Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm: Unterschied zwischen den Versionen
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*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]<br> | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]<br> | ||
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.5) Bunte Mischung]]}} | *[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.5) Bunte Mischung]]}} | ||
===4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt=== | |||
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen. | |||
{{Box|Höhen im Parallelogramm|Der Abstand zwischen den parallelen Seiten des Parallelogramms wird als Höhe bezeichnet. Ein Parallelogramm hat zwei Höhen. Du zeichnest die Höhe, indem du eine Strecke rechtwinklig zu einer Seite konstruierst und diese mit der dazu parallelen Seite verbindest.|Arbeitsmethode}} | |||
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf? | |||
<ggb_applet id="BkjVfyDh" width="800" height="600" /> | |||
{{Box|Höhen im Parallelogramm zeichnen|Zeichne ein beliebiges Parallelogramm in dein Heft und beschrifte die Seiten a und b. Zeichne nun die Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub>. Die Bildfolgen helfen dir dabei.|Üben}} | |||
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 1.png|rahmenlos]]Nullpunkt</div> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 3.png|rahmenlos]]Mittellinie</div> | |||
</div> | |||
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest: | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm_Höhen_einzeichnen_2.png|rahmenlos]]Schiebe den Nullpunkt auf die Seite.</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 4.png|rahmenlos]]Drehe das Geodreieck so, dass die Mittellinie auf der Seite liegt.</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 5.png|rahmenlos]]Zeichne die Höhe.</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 6.png|rahmenlos]]Beschrifte die Zeichnung.</div> | |||
</div> | |||
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor: | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 7.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 8.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 9.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-4">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 10.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können: | |||
Beispiel 2 | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 11.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 12.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 13.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 14.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 15.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen. | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 16.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 17.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 18.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
Beispiel 3 | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 21.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 22.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-3">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 23.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen. | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 19.png|rahmenlos]]</div> | |||
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallelogramm Höhen einzeichnen 20.png|rahmenlos]]</div> | |||
</div> | |||
{{Box|Übung 2: Höhen zeichnen|Zeichne auf dem AB Nr. 1 alle Höhe ein. Eventuell musst du die Seiten verlängern.|Üben}} | |||
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]] | |||
Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.<br> | |||
<ggb_applet id="V6CzmdBf" width="900" height="550" border="888888" /> | |||
<br> | |||
<br> | |||
{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms|2=[[Datei:Parallelogramm mit zwei Höhen.png|rahmenlos]]<br> | |||
Der Flächeninhalt A eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Seitenlänge und der zugehörigen Höhe.<br> | |||
'''A = a∙h<sub>a</sub>''' oder '''A = b∙h<sub>b</sub>'''; allgemein: '''A = g∙h'''<br> | |||
Der Umfang u eines Parallelogramms wird berechnet mit<br> | |||
'''u = 2a + 2b''' oder u = 2(a + b).|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | |||
<ggb_applet id="fxuakzxq" width="900" height="500" border="888888" /> | |||
{{Box|Übung 3|Berechne den Flächeninhalt und Umfang der Parallelogramme im Buch | |||
* S. 85 Nr. 1 | |||
* S. 85 Nr. 2 | |||
* S. 85 Nr. 6|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; h<sub>a</sub>=5cm und b=6cm.<br> | |||
A=a∙h<sub>a</sub><br> =8∙5<br> =40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm'''²'''<br> | |||
u=2a + 2b<br> =2∙8 + 2∙6<br> =28 (cm)|2=Beispielrechnung zu Nr. 1a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Achte auf gleiche Einheiten! <br> | |||
a=3dm=30cm; b=71cm; c=0,9m=90cm|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}} | |||
{{LearningApp|app=psp0mexxk19|width=100%|height=600px}} | |||
