Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 19. April 2024, 14:28 Uhr

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Kreis und Zylinder - Startseite

1 Kreisumfang
2 Kreisfläche
3 Kreisteile
4 Zylinder
5 Zusammengesetzte Körper

3 Kreisteile

Welche Arten von Kreisteilen gibt es?
Mache dich mit den verschiedenen Begriffen vertraut:

Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager

Übung 1 - Begriffe

Bearbeite die nachfolgenden Apps (Autor: FLINK-Team, GeoGebra)

3.1 Kreisring

Kreisringe - Bogenschießen

Die Scheibe beim Bogenschießen besteht aus Kreisringen mit fünf verschiedenen Farben, wobei jeder Farbring gleich breit ist. Der Durchmesser der Bogenscheibe beträgt 80 cm. Die Punkte werden danach verteilt, welcher Ring getroffen wird.

Die meisten Punkte gibt, wenn der gelbe Kreis getroffen wird, die wenigsten Punkte für das Treffen des weißen Kreisringes. Ist das sinnvoll?
a) Berechne dazu die Flächeninhalte der einzelnen Farbringe.

b) Leite eine Formel herleiten, mit der du den Flächeninhalt von Kreisringen bestimmen kannst.

Tipp 1

Tipp 2

Tipp 3

Vergleiche deine Lösungen zu a

Tipp zu b

Kreisring

Flächeninhalt eines Kreisringes:
A_Kreisring = π·r_a² - π·r_i² | (π als gleichen Faktor ausklammern)

= π·(r²_a - r²_i)

Die Formel wird veranschaulicht im nachfolgenden Applet: https://www.geogebra.org/m/mdksvgq6

Übung 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch und prüfe deine Ergebnisse mit dem Applet oben.

S. 150 Nr. 6

Tipp zu Nr. 6b

Übung 3

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

5
23 (Profi-Aufgabe, freiwillig)

Formel umstellen Nr. 23

gegeben: A Kreisring und d, also auch der äußere Radius r_a.
Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreisringes nach _i um:
A = π· $r_a^2$ - π· $r_i^2$   |+π· $r_i^2$
π· $r_i^2$ + A = π· $r_a^2$   |-A
π· $r_i^2$ = π· $r_a^2$ - A   |:π
$r_i^2$ = $\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}$   | $\surd$
$r_i^2$ = $\sqrt{\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}}$   |Werte einsetzen

r_i

= ...

Übung 4 - Anwendung

Löse die nachfolgenden LearningApps.

3.2 Kreisausschnitt A_S und Kreisbogen b

Kreisteile - Begriffe

Teile einen Kreis durch zwei Radien.

Beobachte den Zusammenhang zwischen der Fläche des Kreisausschnittes und dem Mittelpunktswinkel α im nachfolgenden Applet:

Applet von IT Wombat

Übung 5

Löse die folgende LearningApp zu Mittelpunktswinkeln und ihren Bezeichnungen

Kreisausschnitt und Kreisbogen

Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.

Beispiele:
geg: r = 5cm; α = 72°

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A_S:
A_S = π·r²· $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ |Werte einsetzen
= π·5²· $\tfrac{72^\circ}{360^\circ}$

= 15,71 (cm²)

Berechne die Länge des Kreisbogens b:

b = 2·π·r· $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$ |Werte einsetzen
= 2·π·5· $\tfrac{72^\circ}{360^\circ}$

= 6,3 (cm)

Übung 6

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

1
2
3
4
5

Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine ausführliche und übersichtliche Darstellung.

S. 138 Nr. 2
S. 138 Nr. 3

Prüfe deine Lösungen mithilfe des Applets:

Formeln umstellen

a) geg: A_S = 38,6 cm²; α = 108°

ges: r

b) geg: b = 6cm; α = 48°

ges: r

c) geg: r = 8,5 cm; A_S = 70,6 cm²

ges: α

Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.

Tipp zu a

Tipp zu b

Tipp zu c

Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.

S. 138 Nr. 4 b,c
S. 138 Nr. 5 a,c
S. 138 Nr. 6
S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)

Tipp zu Nr. 5a (Formel umstellen)

geg: b und r
ges: α
Stelle die Kreisbogen-Formel nach α um:
b = 2πr· $\tfrac{\alpha}{360}$   |·360 ("Nenner weg")
360°·b = 2πr·α    | : (2πr)
$\tfrac{360 \cdot b}{2\pi r}$ = α   | Werte einsetzen

...

Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 und 5

Tipp zu Nr. 6

Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:
b=2·π·r· $\tfrac{\alpha}{360}$
1=2·π·1· $\tfrac{\alpha}{360}$   |·360
360 = 2·π·1·α   |:(2·π)
$\tfrac{360}{2\pi}$ = α
57,3° ≈ α

2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.
b=2·π·r· $\tfrac{\alpha}{360}$ &nbps; |b=r
r=2·π·r· $\tfrac{\alpha}{360}$   |·360
r·360 = 2·π·r·α   |:(2·π·r)
$\tfrac{360}{2\pi r}$ = α   |r kürzen
$\tfrac{360}{2\pi}$ = α
57,3° ≈ α

b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)
oder b = 2r einsetzen
Lösung: α ≈ 114,6°
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)
oder b=0,5r

α ≈ 28,6°

Anwendungsaufgaben

Übung 9 - Anwendungen

Löse die Aufgabe aus dem Buch und die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

S. 138 Nr. 8
12
13
39
42
43

Tipp zu Nr. 8

Übung 10 - Profiaufgaben

* Scheibenwischer

Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer schwenkt über einen Winkel von 150° hin und her. Berechne den Flächeninhalt der erfassten Fläche.

* Wendeltreppe
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.

Tipp Animation

Tipp zur Rechnung

Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.

A = A_Kreisring ·

\tfrac{\alpha}{360^\circ}

Tipp zur Aufgabe Wendeltreppe

Zusammenfassung

4 Zylinder

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 {{Box|Übung 3|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/kreis/kreisflaeche.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
 * 5
-* 23|Üben}}
+* 23 (Profi-Aufgabe, freiwillig)|Üben}}
+{{Lösung versteckt|1=gegeben: A Kreisring und d, also auch der äußere Radius r<sub>a</sub>.<br>
+Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreisringes nach <sub>i</sub> um:<br>
+A = π·<math>r_a^2</math> - π·<math>r_i^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;+π·<math>r_i^2</math><br>
+π·<math>r_i^2</math> + A = π·<math>r_a^2</math> &nbsp;&nbsp;&#124;-A<br>
+π·<math>r_i^2</math> = π·<math>r_a^2</math> - A &nbsp;&nbsp;&#124;:π<br>
+<math>r_i^2</math> = <math>\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
+<math>r_i^2</math> = <math>\sqrt{\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;Werte einsetzen<br>
+<math>r_i</math> = ...|2=Formel umstellen Nr. 23|3=Verbergen}}
 {{Box|Übung 4 - Anwendung|Löse die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
 {{LearningApp|app=ppwg6p33j21|width=100%|height=600px}}
@@ Zeile 155: / Zeile 164: @@
 {{Box|Übung 8|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.
 * S. 138 Nr. 4 b,c
-* S. 138 Nr. 5 a,d
+* S. 138 Nr. 5 a,c
 * S. 138 Nr. 6
 * S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)|Üben}}
+{{Lösung versteckt|1=geg: b und r<br>
+ges: α<br>
+Stelle die Kreisbogen-Formel nach α um:<br>
+b = 2πr·<math>\tfrac{\alpha}{360}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·360 ("Nenner weg")<br>
+°·b = 2πr·α &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124; : (2πr)<br>
+<math>\tfrac{360 \cdot b}{2\pi r}</math> = α &nbsp;&nbsp;&#124; Werte einsetzen<br>
+... |2=Tipp zu Nr. 5a (Formel umstellen)|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|1=Lösungen:<br>
+b) r ≈ 1,11 cm; 4c) r ≈ 20,0 cm<br>
+a) α ≈ 80,21°; 5c) α ≈ 144,3°|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 und 5|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...<br>
 . Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:<br>
@@ Zeile 199: / Zeile 218: @@
 [[Datei:Wendeltreppe Stufe.png|rechts|rahmenlos|300x300px]]* Wendeltreppe<br>
 Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.|Üben}}
-{{Lösung versteckt|1=Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:<br>
+{{Lösung versteckt|1=Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:<br>Originallink: https://www.geogebra.org/m/ruaau9qb<br>
 <ggb_applet id="ruaau9qb" width="1904" height="948" border="888888" /><br>|2=Tipp Animation|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.<br>

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