Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

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In diesem Lernpfadkapitel lernst du Steckbriefaufgaben kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

Damit übst du das Modellieren und Mathematisieren , indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von Gleichungssystemen mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren kannst du verwenden, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

Die Gleichung ist bereits nach der Variable aufgelöst. Die linke Seite der Gleichung fügen wir nun statt in die die Gleichung ein. Das sieht folgendermaßen aus:

1. Wir vereinfachen

2. Und stellen nach um

3. Dann teilen wir durch den Vorfaktor, hier 8 und es ergibt sich

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach umstellen. Gleichung eignet sich dafür natürlich am besten. Es gilt:

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit 2 Variablen. Dabei stellst du die eine Gleichung nach einer Variable um und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.


Aufgaben zum Einsetzungsverfahren

Aufgabe 1: Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

a)


1. Wir stellen nach y um, Gleichung eignet sich dafür am besten.


2. Wir setzen in Gleichung ein:

,


b)

Stelle nach um und setzte dies in Gleichung , um in zu eliminieren.

1. Wir stellen nach um.

2. Wir setzen nun in ein und lösen nach auf.

3. Wir setzen nun in Gleichung ein und lösen nach auf.




,
,

Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe 2: Elternsprechtag
Parkplatz Elternsprechtag.jpg

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.



a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit in Stunden, wobei 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form beschreiben. Löse zunächst den unteren Lückentext.




b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.


GeoGebra
























Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:



Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:

Als erstes stellen wir Gleichung nach um und erhalten



Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung in Gleichung ein, erhalten wir



Setzen wir in die (umgeformte) Gleichung ein, erhalten wir



und damit insgesamt


c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

Notwendige Bedingung für Extremstellen: \\

Hinreichende Bedingung für Extremstellen: und \\

Der Graph der Funktion hat den Hochpunkt . Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.











d) Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

Graph 1c.png



Da die Funktionswerte von für und negativ sind, ist der Graph nur für als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren kann bei Gleichungssystemen mit zwei oder mehr Variablen verwendet werden. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, dass eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:


1. Um die -Variable in Gleichung zu eliminieren rechnen wir :

In Matrix-Vektor-Schreibweise:


2. Um die -Variable in Gleichung zu eliminieren rechnen wir :

In Matrix-Vektor-Schreibweise:


3. Nun soll auch die -Variable in Gleichung eliminiert werden. Dazu rechnen wir

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

Wir können Gleichung nun nach auflösen. Dann setzen wir den -Wert in Gleichung ein und lösen nach auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten - und -Wert in Gleichung ein und lösen nach auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

, ,

Du verwendest dieses Verfahren bei Gleichungssystemen mit zwei oder mehr Variablen. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als obere Dreiecksmatrix. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.


Aufgaben zum Gauß-Verfahren

Aufgabe 3: Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen

a)


Eliminiere zuerst die -Variable in der zweiten Zeile.
Deine Gleichungen sollten am Ende folgende Form haben 

1. Gleichung von Gleichung abziehen.

2. Gleichung von Gleichung abziehen.

3. Gleichung von Gleichung abziehen.

Deine Gleichungen sollten dann folgendermaßen aussehen:

4. aus der Gleichung berechnen.

5. in Gleichung einsetzen und nach umstellen, um zu erhalten.

6. und in Gleichung einsetzen und nach umstellen, um zu erhalten.

Endgültige Lösung:

, ,


b) ⭐


Eliminiere zuerst den -Wert in Gleichung .
Deine Gleichungen sollten am Ende folgende Form haben: 

1. Gleichung von Gleichung abziehen.

2. Gleichung von Gleichung abziehen.

3. Gleichung von Gleichung abziehen.

Deine Gleichungen sollten dann folgendermaßen aussehen:

4. Gleichung zu Gleichung addieren.

5. Gleichung von Gleichung abziehen.

Deine Gleichungen sollten dann folgendermaßen aussehen:


6. aus Gleichung berechnen.

7. in Gleichung einsetzen und nach auflösen.

8. und in Gleichung einsetzten und nach auflösen.

9. , und in Gleichung einsetzen und nach auflösen.

Endgültige Lösung:

,, ,

Kubische Funktionen im Sachzusammenhang

Aufgabe 4: Virusinfektion
Rabies Virus.jpg

Achtung: Alle Angaben in dieser Aufgabe sind frei erfunden!

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

  • Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
  • Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
  • Im August steigt die Anzahl infizierter Personen in Deutschland auf 4.000.000 an
  • Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig



a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.




b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.


GeoGebra




























Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:



Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:



















Gleichung liefert uns nun



Setzen wir in Gleichung ein, erhalten wir



Setzen wir und in Gleichung ein, erhalten wir





und damit insgesamt


c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

Notwendige Bedingung für Wendestellen:

Hinreichende Bedingung für Wendestellen: und

Der Graph der Funktion hat einen Wendepunkt bei . Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.







d) Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Graph e.png



Da die Funktionswerte von für negativ sind, ist der Graph nur für als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.