Benutzer:Buss-Haskert/Kreis und Zylinder/Kreisteile

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Kreis und Zylinder - Startseite

1 Kreisumfang
2 Kreisfläche
3 Kreisteile
4 Zylinder
5 Zusammengesetzte Körper

3 Kreisteile

Welche Arten von Kreisteilen gibt es?
Mache dich mit den verschiedenen Begriffen vertraut:

Applet von GeoGebra Translation Team German, Pöchtrager

Übung 1 - Begriffe

Bearbeite die nachfolgenden Apps (Autor: FLINK-Team, GeoGebra)

3.1 Kreisring

Kreisringe - Bogenschießen

Die Scheibe beim Bogenschießen besteht aus Kreisringen mit fünf verschiedenen Farben, wobei jeder Farbring gleich breit ist. Der Durchmesser der Bogenscheibe beträgt 80 cm. Die Punkte werden danach verteilt, welcher Ring getroffen wird.

Die meisten Punkte gibt, wenn der gelbe Kreis getroffen wird, die wenigsten Punkte für das Treffen des weißen Kreisringes. Ist das sinnvoll?
a) Berechne dazu die Flächeninhalte der einzelnen Farbringe.

b) Leite eine Formel herleiten, mit der du den Flächeninhalt von Kreisringen bestimmen kannst.

Für die Fläche des weißen Ringes, berechne zunächst den Flächeninhalt der gesamte Scheibe A₁ mit dem Radius r_außen = 40cm. Subtrahiere anschließend den Flächeninhalt des inneren Kreises A₂ mit dem Radius r_innen = 32cm.

Jeder Kreisring ist 8 cm breit.

A_{Kreisring weiß} = A₁ - A₂
   = π·r_a² - π·r_i²
   = π·40² - π·32²
   = π·(40² - 32²)

   = 1809,56 (cm²)

Den Flächeninhalt des schwarzen, blauen und roten Ringes berechne ebenso. Wähle jeweils der Radius des äußeren und inneren Kreises passend:
schwarzer Ring: r_a = 32cm; r_i = 24cm.
blauer Ring: r_a = 24cm; r_i = 16cm.
roter Ring: r_a = 16cm; r_i = 8cm.

Der gelbe Kreis ist ein ganzer Kreis mit dem Radius r = 8cm.

Vergleiche deine Lösung zu a)
A_weiß = 1809,56 cm²
A_schwarz = 1407,43 cm²
A_blau = 1005,31 cm²
A_rot = 603,19 cm²
A_gelb = 201,06 cm²

Da der Flächeninhalt immer kleiner wird, ist es sinnvoll für eine kleiner Fläche mehr Punkte zu verteilen.

Für die Berechnungen der Flächeninhalte der Kreisringe hast du immer vom äußeren Kreis den inneren Kreis subtrahiert. Leite so die Formel her:
A_Kreisring = A_außen - A_innen
     = π·r²_a - π·r²_i   | π als gleichen Faktor ausklammern

     = π·(r²_a - r²_i)

Kreisring

Flächeninhalt eines Kreisringes:
A_Kreisring = π·r_a² - π·r_i²   | (π als gleichen Faktor ausklammern)

     = π·(r²_a - r²_i)

Die Formel wird veranschaulicht im nachfolgenden Applet: https://www.geogebra.org/m/mdksvgq6

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Übung 2

Löse die Aufgabe aus dem Buch und prüfe deine Ergebnisse mit dem Applet oben.

• S. 150 Nr. 6

Berechne zunächst r₂.

r₂=r₁+a

Übung 3

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 5
• 23 (Profi-Aufgabe, freiwillig)

gegeben: A Kreisring und d, also auch der äußere Radius r_a.
Stelle die Gleichung für den Flächeninhalt des Kreisringes nach _i um:
A = π·$r_a^2$ - π·$r_i^2$   |+π·$r_i^2$
π·$r_i^2$ + A = π·$r_a^2$   |-A
π·$r_i^2$ = π·$r_a^2$ - A   |:π
$r_i^2$ = $\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}$   |$\surd$
$r_i^2$ = $\sqrt{\tfrac{\pi \cdot r_a^2 - A}{\pi}}$   |Werte einsetzen

$r_i$ = ...

Übung 4 - Anwendung

Löse die nachfolgenden LearningApps.

3.2 Kreisausschnitt A_S und Kreisbogen b

Kreisteile - Begriffe

Teile einen Kreis durch zwei Radien.

Beobachte den Zusammenhang zwischen der Fläche des Kreisausschnittes und dem Mittelpunktswinkel α im nachfolgenden Applet:

Applet von IT Wombat

Übung 5

Löse die folgende LearningApp zu Mittelpunktswinkeln und ihren Bezeichnungen

Kreisausschnitt und Kreisbogen

Übertrage den Hefteintrag und die Beispiele in dein Heft.

