anwendung der p/q Formel:

$x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}$, $x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}$ ≈ $10{,}243$

$x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}$, $x_2$ ≈ $1{,}757$ < $3$

Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.

b) Die Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

Tipp

Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für Genaueres siehe Tipp 1.

Lösung

$W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx$

Wir berechnen beide Teilintegrale einzeln:

$\int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}$

$\begin{align} \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (-\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 - 9 \cdot x \Big]_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}}\\ &= \Big[ -\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3) \Big]\\ &= \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}\\ &= \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} \end{align}$

$W(x) = \frac{9}{2} + \frac{45}{2} + 18 \cdot \sqrt{2} = 27 + 18 \cdot \sqrt{2} \approx 52{,}456$

Antwort: Der Wirkungsfaktor $W(x)$ beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.

Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion $v_L(t)=0{,}25t+10 \cdot (1-e^{-t})$. René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion $v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2$.

$t$ ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und $v(t)$ die Geschwindigkeit von Lars und René in Meter pro Sekunde.

a) Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ angibt.

Tipp

Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.

Tipp

Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).

Lösung

$V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})$

$V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3$

b) Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

Tipp

Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.

Tipp

Setze $\int_{0}^{9{,}8} v_R(t) dt=100$.

Lösung

Es muss also folgendes gelten: $\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = 100$

$\int_{0}^{9{,}8} v_L(t) dt = V_L(9{,}8)-V_L(0)$

$=\frac{1}{8} \cdot 9{,}8^2+10 \cdot (9{,}8+e^{-9{,}8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100$

c) Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

Tipp

Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.

Tipp

Setze $\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100$ und löse nach r auf.

Lösung

Es muss also folgendes gelten: $\int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt=100$

$\begin{align} \int_{0}^{9{,}69} v_R(t) dt &= V_R(9{,}69)-V_b(0) \\ &=12 \cdot (9{,}69+e^{-9{,}69})+\frac{r}{3} \cdot 9{,}69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 \\ &\approx 116{,}28+303{,}28r-12 \end{align}$

Setze nun diesen Term gleich 100:

$\begin{align} 116{,}28+303{,}28r-12 &= 100 \\ \Leftrightarrow r &\approx -0{,}0141 \end{align}$

d) Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

Tipp

Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.

Lösung

$\int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4{,}3$

Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.