Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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< Benutzer:Buss-Haskert‎ | Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik

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+[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
+<br>
+{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br>
+Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag
+{{Navigation verstecken|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Größen| 1. Zahlen und Größen]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Zuordnungen|2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen|3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen|4. Funktionen: Lineare Funktionen]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2|5. Funktionen: Quadratische Funktionen]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie|6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik|7. Diagramme, Statistik]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit|8. Wahrscheinlichkeitsrechnung]]<br>
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Exponentiafunktion|9. Wachstum und Exponentialfunktion]]
+}}
 ==Gleichungen lösen==
+===Einstiegstest: <big>Terme und Gleichungen</big> (hilfsmittelfreier Teil)===
+<quiz display="simple">
+{ Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 4 und multipliziere das Ergebnis mit 4. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?}
+- a·4 + a
++ 4·a + 16
+- a
+- a + 4
+{ Denke dir eine Zahl x aus. Addiere 5 und multipliziere das Ergebnis mit 6. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?}
+- x·5 + 6
+- x + 6·5
++ 6·(x + 5)
+- x
+{ Löse die Klammer auf und fasse anschließend den Term so weit wie möglich zusammen. 4·(2 - x) + 2x?}
++ 8 - 2x
+- 8 + 2x
+- 8
+- 6x
+{ Löse die Gleichung: 12x - 2 = 0}
+- x = 6
+- x = -6
++ x = <math>\tfrac{1}{6}</math>
+- x = -<math>\tfrac{1}{6}</math>
+{ Löse die Gleichung: 5x - 3 = 26x}
+- x = 7
+- x = <math>\tfrac{1}{7}</math>
+- x = -7
++ x = -<math>\tfrac{1}{7}</math>
+{ Löse die Gleichung: 24x - 6 = 14 - 6x}
+- x = 1,5
++ x = <math>\tfrac{2}{3}</math>
+- x = 2,25
+{ Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 36. Welche Bedeutung hat n in der zugehörigen Gleichung (n-1) + n + (n+1) = 36 ?}
+- die kleinste Zahl
++ die mittlere Zahl
+- die größte Zahl
+- die Summe der Zahlen
+{ Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem. (Begründe!)
+I  y = 3x + 5
+II y = 3x + 2}
+- unendlich viele Lösungen
+- eine Lösung
++ keine Lösung
+{ Löse das lineare Gleichungssystem (ausführlich in deinem Heft). Wie lautet die Lösung?
+I  -2x - y = 1
+II 3x + y = -1}
+- (1|-1)
+- (0|1)
++ (0|-1)
+- (-1|1)
+{ Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): (x - 5)(x + 8) = 0. Wie lauten die Lösungen?}
++ x<sub>1</sub> = 5; x<sub>2</sub> = -8
+- x<sub>1</sub> = -5; x<sub>2</sub> = 8
+- x<sub>1</sub> = 5; x<sub>2</sub> = -5
+- x<sub>1</sub> = 8; x<sub>2</sub> = -8
+{ Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): x² - 18x + 17. Wie lauten die Lösungen?}
+- x<sub>1</sub> = -18; x<sub>2</sub> = 17
+- x<sub>1</sub> = 18; x<sub>2</sub> = -17
++ x<sub>1</sub> = 17; x<sub>2</sub> = 1
+- x<sub>1</sub> = 18; x<sub>2</sub> = 1
+</quiz>
+{{Box|Auswertung des Eingangstests|Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.
+* Terme Nr. 1-3
+* Lineare Gleichungen Nr. 4-7
+* Lineare Gleichungssysteme Nr. 8,9
+* Quadratische Gleichungen Nr. 10,11|Lösung}}
+{{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch und vergleiche deine Lösungen. Nutze bei Bedarf die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.
+* Terme: S. 147 und S. 118, P1 - P9
+* Lineare Gleichungen: S. 148 und S. 119, P10 - 19
+* Lineare Gleichungssysteme: S. 149 und S.120, P22 - P28
+* Quadratische Gleichungen: S. 151, N. 5,6 und S. 121, P35 - P37; P39-P41|Üben}}
+=== 1. Terme aufstellen und zusammenfassen ===
+...wird noch ergänzt...
+{{Box|Erinnerung: Terme mit Klammern (Klasse 8)|Präge dir die Regeln zum Auflösen von Klammern ein. Notiere als Hilfe die entsprechenden Symbole hinter den Termen.|Merksatz}}
+[[Datei:Zusammenfassung Terme mit Klammern1.png|rahmenlos|900x900px]]
+=== 2. Gleichungen ===
 {{Box|1=Gleichungen|2=Je nachdem, in welcher Potenz die Variable vorkommt, unterschieden wir zwischen verschiedenen Gleichungen.<br>
 Lineare Gleichung: Die Variable kommt nur in einfacher Potenz vor, also x. Beispiel: 3x + 4 (x - 3) = 4 - (3 - x) + 2<br>
 Quadratische Gleichung: Die Variable kommt in quadratischer Form vor, also x². Beispiel: -2x² + 2x + 24 = 0<br>
 Gleichungen höheren Grades: Die Variable kommt in höherer Potenz vor. Beispiel: 375 = 3x³|3=Merksatz}}
+{{LearningApp|app=pmy5jxe4k22|width=100%|height=400px}}
+{{Box|1=Gleichungen lösen|2=Gleichungen lösen durch<br>
+Termumformungen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen<br>
+Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren/subtrahieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren (außer 0)|3=Merksatz}}
+{{#ev:youtube|K0zma5hxJCM|800|center}}
+===2.1 Lineare Gleichungen lösen===
+{{Box|Gleichungen lösen Schritt für Schritt|[[Datei:Gleichungen lösen Schritt für Schritt 119.png|rahmenlos|800x800px]] |Arbeitsmethode}}<br>
+{{Box|Übung online|In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)
+* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse7/gleichungen/gleichung.html Übung 1]
+* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/gleichungen/gleichung2.html Übung 2]
+|Üben}}
+===2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)===
+{{Box|Lineare Gleichungssysteme|Zwei lineare Gleichungen mit je zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Du hast verschiedene Möglichkeiten, ein LGS zu lösen:<br>
+* zeichnerisch
+* Gleichsetzungsverfahren
+* Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren)
+* Einsetzungsverfahren|Merksatz}}
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-4">Zeichnerisch lösen:<br>{{#ev:youtube|k-oXFYqUAnk|210|center}}</div>
+ <div class="width-1-4">Gleichsetzungsverfahren:<br>{{#ev:youtube|hBtqpqLRkg4|210|center}}</div>
+ <div class="width-1-4">Additionsverfahren:<br>{{#ev:youtube|jaEfDblkTPY|210|center}}</div>
+ <div class="width-1-4">Einsetzungsverfahren:<br>{{#ev:youtube|oGgC7SN_Qc8|210|center}}</div>
+</div>
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-3">Gleichsetzungsverfahren<br>
+{{Lösung versteckt|1=
+{{Box|Das Gleichsetzungsverfahren|Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.|Arbeitsmethode}}[[Datei:Gleichsetzungsverfahren_Schritt_für_Schritt.png|rahmenlos|884x884px]]|2=Lösen mit dem Gleichsetzungsverfahren - Beispiel|3=Verbergen}}
+{{Box|Übung online|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.|Üben}}
+{{LearningApp|app=ppnekev4j19|width=100%|height=400px}}
+{{LearningApp|app=p215ya09t20|width=100%|height=700px}}
+</div>
+ <div class="width-1-3">Additionsverfahren<br>
+{{Lösung versteckt|1=
+{{Box|Das Additionsverfahren|Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.|Arbeitsmethode}}[[Datei:Additionsverfahren_Schritt_für_Schritt_berichtigt_1.png|rahmenlos|884x884px]]|2=Lösen mit dem Additionsverfahren - Beispiel|3=Verbergen}}
+{{Box|Übung|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Additionsverfahren.|Üben}}
+{{LearningApp|app=prd3sae7k19|width=100%|height=600px}}
+{{LearningApp|app=pq4gjoxzk20|width=100%|height=600px}}</div>
+ <div class="width-1-3">Einsetzungsverfahren<br>
+{{Lösung versteckt|1=
+{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.|Arbeitsmethode}}[[Datei:Einsetzungsverfahren_Schritt_für_Schritt.png|rahmenlos|884x884px]]|2=Lösen mit dem Einsetzungsverfahren - Beispiel|3=Verbergen}}
+{{Box|Übung online|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Einsetzungsverfahren.|Üben}}
+{{LearningApp|app=pcsqyrt8319|width=100%|height=600px}}
+{{LearningApp|app=pmow44dsn20|width=100%|height=600px}}</div>
+</div>
+[[Datei:Zusammenfassung LGS.png|rahmenlos|928x928px]]<br>
+<big>Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme?</big>
+<br>[[Datei:Anzahl der Lösungen eines LGS zeichnerisch Aufgaben vollständig.png|links|rahmenlos|958x958px]]
+<br>
+===2.3 Quadratische Gleichungen lösen===
+{{Box|1=Formen quadratischer Gleichungen|2=Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen und diese werden auf verschiedene Arten gelöst.
+# Rein quadratische Gleichungen: ax² + c = 0
+# Gemischt quadratische Gleichungen - Normalform: x² + px + q = 0
+# Gemischt quadratischer Gleichungen - allgemeine Form: ax² + bx + c = 0|3=Merksatz}}
+Ordne in der nachfolgenden LearningApp, um welche Form quadratischer Gleichungen es sich handelt.
+{{LearningApp|app=pomp5jw8a22|width=100%|height=600px}}
+Übersicht zur Lösung quadratischer Gleichungen:
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-3">rein quadratische Gleichungen lösen
+{{#ev:youtube|lV1-GzAjzwg|250|center}}</div>
+ <div class="width-1-3">Gleichungen in der Normalform lösen mit der p-q-Formel
+{{#ev:youtube|mojXbt2wNPc|250|center}}</div>
+ <div class="width-1-3">Gleichungen in allgemeiner Form lösen
+{{#ev:youtube|B_PtpvhnNg0|250|center}}</div>
+</div>
+{{Box|1=Rein quadratische Gleichungen lösen|2=Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''ax² = c'''.<br>
+Löse durch Wurzelziehen.|3=Merksatz}}
+Beispiel: <br>
+x² + 10 = 394 &nbsp;&nbsp;&#124;-10<br>
+x² = 384 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;:6<br>
+x² = 64 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;±<math>\surd</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = ± 8<br>
+x<sub>1</sub> = -8; x<sub>2</sub> = 8<br>
+{{LearningApp|app=p88cbqzo320|width=100%|heigth=300px}}
+{{Box|1=Gemischt quadratische Gleichungen lösen mit der p-q-Formel|2=<br>
+Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein:<br>
+'''x² + px + q = 0'''
+Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:<br>
+x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math><br>
+Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Merksatz}}
+{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|1=Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
+{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}|2=Lied zur Lösungsformel (Dorfuchs)|3=Verbergen}}
+Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.
+{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
+<br>
+Beispiel:<br>
+x² - 22x + 72 = 0 &nbsp;&#124;Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 <br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm\sqrt{49}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm</math>7<br>
+x<sub>1</sub> = 18; x<sub>2</sub> = 4<br>
+Kurzschreibweise:<br>
+x² - 22x + 72 = 0 &nbsp;&#124;Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 <br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = 11<math>\pm</math>7<br>
+x<sub>1</sub> = 18; x<sub>2</sub> = 4<br>
+{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=
+Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.<br>
+Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.<br>
+. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.<br>
+. Schritt: Wende die p-q-Formel x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Merksatz}}
+Beispiel:<br>
+x² - 5x - 12 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (in die Normalform umwandeln, dann p-q-Formel anwenden)<br>
+x² - 2,5x - 6 = 0 &nbsp;&#124;Setze ein: p=-2,5; <math>\tfrac{p}{2}</math>=1,25; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=-1,25; q=-6 <br>
+x<sub>1/2</sub> = 1,25<math>\pm\sqrt{1,25^2-(-6)}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = 1,25<math>\pm</math>2,75<br>
+x<sub>1</sub> = -1,5; x<sub>2</sub> = 4<br>
+Übe das Umwandeln in die Normalform:
+{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}
+{{LearningApp|app=p581mq1hn22|width=100%|height=600px}}
+{{Lösung versteckt|1=
+{{Box|1=Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung|2=Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:<br>
+Stelle die Gleichung um:  x² + bx = -c.<br> Mithilfe der quadratischen Ergänzung <math>\left ( \frac{b}{2} \right )^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.|3=Arbeitsmethode}}
+Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.
+{{#ev:youtube|Ok73gEoo1j4|800|center}}
+<br>
+{{LearningApp|app=pcse2ekgt20|width=100%|height=600px}}
+{{LearningApp|app=pcse2ekgt20|width=100%|height=600px}}
+|2=Lösen durch quadratische Ergänzung: Gleichungen der Form x² + bx + c = 0|3=Verbergen}}
+{{Box|1=Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen|2=Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand <math>\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q</math> wird '''Diskriminante D''' genannt.<br>Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.<br>
+Die Gleichung hat <span style="color:red">zwei</span> Lösungen, <span style="color:green">eine</span> oder <span style="color:blue">keine</span> Lösung, wenn die Diskriminante D <span style="color:red">positiv</span>, <span style="color:green">null</span> oder <span style="color:blue">negativ</span> ist.|3=Merksatz}}
+Beispiele:<br>
+<div class="grid">
+ <div class="width-1-3">'''D > 0''', <span style="color:red">zwei</span> Lösungen:<br>
+. x² + 6x + 5 = 0 &nbsp;&#124;<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 5</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{3^2-5}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{4}</math> &nbsp;D = 4 (positiv)<br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm</math>2 &nbsp;
+x<sub>1</sub> = -1 ; x<sub>2</sub> = -5<br>
+</div>
+ <div class="width-1-3">'''D = 0''',<span style="color:green">eine</span> Lösung:<br>
+. x² + 6x + 9 = 0 &nbsp;&#124;<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 9</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{3^2-9}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{0}</math> &nbsp;D = 0 <br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm</math>0
+</div>
+ <div class="width-1-3"> '''D < 0''',<span style="color:blue">keine</span> Lösung:<br>
+. x² + 6x + 10 = 0 &nbsp;&#124;<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 10</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{3^2-10}</math><br>
+x<sub>1/2</sub> = -3<math>\pm\sqrt{-1}</math> &nbsp;D < 0 (negativ)<br>
+<math>\sqrt{-1}</math> ist nicht lösbar,  da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.</div>
+</div>
+{{LearningApp|app=2626415|width=100%|height=600px}}
+{{Box|Übung online|Wähle Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/quadratischeGleichung.shtml '''Aufgabenfuchs'''] Nr. 1 - 19 .|Üben}}