{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer Seite oder Höhe zu berechnen, müssen die Formeln für den Flächeninhalt bzw. Umfang umgestellt werden. <br>1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach der Seitenlänge und nach der Länge der Höhe.<br>2. Stelle die Umfangsformel nach einer Seitenlänge um.|Üben}} | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Seite:<br> | |||
A = a∙h<sub>a</sub> |:h<sub>a</sub><br> | |||
<math>\tfrac{A}{ha}</math> = a<br> | |||
a = <math>\tfrac{A}{ha}</math><br> | |||
</div> | |||
<div class="width-1-2">Umstellen nach einer Höhe:<br> | |||
A = a∙h<sub>a</sub> |:a<br> | |||
<math>\tfrac{A}{a}</math> = h<sub>a</sub><br> | |||
h<sub>a</sub> = <math>\tfrac{A}{a}</math><br></div> | |||
</div> | |||
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:<br> | |||
u = 2a + 2b |-2b<br> | |||
u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)<br> | |||
<math>\tfrac{u}{2}</math> - b = a<br> | |||
Stelle die Formel entsprechend nach b um. | |||
{{LearningApp|app=pmrr5tk0519|Width=100%|height=600px}} | |||
{{Box|Übung 4|Löse Buch | |||
* S. 85 Nr. 7 | |||
* S. 96 Nr. 3 | |||
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}} | |||
{{Box|Übung 5|Nachdenkaufgabe: Löse Buch | |||
* S. 86 Nr. 14 | |||
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt und dem Umfang des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}} | |||
<ggb_applet id="eemvx2an" width="800" height="620" /> | |||
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Parallelogrammen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um'''). | |||
* S. 86 Nr. 9 | |||
* S. 86 Nr. 10 | |||
* S. 86 Nr. 11 | |||
* S. 86 Nr. 12 | |||
* S. 86 Nr. 13|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Prüfe, ob die Fläche der Gangway richtig berechnet wurde.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Beschrifte die Skizze vollständig und bestimme dann den Flächeninhalt der Straße (Parallelogramm)|Tipp 1 zu Nr. 10|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|[[Datei:S.86 Nr.10 Tipp.png|rahmenlos|400px]]|Tipp 2 zu Nr. 10|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit <br> | |||
1. a = 6 m; ha= 4,25m <br> | |||
2. a = 4m; ha = 4,25m<br> | |||
35 Dachziegeln pro m²<br> | |||
ges.: Anzahl der Dachziegel|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche ist 42,5 m² groß, also werden 42,5∙35 = 1487,5 Dachziegel benötigt. <br>Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg: Treppenaufgang Parallelogramm,<br> | |||
a= 3,30m; ha= 2,00 m <br> | |||
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)<br> | |||
45,30€ pro m²<br> | |||
ges.: Kosten|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 7|Nachdenkaufgabe: Löse Buch | |||
* S. 90 Nr. 14 | |||
Nutze als Hilfe das nachfolgende Applet: Verschiebe den Punkt und beobachte, was mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms geschieht. Notiere und erkläre.|Üben}} | |||
<ggb_applet id="yxbrw54u" width="1920" height="964" border="888888" /> | |||
===4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt=== | ===4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt=== | ||
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute. | Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute. |
Version vom 1. November 2020, 07:11 Uhr
4.3) Parallelogramm: Umfang und Flächeninhalt
Um die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms herzuleiten, musst du den Begriff der "Höhe" kennen.
Verschiebe im nachfolgenden Applet die Punkte und beobachte die Lage der Höhen. Was fällt dir auf?
Wiederhole wichtige Begriffe zum Geodreieck: Nullpunkt und Mittellinie
Hier siehst du, wie du Schritt für Schritt die Höhen in das Parallelogramm einzeichnest:
Um die Höhe zur Seite b zu zeichnen, gehe ebenso vor:
Manchmal musst du die Seiten des Parallelogramms verlängern, um die Höhe zeichnen zu können:
Beispiel 2
Die Höhe zur Seite b kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Beispiel 3
Die Höhe zur Seite a kannst du ohne eine Verlängerung der Seite einzeichnen.
Nun versuche, mithilfe des GaeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms herzuleiten. Notiere deine Ideen.
Gegeben sind in der Zeichnung a=8cm; ha=5cm und b=6cm.
A=a∙ha
=8∙5
=40 (cm²) Achte auf die richtige Einheit cm²
=2∙8 + 2∙6
=28 (cm)
Achte auf gleiche Einheiten!
A = a∙ha |:ha
= a
a =
A = a∙ha |:a
= ha
Umstellen der Umfangsformel nach einer Seite:
u = 2a + 2b |-2b
u - 2b = 2a |:2 (denn 2a=2∙a, rechne also umgekehrt :2!)
- b = a
Stelle die Formel entsprechend nach b um.
geg.: Dachfläche zusammengesetzt aus zwei Parallelogrammen mit
1. a = 6 m; ha= 4,25m
2. a = 4m; ha = 4,25m
35 Dachziegeln pro m²
Hier muss in der Antwort eine sinnvolle Zahl für die gegebene Situation angeben werden!
geg: Treppenaufgang Parallelogramm,
a= 3,30m; ha= 2,00 m
(oder b = 2,7 m ; hb= 2,45 m)
45,30€ pro m²
4.4) Raute: Umfang und Flächeninhalt
Die Raute ist ein besonderes Parallelogramm, also gelten auch die Formeln des Parallelogramms für die Raute.
Es gibt eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt einer Raute zu bestimmen. Bearbeite dazu das Applet. Findest du eine Formel für den Flächeninhalt?
Du kannst deine Rechnung prüfen, wenn du die auch die Höhe einer Seite einzeichnest, misst und dann mit der Flächeninhaltesformel für das Parallelogramm berechnest. Die Flächeninhalte müssen gleich sein.