Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen

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3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren


Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:
Trapez Einstiegsaufgabe.png
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:

1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
Trapez Einstiegsaufgabe unterteilt.png
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.

Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm und 7-2 = 5 (cm) lang.

3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.

2² + 5² = b²   |
= b

5,4 (cm) b


4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)

A = h = 2 = 9 (cm²)




Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:



Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

  • S. 114 Nr. 1
  • S. 114 Nr. 2
  • S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   |
a =   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   |
x =   (Taschenrechner)
x 30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.
S. 114 Nr. 2 Skizzen.png
S. 115 Nr. 7 Skizzen neu.png


Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

  • S. 114 Nr. 3
  • S. 114 Nr. 4
  • S. 114 Nr. 5
  • S. 122 Nr. 4b

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

S. 114 Nr. 3 Skizzen.png

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.

S. 122 Nr. 4b Tipp.png


Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:


Übung 3 (online)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.


Übung 4

Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

  • 45
  • 46


3.2 Anwendungen im Raum

Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:

Kantenmodell Würfel.png
Kantenmodell Würfel 2.png
Kantenmodell Würfel 3.png

Kantenmodell eines Quaders:

Kantenmodell Quader1.jpg
Kantenmodell Quader2.jpg
Kantenmodell Quader3.jpg


Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:
Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.

  • S. 116 Nr. 15
  • S. 116 Nr. 16
  • S. 125 Nr. 4
Ausführliche Lösung S. 116 Nr. 15.png
S. 116 Nr. 15b.png
S. 116 Nr. 16 Tipp.png

Simulation zu Nr. 4 rechts: Du kannst den Würfel drehen.

GeoGebra

Hinweise zu Pythagoras im Würfel:


Hilfsdreiecke in der Pyramide
Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png
Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Wo findest du rechtwinklige Dreiecke?


GeoGebra


Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.

()² + hK² =hS².
Halber Parallelschnitt.png

Hilfsdreieck 2: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

()² + hS² =s².
Halbe Seitenfläche.png

Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

()² + hK² =s².
Halber Diagonalschnitt.png

Schau die Videos zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Diese helfen dir bei der Bearbeitung der Übung 6.



Übung 6

Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

  • 53
  • 54
  • 55
  • 58

Teildreieck zur Pyramide:

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 53 1.png

Teildreieck zum Quader:

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 53 2.png

Teildreieck zum Kegel:

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 53 3.png

Teildreieck:

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 55.png

Teildreiecke:

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 58.png


3.3 Anwendungen in Sachsituationen

Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen

Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:

  • Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
  • Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
  • Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
  • Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
  • Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
  • Denke an den passenden Antwortsatz

Beispiel:

Umgeknickter Baum.png

Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.

Wie hoch war der Baum?

geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe

Umgeknickter Baum Skizze.png

Skizze (rechtwinkliges Dreieck)

Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x²   |
= x
8,71 x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.

Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

  • S. 118 Nr. 2
  • S. 118 Nr. 3
  • S. 119 Nr. 9
  • S. 120 Nr. 16
S. 118 Nr. 2 Skizze.png
S. 118 Nr. 3 Skizze.png
S. 119 Nr. 9 Skizze.png

a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.

b) Gesucht ist die Raumdiagonale d.

Lösungen (bunt gemischt):

2,43 m; 4,24 m; 10,3 cm; 11,1 cm; 13,2cm; ca. 61-62 m


Übung 8 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 29
  • 30
  • 31
  • 32
  • 33
  • 34
  • 35
  • 39
  • 40
Und löse die Aufgabe aus dem GeoGebra-Applet: Pythagoras in Münster.
Zeichne für jedes Seil einer Seite ein passendes Teildreieck. Das Seil ist die Hypotenuse, die Länge der Straße eine Kathete und die Höhe die andere Kathete. Du musst für die Kathetenlängen die angegebenen Werte addieren.
Diese Aufgabe entspricht der Einstiegsaufgabe bei den Anwendungsaufgaben. Denke daran, zur berechneten Länge den stehengebliebenen Teil des Baumes zu addieren.
Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 35.png

Teile das Trapez in zwei rechtwinklige Teildreiecke und ein Rechteck ein. Bestimme so die Teilstrecken der unteren Seite und addiere zum Schluss.

Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 40.png
GeoGebra

Applet von M. Engel

Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:
Tipp zur Aufgaben Pythagoras in Münster.png Wo ist das rechtwinklige Dreieck?

Beschrifte und wende den Satz des Pythagoras an.

Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:
Tipp zur Aufgaben Pythagoras in Münster 2.png
Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).

Das gesamte Seil muss also 15,3 m lang sein.


Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

  • S. 118 Nr. 4
  • S. 118 Nr. 6
  • S. 120 Nr. 17 a,b
  • S. 120 Nr. 18
  • S. 124 Nr. 15

Tipp zu 4b:
p% =

W ist der Weg in Metern, den Markus sich spart, G ist die Länge des gesamten Weges (von Sven).

Tipp zu Nr. 4c:

Du hast berechnet, wie viel Meter Markus sich spart. Wenn nun beide weiterlaufen, muss jeder davon die Hälfte zurücklegen, bis sie sich treffen.
Wenn der Schrank gekippt wird, muss die Diagonale des Schrankes kleiner sein als die Raumhöhe. Achte bei der Beschriftung des Teildreiecks auf gleiche Einheiten! Prüfe nach!

a) Die längsten Strecken an den Wänden sind die Flächendiagonalen eines Quaders. Zeichne die passenden Teildreiecke und berechne.

b) Die längste Strecke im Raum ist die Raumdiagonale. Zeichne ein passendes Teildreieck (Hier ist eine Kathete eine Flächendiagonale und die andere Kathete eine Streckenlänge des Klassenzimmers).