Aktuelle Version vom 15. Dezember 2023, 03:27 Uhr

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Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag

1. Zahlen und Größen

2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung
3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)
4. Funktionen: Lineare Funktionen
5. Funktionen: Quadratische Funktionen
6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie
7. Diagramme, Statistik
8. Wahrscheinlichkeitsrechnung
9. Wachstum und Exponentialfunktion

Inhaltsverzeichnis

1 Gleichungen lösen

Gleichungen lösen

Einstiegstest: Terme und Gleichungen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 4 und multipliziere das Ergebnis mit 4. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?

	a·4 + a
	4·a + 16
	a
	a + 4

2 Denke dir eine Zahl x aus. Addiere 5 und multipliziere das Ergebnis mit 6. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?

	x·5 + 6
	x + 6·5
	6·(x + 5)
	x

3 Löse die Klammer auf und fasse anschließend den Term so weit wie möglich zusammen. 4·(2 - x) + 2x?

	8 - 2x
	8 + 2x
	8
	6x

4 Löse die Gleichung: 12x - 2 = 0

	x = 6
	x = -6
	x = $\tfrac{1}{6}$
	x = - $\tfrac{1}{6}$

5 Löse die Gleichung: 5x - 3 = 26x

	x = 7
	x = $\tfrac{1}{7}$
	x = -7
	x = - $\tfrac{1}{7}$

6 Löse die Gleichung: 24x - 6 = 14 - 6x

	x = 1,5
	x = $\tfrac{2}{3}$
	x = 2,25

7 Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 36. Welche Bedeutung hat n in der zugehörigen Gleichung (n-1) + n + (n+1) = 36 ?

	die kleinste Zahl
	die mittlere Zahl
	die größte Zahl
	die Summe der Zahlen

8 Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem. (Begründe!)

I y = 3x + 5

II y = 3x + 2

	unendlich viele Lösungen
	eine Lösung
	keine Lösung

9 Löse das lineare Gleichungssystem (ausführlich in deinem Heft). Wie lautet die Lösung?

I -2x - y = 1

II 3x + y = -1

	(1\|-1)
	(0\|1)
	(0\|-1)
	(-1\|1)

10 Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): (x - 5)(x + 8) = 0. Wie lauten die Lösungen?

	x₁ = 5; x₂ = -8
	x₁ = -5; x₂ = 8
	x₁ = 5; x₂ = -5
	x₁ = 8; x₂ = -8

11 Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): x² - 18x + 17. Wie lauten die Lösungen?

	x₁ = -18; x₂ = 17
	x₁ = 18; x₂ = -17
	x₁ = 17; x₂ = 1
	x₁ = 18; x₂ = 1

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

Terme Nr. 1-3
Lineare Gleichungen Nr. 4-7
Lineare Gleichungssysteme Nr. 8,9
Quadratische Gleichungen Nr. 10,11

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch und vergleiche deine Lösungen. Nutze bei Bedarf die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.

