Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
*Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:<br>
[[Datei:Taschenrechner_pi.png|500x500px]]<br>
===1.3 Kreisumfang - Berechnungen===
===1.3 Kreisumfang - Berechnungen===
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln <br>
{{Box|Kreisumfang - Berechnungen|[[Datei:Kreisumfang Berechnungen Einstieg komplett.png|rahmenlos|700x700px]]<ref>nach einer Idee von Schober auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/hh7dahad#material/ybzhmw8f</ref><br>
u = π · d oder u = 2· π · r<br>
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.<br>
Vervollständige den Gedanken von Lara.|Unterrichtsidee}}
<br>
{{Lösung versteckt|Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.|Tipp|Verbergen}}
<br>
{{Box|1=Kreisumfang - Berechnungen|2=Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln <br>
'''u = π · d oder u = 2· π · r'''<br>
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.<br>
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.<br>
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.|Kurzinfo}}
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.|3=Kurzinfo}}
{{Box|1=Kreisumfang - "Pi mal Daumen"|2=[[Datei:Woman-2759503 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: '''Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent'''.<br>
a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für
* d = 40 cm
* d = 8 cm
* r = 3 cm.
b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.<br>
c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.|3=Unterrichtsidee}}
{{Lösung versteckt|1=Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:<br>
Für d = 40 cm:<br>
"Durchmesser mal 3" 40·3 = 120 (cm)<br>
"plus 5%" 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)<br>
{{Box|Übung 3 - geometrische Anwendungen|Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.<br>
Erinnerung: Die Ameise läuft für den '''Um'''fang u einmal um die Figur her'''um'''.
* S. 129 Nr. 4
* S. 129 Nr. 5
* S. 129 Nr. 8|Üben}}
{{Lösung versteckt|- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).<br>
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?|Tipp 1 zu Nr. 4a|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")<br>
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)|2=Tipp 2 zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.<br>
Berechne jeweils die Umfänge: <math>\tfrac{1}{2}</math> u<sub>1</sub> = <math>\tfrac{1}{2}</math>·2·π = π; ...|2= Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Box|Kreisumfang - Sachsituationen|[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 3.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.<br>
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.<br>
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.<br>
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.|Unterrichtsidee}}
{{Lösung versteckt|Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:<br>
[[Datei:Din A4 Blatt Rolle 1.png|rahmenlos]][[Datei:Din A4 Blatt Rolle 2.png|rahmenlos]]|Tipp 1 Skizzen|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: u = Länge bzw. Breite des Blattes - 7mm Kleberand|2=Tipp zu a|3=Verbergen}}
Stelle die Formel für den Umfang nach d um.|2=Tipp zu b|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 4 - Sachsituationen|Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft. |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt. <br>
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r<sub>2</sub>=6370000+1,5 = 6370001,5(m)|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 5 - Sachsituationen|Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 129 Nr. 7 (**)
* S. 130 Nr. 11 (*)
* S. 130 Nr. 12 (*)
* S. 130 Nr. 13 (*)
* S. 130 Nr. 14 (*)
* S. 130 Nr. 15 (**)
* S. 130 Nr. 16 (**)
* S. 130 Nr. 17 (*)|Üben}}
{{Lösung versteckt|Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde). Entnimm den den Erdradius aus der Aufgabe. Berechne den Umfang der Erde und ergänze ihn um 1 m. Wie sehr vergrößert sich dann der Radius?<br>
<ggb_applet id="bprvjtx8" width="1080" height="790" border="888888" />|2=Tipp 2 zu Nr. 7 (Hilfsapplet)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.|Tipp zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.<br>
Lösung: d≈0,95m|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.<br>
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.<br>
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.<br>
Lösung:36780m|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.<br>
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.<br>
Lösung: d=0,16m|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.<br>
25 km/h = 2500000cm/h = <math>\tfrac{2500000cm}{3600s}</math> ≈ 694,4 cm/s.|2=Tipp 1 zu Nr. 15|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang des Dynamorädchens.<br>
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.<br>
Lösung: ca. 110 mal|2=Tipp 2 zu Nr. 15|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?<br>
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)<br>
250cm : 5cm = 50<br>
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.|2=Tipp 1 zu Nr. 16|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:<br>
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm<br>
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.<br>
Länge = 25·π·d=...<br>
Lösung: 3,93m|2=Tipp 2 zu Nr. 16|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.<br>
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.
Lösung: pro Tag ca. 25 km|2=Tipp zu Nr. 17|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 6 - online|Wähle von der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisumfang.shtml'''Aufgabenfuchs'''] mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.
Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.
Kreisumfang entdecken
a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:
c) Erstelle ein d-u-Diagramm. (x-Achse: Durchmesser, y-Achse: Umfang)
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.
Applet von Pöchtrager
Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:
eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet
beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:
π = = 3,14159...
Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
1.3 Kreisumfang - Berechnungen
Kreisumfang - Berechnungen
[1]
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.
Vervollständige den Gedanken von Lara.
Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.
Kreisumfang - Berechnungen
Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln u = π · d oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.
