Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki

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+__NOTOC__
 {{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!
-Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].
+Hier kannst du grundlegende Themen der Analysis üben, wiederholen und vertiefen und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.
-[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}
+Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.
-Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.
+|Lernpfad}}
-<quiz display="simple">
-{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }
-- Wahr
-+ Falsch
-{ Was ergibt 1+1? }
-- 1
-+ 2
-- 3
-- 4
-</quiz>
+==Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Analysis==
 <quiz display="simple">
 { Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
-+ Mittels einer Sekante.
++ Indem die Steigung einer Sekante bestimmt wird.
 - Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
 + Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
-- Mittels einer Tangente.
+- Indem die Steigung einer Tangente bestimmt wird.
 { Was gibt die Tangentensteigung an? }
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 - Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.
-{ Dummy zu Thema a) }
+{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=2x+5</math> an der Stelle <math>x=-3</math>. }
+- -1
 - 1
-- 2
++ 2
+- 5
-{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
-[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]
+{ Betrachte die Funktion in der folgenden Abbildung.
+[[Datei:Item.png|ohne|mini|483x483px]]
+Wie viele lokale Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion? }
+- Genau zwei lokale Extrema
++ Genau drei lokale Extrema
+- Genau vier lokale Extrema
+- Keinen Wendepunkt
+- Genau einen Wendepunkt
++ Genau zwei Wendepunkte
+{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
+- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
++ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
++ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
+- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
+{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2]</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>[x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
+- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend.
++ <math>f'(x_2)=0</math>
+- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt.
-Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
+{ Betrachte folgende Aufgabenstellung.
-- zwei Extrema
+<div style="background:LightGrey">
-+ drei Extrema
+Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
-- vier Extrema
+Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?
-- keinen Wendepunkt
+</div>
-- einen Wendepunkt
+Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
-+ zwei Wendepunkte
++ 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Nebenbedingung überlegen und 3. Extremwerte ermitteln
+- 1. Nebenbedingung überlegen, 2. Zielfunktion aufstellen und 2. Extremwerte ermitteln
+- 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Extremwerte ermitteln und 3. Nebenbedingung überlegen
-{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
+{ Betrachte folgende Abbildung zur Aufgabenstellung in 7.
-- im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
+[[Datei:Weidenzaun .png|ohne|mini]]
-- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
+Die Nebenbedingung lautet... }
-+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
+- a=1m+6b oder b=20m.
-- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
++ a=10m-b oder b=10m-a.
+- a=10m+b oder b=10m+a.
+{ In der Zielfunktion zur Aufgabenstellung in 7... }
++ kommt genau eine Unbekannte vor.
+- kommen genau zwei Unbekannte vor.
+- kommen genau drei Unbekannte vor.
-{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
+{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt... }
-- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+- einen Hochpunkt.
-+ <math>f'(x_1)>0 </math>
++ einen Wendepunkt.
-+ <math>f'(x_2)=0 </math>
+- eine Nullstelle.
-- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt
+- einen Sattelpunkt.
-{ Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an! }
+{Löse folgendes Gleichungssystem:<br>
-+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
+<math>\begin{array}{clllll}\\
-- Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
+\mathrm{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
-+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
+\mathrm{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
-+ Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
+\end{array}</math>
-- Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion
+<br /><br />
+Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?}
+- <math>x > 0</math> und <math>y > 6</math>
++ <math>x > 1</math> und <math>y < 6</math>
+- <math>x < 1</math> und <math>y > 3</math>
+- <math>x < 0</math> und <math>y < 3</math>
-{  Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung. }
+{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in <math>\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math> bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen <math>\textstyle 55\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math>. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }
-+ Wahr
++ <math>f(10)=55</math>
-- Falsch
+- <math>f'(20)=0</math>
++ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
++ <math>f(60)=f(0)</math>
+- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
++ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.
-{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
+{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
 - Wahr
 + Falsch
-{ Dummy zu Thema d) }
+{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
-- 1
+- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
-- 2
++ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
+- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
-{ Dummy zu Thema d) }
++ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.
-- 1
-- 2
-{ Dummy zu Thema d) }
+{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math>\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
-- 1
+- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
-- 2
++ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke des Autos an.
+- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.
-{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv. }
+{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
 - Wahr
 + Falsch
-{ Bestimme die Stammfunktion von <math> f(x) = 17x^5 + 4x^3 - 11x - 568 + 23x^4 </math>  }
+{ In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math>. Die Fläche unter der Funktion hat auf dem eingezeichneten Intervall einen Flächeninhalt von <math>B=6</math>.
-- <math> F(x) = 85x^4+92x^3+12x^2-11 </math>
+[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|ohne|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]
-+ <math> F(x) = \frac{17}{6}x^6+\frac{23}{5}x^5+x^4-\frac{11}{2}x^2-568x+c </math>
+Welchen Wert nimmt die Funktion im Durchschnitt auf dem eingezeichneten Intervall an? }
-- <math> F(x) = 85x^6+92x^5+12x^4-11x^2-568x+c </math>
+- -1
-- <math> F(x) = \frac{17}{5}x^6+\frac{23}{4}x^5+\frac{4}{3}x^4-11x^2-568x+c </math>
+- 1
+- 1,25
-{ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: Die Funktion <math>f</math> sei stetig auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt: }
++ 2
-+ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)</math>
+- 5
-- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(a) - F(b)</math>
+- 12
-- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) + F(a)</math>
-- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)</math>
-{ Die Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot e^x </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot e^x </math>. }
-- wahr
-+ falsch
-{ Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet?
-<math> \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx </math> }
-+ partielle Integration
-- Integration durch Substitution
-- beide
-- keines der beiden
-{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{1}^{5} 3 \cdot x + 4 dx </math>}
+{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x\,\mathrm dx</math> }
-- 60
+- 6
-- 43
++ 9
-+ 52
+- 12
 </quiz>
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 '''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
 *Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.
 '''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
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 *bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
 *bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]
 |Frage}}

Aktuelle Version vom 12. Juni 2020, 13:59 Uhr

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier kannst du grundlegende Themen der Analysis üben, wiederholen und vertiefen und dich so auch auf das Abitur vorbereiten.

Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.

Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Analysis

1 Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden?

	Indem die Steigung einer Sekante bestimmt wird.
	Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
	Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
	Indem die Steigung einer Tangente bestimmt wird.

2 Was gibt die Tangentensteigung an?

	Die durchschnittliche Änderungsrate.
	Die lokale Änderungsrate.
	Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

3 Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von $f(x)=2x+5$ an der Stelle $x=-3$ .

	-1
	1
	2
	5

4 Betrachte die Funktion in der folgenden Abbildung.

Wie viele lokale Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?

	Genau zwei lokale Extrema
	Genau drei lokale Extrema
	Genau vier lokale Extrema
	Keinen Wendepunkt
	Genau einen Wendepunkt
	Genau zwei Wendepunkte

5 $f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2$ verhält sich...

	im Unendlichen wie $g(x)=\frac{5}{8}x^3$ .
	im Unendlichen wie $g(x)=-\frac{5}{8}x^3$ .
	nahe Null wie $h(x)=-3x+2$ .
	nahe Null wie $h(x)=3x+2$ .

6 Auf einem Intervall $[x_1, x_2]$ ist eine Funktion $f(x)$ streng monoton steigend, auf dem Intervall $[x_2, x_3]$ ist $f(x)$ streng monoton fallend ( $x_1<x_2<x_3$ ). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen.

	Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall $[x_1, x_3]$ monoton steigend.
	$f'(x_2)=0$
	An der Stelle $x_2$ bestizt die Funktion einen Tiefpunkt.

7 Betrachte folgende Aufgabenstellung.

Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor?

	1. Zielfunktion aufstellen, 2. Nebenbedingung überlegen und 3. Extremwerte ermitteln
	1. Nebenbedingung überlegen, 2. Zielfunktion aufstellen und 2. Extremwerte ermitteln
	1. Zielfunktion aufstellen, 2. Extremwerte ermitteln und 3. Nebenbedingung überlegen

8 Betrachte folgende Abbildung zur Aufgabenstellung in 7.

Die Nebenbedingung lautet...

	a=1m+6b oder b=20m.
	a=10m-b oder b=10m-a.
	a=10m+b oder b=10m+a.

9 In der Zielfunktion zur Aufgabenstellung in 7...

	kommt genau eine Unbekannte vor.
	kommen genau zwei Unbekannte vor.
	kommen genau drei Unbekannte vor.

10 Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt...

	einen Hochpunkt.
	einen Wendepunkt.
	eine Nullstelle.
	einen Sattelpunkt.

11 Löse folgendes Gleichungssystem:
${\displaystyle \begin{array}{clllll}\\ \mathrm{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\ \mathrm{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11 \end{array}}$

Welche Aussage trifft auf $x$ und $y$ zu?

	$x > 0$ und $y > 6$
	$x > 1$ und $y < 6$
	$x < 1$ und $y > 3$
	$x < 0$ und $y < 3$

12 Eine Funktion $f(x)$ beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in $\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ bis es wieder zum Stehen kommt. $x$ wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen $\textstyle 55\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ . Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht.

	$f(10)=55$
	$f'(20)=0$
	$f(20)$ ist eine Wendestelle.
	$f(60)=f(0)$
	Im Intervall $[20,60]$ ist $f'(x)$ negativ.
	Im Intervall $[20,60]$ hat $f'(x)$ mindestens eine Nullstelle.

13 Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.

	Wahr
	Falsch

14 Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme?

	Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
	Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
	Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
	Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

15 Sei $f(x)$ die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde ( $\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ) angibt, dann gilt für die Stammfunktion $F(x)$ :

	$F(x)$ gibt die Beschleunigung des Autos an.
	$F(x)$ gibt die zurückgelegte Strecke des Autos an.
	$F(x)$ gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

16 Eine Stammfunktion von $f(x) = x^2 \cdot cos(x)$ lautet $F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x)$ .

	Wahr
	Falsch

17 In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion $b(x)= x^2 + 1$ . Die Fläche unter der Funktion hat auf dem eingezeichneten Intervall einen Flächeninhalt von $B=6$ .

Flächeninhalt der Funktion

b(x)

Welchen Wert nimmt die Funktion im Durchschnitt auf dem eingezeichneten Intervall an?

	-1
	1
	1,25
	2
	5
	12

18 Bestimme den Wert des Integrals $\int_{0}^{3} 2 \cdot x\,\mathrm dx$

	6
	9
	12

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate
bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel Optimierungsprobleme
bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel Steckbriefaufgaben
bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt
bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel Von der Randfunktion zur Integralfunktion

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