Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"! | {{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"! | ||
Hier | Hier kannst du grundlegende Themen der Analysis üben, wiederholen und vertiefen und dich so auch auf das Abitur vorbereiten. | ||
Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, wähle bei den folgenden Aufgaben die Antworten aus, die wahr sind. Es können auch mehrere Aussagen ausgewählt werden. Wenn du alle Aufgaben bearbeitet hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine Checkliste für die Lernpfad-Arbeit ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast. | |||
== Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Analysis == | |Lernpfad}} | ||
==Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Analysis== | |||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? } | { Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? } | ||
+ | + Indem die Steigung einer Sekante bestimmt wird. | ||
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird. | - Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird. | ||
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird. | + Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird. | ||
- | - Indem die Steigung einer Tangente bestimmt wird. | ||
{ Was gibt die Tangentensteigung an? } | { Was gibt die Tangentensteigung an? } | ||
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- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert. | - Wie häufig der Graph seine Steigung ändert. | ||
{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)= | { Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=2x+5</math> an der Stelle <math>x=-3</math>. } | ||
- -1 | - -1 | ||
+ | - 1 | ||
+ 2 | |||
- 5 | - 5 | ||
{ Betrachte die Funktion in der folgenden Abbildung. | { Betrachte die Funktion in der folgenden Abbildung. | ||
[[Datei:Item.png|ohne|mini|483x483px]] | [[Datei:Item.png|ohne|mini|483x483px]] | ||
Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion? } | Wie viele lokale Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion? } | ||
- Genau zwei Extrema | - Genau zwei lokale Extrema | ||
+ Genau drei Extrema | + Genau drei lokale Extrema | ||
- Genau vier Extrema | - Genau vier lokale Extrema | ||
- Keinen Wendepunkt | - Keinen Wendepunkt | ||
- Genau einen Wendepunkt | - Genau einen Wendepunkt | ||
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- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>. | - nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>. | ||
{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2 | { Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2]</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>[x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. } | ||
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend. | - Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend. | ||
+ <math>f'(x_2)=0</math> | |||
+ <math>f'(x_2)=0 </math> | |||
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt. | - An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt. | ||
{ Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. | { Betrachte folgende Aufgabenstellung. | ||
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann? | <div style="background:LightGrey"> | ||
Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen. | |||
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann? | |||
</div> | |||
Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? } | Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? } | ||
+ 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Nebenbedingung überlegen und 3. Extremwerte ermitteln | + 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Nebenbedingung überlegen und 3. Extremwerte ermitteln | ||
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- 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Extremwerte ermitteln und 3. Nebenbedingung überlegen | - 1. Zielfunktion aufstellen, 2. Extremwerte ermitteln und 3. Nebenbedingung überlegen | ||
{ Betrachte folgende Abbildung | { Betrachte folgende Abbildung zur Aufgabenstellung in 7. | ||
[[Datei:Weidenzaun .png|ohne|mini]] | [[Datei:Weidenzaun .png|ohne|mini]] | ||
Die Nebenbedingung | Die Nebenbedingung lautet... } | ||
- a=1m+6b oder b=20m. | - a=1m+6b oder b=20m. | ||
+ a=10m-b oder b=10m-a. | + a=10m-b oder b=10m-a. | ||
- a=10m+b oder b=10m+a. | - a=10m+b oder b=10m+a. | ||
{ In der Zielfunktion | { In der Zielfunktion zur Aufgabenstellung in 7... } | ||
+ kommt genau eine Unbekannte vor. | + kommt genau eine Unbekannte vor. | ||
- kommen genau zwei Unbekannte vor. | - kommen genau zwei Unbekannte vor. | ||
| Zeile 73: | Zeile 77: | ||
{Löse folgendes Gleichungssystem:<br> | {Löse folgendes Gleichungssystem:<br> | ||
<math>\begin{array}{ | <math>\begin{array}{clllll}\\ | ||
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\ | \mathrm{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\ | ||
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11 | \mathrm{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
<br /><br /> | <br /><br /> | ||
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?} | Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?} | ||
- <math>x > 0</math> | - <math>x > 0</math> und <math>y > 6</math> | ||
+ <math>x > 1</math> | + <math>x > 1</math> und <math>y < 6</math> | ||
- <math>x < 1</math> | - <math>x < 1</math> und <math>y > 3</math> | ||
- <math>x < 0</math> | - <math>x < 0</math> und <math>y < 3</math> | ||
{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/ | { Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in <math>\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math> bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen <math>\textstyle 55\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math>. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. } | ||
+ <math>f(10)=55</math> | + <math>f(10)=55</math> | ||
- <math>f'(20)=0</math> | - <math>f'(20)=0</math> | ||
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+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral. | + Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral. | ||
{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km | { Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math>\textstyle \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: } | ||
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos | - <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an. | ||
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke des Autos an. | |||
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke | - <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an. | ||
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an. | |||
{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. } | { Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. } | ||
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{ In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math>. Die Fläche unter der Funktion hat auf dem eingezeichneten Intervall einen Flächeninhalt von <math>B=6</math>. | { In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math>. Die Fläche unter der Funktion hat auf dem eingezeichneten Intervall einen Flächeninhalt von <math>B=6</math>. | ||
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|ohne|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]] | [[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|ohne|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]] | ||
Welchen Wert nimmt die Funktion im | Welchen Wert nimmt die Funktion im Durchschnitt auf dem eingezeichneten Intervall an? } | ||
- -1 | - -1 | ||
- 1 | - 1 | ||
Aktuelle Version vom 12. Juni 2020, 13:59 Uhr
Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Analysis