Kreisumfang - Berechnungen
Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft
Beispiele:
Umfang u berechnen:
geg: d = 3,0 cm
ges: u
u = π · d |Wert einsetzen
= π · 3,0
= 9,4 (cm)
geg: r = 1,0 cm
ges: u
u = 2 · π · r |Wert einsetzen
= 2 · π · 1,0
= 6,3 (cm)
Durchmesser d berechnen:
geg: u = 15,7 cm
ges: d
u = π · d |: π = d |Wert einsetzen = d
5,0 (cm) = d
Radius r berechnen:
geg: u = 22,0 cm
ges: r
u = 2 · π · r |: (2·π) = r Wert einsetzen = r
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.
S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)
S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)
Prüfe deine Lösungen mit dem Applet:
Applet von C. Buß-Haskert
Kreisumfang - "Pi mal Daumen"
Handwerker benutzen zur Kreisumfangsberechnung oft die folgende Faustformel: Kreisumfang = Durchmesser mal 3 plus 5 Prozent.
a) Berechne mit der Faustformel den Umfang für
d = 40 cm
d = 8 cm
r = 3 cm.
b) Berechne nun die Umfänge aus Teil a) mit dem genauen Wert für π und vergleiche.
c) Berechne den Näherungswert für π, der bei dieser Faustformel verwendet wird. Notiere deine Rechnung.
Formel: Durchmesser mal 3 plus 5%:
Für d = 40 cm:
"Durchmesser mal 3" 40·3 = 120 (cm)
"plus 5%" 5% von 120 = 6 (cm) (Rechne mit Formel oder mit Dreisatz)
Berechne den Radius des Halbkreises (mit dem Satz des Pythagoras):
d² = 3² + 4²
d =
d = 5 [cm]; also r = 5:2 = 2,5 [cm]
u = a + b + uHalbkreis
= 3 + 4 + ·2·π·
= 3 + 4 + ·2·π·2,5
≈ 7 + 7,85
= 14,85 [cm]
Übung 3 - geometrische Anwendungen
Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.
S. 129 Nr. 4
S. 129 Nr. 5
S. 129 Nr. 8
- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?
Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)
Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Kathete2 + Kathete2 = Hypotenuse2
Lösung: d = 13
Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:
uHalbreis = uKreis = π·d
Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)
Hilfsapplet zu Nr. 5
Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?
d1=2cm; d2=1cm; d3=; d4=; d5 = ; ...
Berechne jeweils die Umfänge: u1 = ·2·π = π; ...
Kreisumfang - Sachsituationen
Aus einem DIN A4-Blatt (21 cm breit und 29,7 cm lang) soll eine Rolle entstehen. Der Kleberand beträgt 7 mm. Du hast zwei Möglichkeiten, das Blatt zusammenzurollen.
a) Berechne den Umfang der so entstandenen Papierrollen. Notiere deine Rechnung.
b) Berechne den Durchmesser der Rollen.
Tipp: Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.
Du kannst das Blatt einmal längs rollen und einmal quer:
geg: u = Länge bzw. Breite des Blattes - 7mm Kleberand
geg: u1 = 21-0,7 = 20,3 (cm) u2 = 29,7 - 0,7 = 29 (cm)
ges: d
Stelle die Formel für den Umfang nach d um.
Übung 4 - Sachsituationen
Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft.
Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt.
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r2=6370000+1,5 = 6370001,5(m)
Übung 5 - Sachsituationen
Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
S. 129 Nr. 7 (**)
S. 130 Nr. 11 (*)
S. 130 Nr. 12 (*)
S. 130 Nr. 13 (*)
S. 130 Nr. 14 (*)
S. 130 Nr. 15 (**)
S. 130 Nr. 16 (**)
S. 130 Nr. 17 (*)
Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde). Entnimm den den Erdradius aus der Aufgabe. Berechne den Umfang der Erde und ergänze ihn um 1 m. Wie sehr vergrößert sich dann der Radius?
Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.
Lösung: d≈0,95m
Gesucht ist der Weg, den das Rad an einem Tag zurücklegt.
d=Höhe des Rads = 1,95. Berechne u.
Weg des Rads an einem Tag: 6000·u, da sich das Rad 6000 mal dreht.
Lösung:36780m
Eine Umdrehung des Rades entsprich dem Umfang des Rades. 2 Umdrehungen sind also gleich 2·u.
Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach d auf.
Lösung: d=0,16m
Gleiche Einheiten! Wandle die Geschwindigkeit von 25 km/h in die Einheit cm/s um.
25 km/h = 2500000cm/h = ≈ 694,4 cm/s.
Berechne den Umfang des Dynamorädchens.
Berechne danach, wie oft dieser Umfang in 694,4 cm (so weit dreht sich das Rad pro Sekunde) passt.
Lösung: ca. 110 mal
Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)
250cm : 5cm = 50
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.
Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.
Länge = 25·π·d=...
Lösung: 3,93m
Berechne den Umfang u des Kraters mit d=24km.
Teile diese Strecke auf drei Tage auf.
Lösung: pro Tag ca. 25 km
Übung 6 - online
Wähle von der Seite Aufgabenfuchs mindestens 3 Aufagben aus und löse diese ausführlich im Heft.
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