Beispiele:
geg: r = 5cm; α = 72°

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A_S:
A_S = π·r²·$\tfrac{\alpha}{360^\circ}$   |Werte einsetzen
   = π·5²·$\tfrac{72^\circ}{360^\circ}$

   = 15,71 (cm²)

Berechne die Länge des Kreisbogens b:

b = 2·π·r·$\tfrac{\alpha}{360^\circ}$   |Werte einsetzen
   = 2·π·5·$\tfrac{72^\circ}{360^\circ}$

   = 6,3 (cm)

Übung 6

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

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Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine ausführliche und übersichtliche Darstellung.

• S. 138 Nr. 2
• S. 138 Nr. 3

Prüfe deine Lösungen mithilfe des Applets:

Formeln umstellen

Formeln umstellen

a) geg: A_S = 38,6 cm²; α = 108°

ges: r

b) geg: b = 6cm; α = 48°

ges: r

c) geg: r = 8,5 cm; A_S = 70,6 cm²

ges: α

Stelle jeweils die Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösungen mithilfe des obigen Applets.

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Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Stelle dazu die entsprechenden Formeln nach der gesuchten Größe um. Prüfe deine Lösung mit dem Applet oben.

• S. 138 Nr. 4 b,c
• S. 138 Nr. 5 a,c
• S. 138 Nr. 6
• S. 138 Nr. 7 (Wähle hier die Übungen aus, bei denen du noch Schwierigkeiten in Nr. 4 bzw. Nr. 5 hattest.)

geg: b und r
ges: α
Stelle die Kreisbogen-Formel nach α um:
b = 2πr·$\tfrac{\alpha}{360}$   |·360 ("Nenner weg")
360°·b = 2πr·α    | : (2πr)
$\tfrac{360 \cdot b}{2\pi r}$ = α   | Werte einsetzen

...

Lösungen:
4b) r ≈ 1,11 cm; 4c) r ≈ 20,0 cm

5a) α ≈ 80,21°; 5c) α ≈ 144,3°

Der Bogen b ist genauso lang wie der Radius r...
1. Idee (leicht): Setzte eine Zahl ein, z.B. b=1, dann ist auch r=1 (b soll genauso lang sein wie r) und stelle die Gleichung nach α um:
b=2·π·r·$\tfrac{\alpha}{360}$
1=2·π·1·$\tfrac{\alpha}{360}$   |·360
360 = 2·π·1·α   |:(2·π)
$\tfrac{360}{2\pi}$ = α
57,3° ≈ α

2. Idee (schwieriger, allgemein): Schreibe die Gleichung mit nur einer Variablen, z.B. r, denn b=r.
b=2·π·r·$\tfrac{\alpha}{360}$ &nbps; |b=r
r=2·π·r·$\tfrac{\alpha}{360}$   |·360
r·360 = 2·π·r·α   |:(2·π·r)
$\tfrac{360}{2\pi r}$ = α   |r kürzen
$\tfrac{360}{2\pi}$ = α
57,3° ≈ α

b) Gehe ebenso vor, also z.B. b=2, r=1 (b ist doppelt so groß wie r)
oder b = 2r einsetzen
Lösung: α ≈ 114,6°
Gege ebenso vor, also z.B. b=1, r=2 (b ist halb so groß wie r)
oder b=0,5r

α ≈ 28,6°

Anwendungsaufgaben

Übung 9 - Anwendungen

Löse die Aufgabe aus dem Buch und die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• S. 138 Nr. 8
• 12
• 13
• 39
• 42
• 43

Du findest im Aufgabentext Informationen zum Radius und zum Mittelpunktswinkel.

Übung 10 - Profiaufgaben

* Scheibenwischer

Der Scheibenwischer eines Autos hat eine Länge von 48cm. Vom Drehpunkt bis zum unteren Ende des Wischerblattes sind es 16cm. Der Scheibenwischer schwenkt über einen Winkel von 150° hin und her. Berechne den Flächeninhalt der erfassten Fläche.

* Wendeltreppe
Eine Wendeltreppe besteht aus 12 Stufen, die zusammen eine vollständige Drehung ergeben. Die Stufen einer Wendeltreppe haben die im Bild angegebenen Maße. Bestimme den Flächeninhalt einer Treppenstufe.

Verwende zur Überprüfung deiner Rechnungen das Applet:
Originallink: https://www.geogebra.org/m/ruaau9qb

Es handelt sich um einen Ausschnitt eines Kreisringes.

A = A_Kreisring · $\tfrac{\alpha}{360^\circ}$

Der Mittelpunktswinkel α beträgt 360°:12 = 30°, da 12 Stufen genau 360° ergeben.

Zusammenfassung

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4 Zylinder