Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Pythagoras

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SEITE IM AUFBAU!!


2 Satz des Pythagoras

2.1 12-Knoten-Seil

12-Knoten-Seil

Schon im alten Ägypten (lange vor Pythagoras9), gab es Seilspanner, die mithilfe eines 12-Knoten-Seils Felder rechtwinklig einteilen konnten.
Probiere es aus: Teile ein Seil in 12 gleich lange Teile und mache jeweils einen Knoten bzw. markiere die Stelle des Seils farbig. Spanne nun das Seil so, dass du 5 Teile unten (Hypotenuse) und jeweils 3 bzw. 4 Teile an den Seiten (Katheten) hast.
Was beobachtest du?

12 Knoten Seil.png

Prüfe deine Beobachtung mithilfe des nachfolgenden Applets.

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Was hat das mit dem Satz des Pythagoras zu tun?


2.2 Satz des Pythagoras

GeoGebra

Applet von Pöchtrager
Prüfe, ob diese Aussage in jedem Dreieck gilt:

GeoGebra

Applet von Elschenbroich

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras

a² + b² = c².Pythagorasfigur 1.png


Überprüfe die Aussage des Satzes von Pythagoras mithilfe des nachfolgenden Applets.

GeoGebra

Applet von Pöchtrager


Zerlegungsbeweise
Es gibt viele Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die nachfolgenden GeoGebra-Applets nutzen die Zerlegungsmethode, d.h. die Quadrate über den Katheten werden so zerlegt, dass sie neu zusammengelegt das Hypotenusenquadrat ergeben. Erkläre jeweils!

Beweis Nr. 1:

GeoGebra

Applet von J. Mil
Beweis Nr. 2:

GeoGebra

Applet von B.Lachner
Beweis Nr. 3:

GeoGebra

Applet von Pöchtrager
Beweis Nr. 4:


Auch im Lied von Dorfuchs findest du einen Beweis für den Satz des Pythagoras:




Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Danach bearbeite die Übungen der LearningApp.


Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Skizze in dein Heft, markiere die Hypotenuse rot und formuliere den Satz des Pythagoras. (Achte darauf, dass deine Skizze ein rechtwinkliges Dreieck ist.)

  • S. 111 Nr. 2
  • S. 111 Nr. 3
In Nr. 3 gibt es jeweils 3 rechtwinklige Dreiecke pro Figur, das große gesamte Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse (z+w) und die zwei kleinen Dreiecke mit jeweils der Seite y als Kathete.



2.3 Fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen mit dem Satz des Pythagoras

Fehlende Seitenlängen berechnen
Mithilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seitenlängen berechnen. Übertrage die Beispiele in dein Heft


Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.

Figur Beispiel 1.png

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;   Katheten: a = 4cm; b = 6cm

ges: Hypotenuse c

c² = a² + b²   |
c =   |Werte einsetzen
c =   |berechnen
(c =   diesen Schritt musst du nicht notieren)
c 7,2 [cm]

Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.

Figur Beispiel 2.png

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°;   Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm

ges: Kathete b

a² + b² = c²   |-a²
b² = c² - a²   |
b =   |Werte einsetzen
b =   |berechnen
(b =   diesen Schritt musst du nicht notieren)
b = 10,5 [cm]

Hinweis zum Runden: Runde auf so viele Nachkommastellen, wie die Werte in der Aufgabenstellung haben.


Übung 3 - LearningApps
Löse die nachfolgenden Learningapps, achte auf die Schreibweise der Lösungen. Diese sollst du bei der Lösung der Aufgaben aus dem Buch beachten.




Übung 4 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
Danach bearbeite die Aufgaben in den GeoGebra-Applets.

Übungen (GeoGebra-Applets von Pöchtrager)

GeoGebra


GeoGebra


GeoGebra



Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gehe dabei schrittweise vor:
1. Schritt: Prüfe, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
2. Schritt: Entscheide, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist.
3. Schritt: Notiere im Heft geg:... und ges:... wie in den Beispielen oben.
4. Schritt: Berechne dann wie in den Beispielen oben. Notiere vollständig und runde richtig.

  • S. 111 Nr. 4
  • S. 111 Nr. 5
  • S. 111 Nr. 6 (mit Skizze!)
  • S. 111 Nr. 7 (mit Skizze!)

In Aufgabenteil a) ist eine Kathete 4cm lang, von der anderen Kathete kennst du nur das Quadrat (20cm²). Gesucht ist die Hypotenuse x.
x² = 4² + 20   (20 ist schon das Quadrat der zweiten Kathete)
x =

x = 6 [cm]

In Aufgabenteil c) sind die Katheten gleich lang, das Quadrat der Hypotenuse ist gegeben.
50 = x² + x²
50 = 2x²   |:2
25 = x²

...
Um x zu berechnen, teile das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke ein (wie in der Skizze gegeben) und berechne die einzelnen Teilstrecken x1 und x2. x = x1 + x2

Wichtig für die Skizze ist die Angabe, dass =90° ist.

Rechtwinkliges Dreieck ABC.png
Rechtwinkliges Dreieck alpha 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck beta 90°.png
Rechtwinkliges Dreieck gamma 90°.png

geg: Flächeninhalt A = 24,0 cm²; a = 7,2 cm; = 90°.
Problem: Die Seiten b und c sind gesucht.
Berechne b mithilfe der Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke: Wenn = 90° ist, dann ist b die Höhe zur Seite a. Daher gilt A = = ab. Stelle diese Gleichung nach b um und berechne so die Länge von b (Lösung: b 6,7 cm).

Bestimme nun c mit dem Satz des Pythagoras.


Übung 6 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20

2.4 Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Übung 7: Umkehrung des Satzes von Pythagroas

Mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist:
Prüfe, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten genauso groß sind wie das Quadrat der längsten Seite.
Prüfe also, ob a² + b² = c² gilt (mit a und b kürzere Seiten, c längste Seite).
Wenn du eine wahre Aussage erhältst, ist das Dreieck rechtwinklig.

a) a und b sind die kürzeren Seiten, c ist die längste Seite.
a² + b² = c²
8² + 15² = 17²
289 = 289 (w)

Also ist das Dreieck rechtwinklig.


2.5 Besondere Figuren konstruieren mit dem Satz des Pythagoras

Übung 8: Besondere Figuren konstruieren mit Pythagoras

Konstruiere die "Pythagoras-Schnecke", wie im Buch gezeigt.

  • S. 112 Nr. 9
Eine weitere besondere Figur, die mit dem Satz des Pythagoras konstruiert wird, ist der Pythagoras-Baum. Die Konstruktion zeigt das nachfolgende Applet. Erkläre!
GeoGebra

(Appelt von Pöchtrager)


Übung 9: Pythagoreische Zahlen

Rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Zahlen als Seitenlängen heißen pythagoreische Zahlen. Ein Beispiel hast du beim 12-Knoten-Seil kennengelernt.
Hier gilt: 3² + 4² = 5² (alle Zahlen sind natürlichen Zahlen).
Löse Buch

  • S. 112 Nr. 11