Terme: S. 147 und S. 118, P1 - P9
Lineare Gleichungen: S. 148 und S. 119, P10 - 19
Lineare Gleichungssysteme: S. 149 und S.120, P22 - P28
Quadratische Gleichungen: S. 151, N. 5,6 und S. 121, P35 - P37; P39-P41

1. Terme aufstellen und zusammenfassen

...wird noch ergänzt...

Erinnerung: Terme mit Klammern (Klasse 8)

Präge dir die Regeln zum Auflösen von Klammern ein. Notiere als Hilfe die entsprechenden Symbole hinter den Termen.

2. Gleichungen

Gleichungen

Je nachdem, in welcher Potenz die Variable vorkommt, unterschieden wir zwischen verschiedenen Gleichungen.
Lineare Gleichung: Die Variable kommt nur in einfacher Potenz vor, also x. Beispiel: 3x + 4 (x - 3) = 4 - (3 - x) + 2
Quadratische Gleichung: Die Variable kommt in quadratischer Form vor, also x². Beispiel: -2x² + 2x + 24 = 0

Gleichungen höheren Grades: Die Variable kommt in höherer Potenz vor. Beispiel: 375 = 3x³

Gleichungen lösen

Gleichungen lösen durch
Termumformungen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen

Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren/subtrahieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren (außer 0)

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

2.1 Lineare Gleichungen lösen

Gleichungen lösen Schritt für Schritt

Übung online

In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)

Übung 1
Übung 2

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungen mit je zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Du hast verschiedene Möglichkeiten, ein LGS zu lösen:

zeichnerisch
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren)
Einsetzungsverfahren

Zeichnerisch lösen:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Gleichsetzungsverfahren:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Additionsverfahren:

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Einsetzungsverfahren:

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Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

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Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Additionsverfahren Schritt für Schritt berichtigt 1.png

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Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

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Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme?

2.3 Quadratische Gleichungen lösen

Formen quadratischer Gleichungen

Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen und diese werden auf verschiedene Arten gelöst.

Rein quadratische Gleichungen: ax² + c = 0
Gemischt quadratische Gleichungen - Normalform: x² + px + q = 0
Gemischt quadratischer Gleichungen - allgemeine Form: ax² + bx + c = 0

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, um welche Form quadratischer Gleichungen es sich handelt.

Übersicht zur Lösung quadratischer Gleichungen:

rein quadratische Gleichungen lösen

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Gleichungen in der Normalform lösen mit der p-q-Formel

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Gleichungen in allgemeiner Form lösen

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Rein quadratische Gleichungen lösen

Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:
ax² = c.

Löse durch Wurzelziehen.

Beispiel:
6x² + 10 = 394   |-10
6x² = 384    |:6
x² = 64    |± $\surd$
x_1/2 = ± 8
x₁ = -8; x₂ = 8

Gemischt quadratische Gleichungen lösen mit der p-q-Formel

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0 Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = - $\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

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Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.

Beispiel:
x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$ =-11; - $\tfrac{p}{2}$ =11; q=72
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{121-72}$
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{49}$
x_1/2 = 11 $\pm$ 7
x₁ = 18; x₂ = 4

Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0 |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$ =-11; - $\tfrac{p}{2}$ =11; q=72
x_1/2 = 11 $\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11 $\pm$ 7
x₁ = 18; x₂ = 4

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -

\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}

an.

Beispiel:
2x² - 5x - 12 = 0 |:2 (in die Normalform umwandeln, dann p-q-Formel anwenden)
x² - 2,5x - 6 = 0 |Setze ein: p=-2,5; $\tfrac{p}{2}$ =1,25; - $\tfrac{p}{2}$ =-1,25; q=-6
x_1/2 = 1,25 $\pm\sqrt{1,25^2-(-6)}$
x_1/2 = 1,25 $\pm$ 2,75
x₁ = -1,5; x₂ = 4

Übe das Umwandeln in die Normalform:

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung

\left ( \frac{b}{2} \right )^2

auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.

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Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand $\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q$ wird Diskriminante D genannt.
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.

Beispiele:

D > 0, zwei Lösungen:

1. x² + 6x + 5 = 0 | $\tfrac{p}{2} = 3; q = 5$
x_1/2 = -3 $\pm\sqrt{3^2-5}$
x_1/2 = -3 $\pm\sqrt{4}$ D = 4 (positiv)
x_1/2 = -3 $\pm$ 2 x₁ = -1 ; x₂ = -5