Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen

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Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag

1. Zahlen und Größen

2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung
3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)
4. Funktionen: Lineare Funktionen
5. Funktionen: Quadratische Funktionen
6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie
7. Diagramme, Statistik
8. Wahrscheinlichkeitsrechnung
9. Wachstum und Exponentialfunktion

Gleichungen lösen

Einstiegstest: Terme und Gleichungen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 4 und multipliziere das Ergebnis mit 4. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?

	a·4 + a
	4·a + 16
	a
	a + 4

2 Denke dir eine Zahl x aus. Addiere 5 und multipliziere das Ergebnis mit 6. Welcher Term gibt den Sachverhalt richtig an?

	x·5 + 6
	x + 6·5
	6·(x + 5)
	x

3 Löse die Klammer auf und fasse anschließend den Term so weit wie möglich zusammen. 4·(2 - x) + 2x?

	8 - 2x
	8 + 2x
	8
	6x

4 Löse die Gleichung: 12x - 2 = 0

	x = 6
	x = -6
	x = $\tfrac{1}{6}$
	x = -$\tfrac{1}{6}$

5 Löse die Gleichung: 5x - 3 = 26x

	x = 7
	x = $\tfrac{1}{7}$
	x = -7
	x = -$\tfrac{1}{7}$

6 Löse die Gleichung: 24x - 6 = 14 - 6x

	x = 1,5
	x = $\tfrac{2}{3}$
	x = 2,25

7 Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 36. Welche Bedeutung hat n in der zugehörigen Gleichung (n-1) + n + (n+1) = 36 ?

	die kleinste Zahl
	die mittlere Zahl
	die größte Zahl
	die Summe der Zahlen

8 Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem. (Begründe!)

I y = 3x + 5

II y = 3x + 2

	unendlich viele Lösungen
	eine Lösung
	keine Lösung

9 Löse das lineare Gleichungssystem (ausführlich in deinem Heft). Wie lautet die Lösung?

I -2x - y = 1

II 3x + y = -1

	(1|-1)
	(0|1)
	(0|-1)
	(-1|1)

10 Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): (x - 5)(x + 8) = 0. Wie lauten die Lösungen?

	x1 = 5; x2 = -8
	x1 = -5; x2 = 8
	x1 = 5; x2 = -5
	x1 = 8; x2 = -8

11 Löse die Gleichung (Schritt für Schritt im Heft): x² - 18x + 17. Wie lauten die Lösungen?

	x1 = -18; x2 = 17
	x1 = 18; x2 = -17
	x1 = 17; x2 = 1
	x1 = 18; x2 = 1

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

• Terme Nr. 1-3
• Lineare Gleichungen Nr. 4-7
• Lineare Gleichungssysteme Nr. 8,9
• Quadratische Gleichungen Nr. 10,11

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch und vergleiche deine Lösungen. Nutze bei Bedarf die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.

• Terme: S. 147 und S. 118, P1 - P9
• Lineare Gleichungen: S. 148 und S. 119, P10 - 19
• Lineare Gleichungssysteme: S. 149 und S.120, P22 - P28
• Quadratische Gleichungen: S. 151, N. 5,6 und S. 121, P35 - P37; P39-P41

1. Terme aufstellen und zusammenfassen

...wird noch ergänzt...

Erinnerung: Terme mit Klammern (Klasse 8)

Präge dir die Regeln zum Auflösen von Klammern ein. Notiere als Hilfe die entsprechenden Symbole hinter den Termen.

2. Gleichungen

Gleichungen

Je nachdem, in welcher Potenz die Variable vorkommt, unterschieden wir zwischen verschiedenen Gleichungen.
Lineare Gleichung: Die Variable kommt nur in einfacher Potenz vor, also x. Beispiel: 3x + 4 (x - 3) = 4 - (3 - x) + 2
Quadratische Gleichung: Die Variable kommt in quadratischer Form vor, also x². Beispiel: -2x² + 2x + 24 = 0

Gleichungen höheren Grades: Die Variable kommt in höherer Potenz vor. Beispiel: 375 = 3x³

Gleichungen lösen

Gleichungen lösen durch
Termumformungen: Klammern auflösen und Terme zusammenfassen

Äquivalenzumformungen: Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren/subtrahieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren (außer 0)

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2.1 Lineare Gleichungen lösen

Gleichungen lösen Schritt für Schritt

Übung online

In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)

• Übung 1
• Übung 2

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungen mit je zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Du hast verschiedene Möglichkeiten, ein LGS zu lösen:

• zeichnerisch
• Gleichsetzungsverfahren
• Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren)
• Einsetzungsverfahren

Zeichnerisch lösen:

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Gleichsetzungsverfahren:

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Additionsverfahren:

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Einsetzungsverfahren:

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Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. Die zugehörigen Terme werden gleichgesetzt, diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Übung online

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Gleichsetzungsverfahren.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so umgeformt, dass beim Addieren (bzw. Subtrahieren) eine Variable wegfällt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Übung

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Additionsverfahren.

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Der erhaltene Term wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung hat nur noch eine Variable.

Übung online

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zum Einsetzungsverfahren.

Wie viele Lösungen haben die lineare Gleichungssysteme?

2.3 Quadratische Gleichungen lösen

Formen quadratischer Gleichungen

Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen und diese werden auf verschiedene Arten gelöst.

1. Rein quadratische Gleichungen: ax² + c = 0
2. Gemischt quadratische Gleichungen - Normalform: x² + px + q = 0
3. Gemischt quadratischer Gleichungen - allgemeine Form: ax² + bx + c = 0

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, um welche Form quadratischer Gleichungen es sich handelt.

Übersicht zur Lösung quadratischer Gleichungen:

rein quadratische Gleichungen lösen

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Gleichungen in der Normalform lösen mit der p-q-Formel

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Gleichungen in allgemeiner Form lösen

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Rein quadratische Gleichungen lösen

Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:
    ax² = c.

Löse durch Wurzelziehen.

Beispiel:
6x² + 10 = 394   |-10
6x² = 384    |:6
x² = 64    |±$\surd$
x_1/2 = ± 8
x₁ = -8; x₂ = 8

Gemischt quadratische Gleichungen lösen mit der p-q-Formel

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0 Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

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Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.

Beispiel:
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{121-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{49}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$ an.

Beispiel:
2x² - 5x - 12 = 0   |:2 (in die Normalform umwandeln, dann p-q-Formel anwenden)
x² - 2,5x - 6 = 0  |Setze ein: p=-2,5; $\tfrac{p}{2}$=1,25; -$\tfrac{p}{2}$=-1,25; q=-6
x_1/2 = 1,25$\pm\sqrt{1,25^2-(-6)}$
x_1/2 = 1,25$\pm$2,75
x₁ = -1,5; x₂ = 4

Übe das Umwandeln in die Normalform:

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung $\left ( \frac{b}{2} \right )^2$ auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.

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Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand $\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q$ wird Diskriminante D genannt.
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.

Beispiele:

D > 0, zwei Lösungen:

1. x² + 6x + 5 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 5$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-5}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{4}$  D = 4 (positiv)
x_1/2 = -3$\pm$2   x₁ = -1 ; x₂ = -5

D = 0,eine Lösung:

2. x² + 6x + 9 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 9$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-9}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{0}$  D = 0
x_1/2 = -3$\pm$0

D < 0,keine Lösung:

3. x² + 6x + 10 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 10$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-10}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{-1}$  D < 0 (negativ)

$\sqrt{-1}$ ist nicht lösbar, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.

Übung online

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