GeoGebra-Applet zur Aufgabe Nr. 18:

GeoGebra

Da das Pendel immer 1 m lang ist, kannst du folgendes rechtwinklige Teildreieck nutzen:

S.120 Nr. 18a.png

Nutze das folgende rechtwinklige Teildreieck:

S.120 Nr. 18b.png

Zeichne zunächst eine Skizze des Hauses und der Dachsparren. Finde dort passende rechtwinklige Teildreiecke. Zeichne dann das Teildreieck und beschrifte es. Dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.

S. 124 Nr. 15a neu.png
Die Folie ist im Bild grau dargestellt. Die Fläche setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen mit einer Länge von 22m und einer Breite von 5m. Die Bahnen sind 1,50m breit und müssen sich 15cm überlappen.
Wie viele Bahnen werden benötigt?
Wie viele Quadratmeter Folie sind das?

Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben (bunt gemischt):
20cm; 80cm; 122cm; 2,34m; 5,4m; 19m; 9,9m; 9,1m; 12,6m; 38,2m; 88m; 176m
25,5%; 4 Bahnen; 264m²

1095,60 €


Übung 10

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras. Denke an die Skizze!

  • S. 118 Nr. 5
  • S. 119 Nr. 10
  • S. 120 Nr. 19
  • S. 120 Nr. 21 (ganz, d und e sind schwer***)
  • S. 122 Nr. 9 (***)
Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden: Bestimme zunächst die Entfernung entlang des Bodens. (Skizze 1). Danach bestimmst du die Länge der Strecke, den der Ball mindestens durch die Luft zurücklegt, wenn er in 1,50m Höhe den Pfosten trifft. (Skizze 2).
S. 118 Nr. 5a Skizze.png

Geschwindigkeit = ; v =
Gegeben ist die Geschwindigkeit v und die Strecke aus Teil a. Wandle die Geschwindigkeit von km/h in m/s um (:3,6).
Gesucht ist die Zeit.

Stelle die Formel nach t um und setze die Werte ein.
Der Maßstab 1:50000 bedeutet, dass 1 cm in der Karte 50000cm = 500 m in Wirklichkeit sind. Welcher Strecke entsprechen dann 4cm?
Skizze zu S. 119 Nr. 10.png

Mit diesem GeoGebra-Applet kannst du die Aufgabe 19 simulieren. Bewege die Punkte und beschreibe.

GeoGebra

Nenne die Länge des Pendels x
S. 120 Nr. 19a Skizze.png
Also gilt:
(x-15)² + 50² = x²
Tipp: Löse die Klammer mit der zweiten binomische Formel auf.

Wiederholung binomische Formeln: Lernpfad Terme mit Klammern: Binomische Formeln

Löse die Gleichung:
(x-15)² + 50² = x²   |2. binomische Formel
x² - 2·x·15 + 15² + 2500 = x²
x² - 30x + 2725 = x²   | -x²
-30x + 2725 = 0   | -2725
-30x = -2725   | :(-30)

x ≈ 90,83 (cm)

Übertrage das rechtwinklige Dreieck in dein Heft.
a) Die Länge der Hypotenuse beträgt Erdradius + 45m, also 6370km + 0,045km = 6370,045km.
b) Berechne ebenso die Länge der Hypotenuse für eine Augenhöhe von 1,80m.
c) Nun ist die Länge der Kathete mit 100 Stadien = 100 ∙ 225m = 22500 m = 22,5 km gegeben und wieder die Länge der Hypotenuse gesucht. Danach subtrahiere vom Ergebnis den Erdradius.
d) Die Länge der Hypotenuse beträgt (r+h). Stelle damit den Satz des Pythagoras auf:

r² + s² = (r+h)² Löse die Klammer mit der 1. binomischen Formel auf und stelle die Gleichung nach s um.
Benenne die abgeknickten Teil des Mastes (die Hypotenuse) mit x. Wie lang sind dann die Katheten?
S. 122 Nr. 9 Skizze.png

Vergleiche deine Lösungen (bunt gemischt):

0,47s; 91cm; 122cm; 1,36m; 11,59m; 11,69m; 40m; 2103m; 4,8km; 12,4km; 23,9km; 6370,04km


Übung 11 (Anwendungen im Raum)

Löse aus dem Buch. Skizziere die Teildreiecke!

  • S. 120 Nr. 20
  • S. 123 Nr. 11 (Hinweise: a) Rechne bei 11a ohne den Dachüberstand von 0,3m; b) Druckfehler: s = 6,20m)

Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.

Bestimme dann zunächst die Dreieckshöhe ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras.
S. 120 Nr. 20 Skizzen.png

Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: ADreieck = .

Bestimme also ha mit dem halben Parallelschnitt (s.o.)

Die Dachfläche setzt sich zusammen aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Für die Flächeninhaltsformeln benötigst du die jeweiligen Höhen. Bestimme diese mit dem Satz des Pythagoras in geeigneten Teildreiecken.

(Lösung: hDreieck 5,46m; hTrapez 5,76m)

Die Dachfläche setzt sich zusammen aus 4 Rechtecken, wobei jeweils zwei Rechtecke gleich groß sind. Die Länge ist immer 12,20 m. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die jeweilige Breite.

(Lösung:b1 = 2,99m; b2 = 2,60m)


Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial (mit Lösungen)
Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite Selbstlernmaterial von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.

3.4 Pythagoras im Koordinatensystem

Pythagoras im Koordinatensystem
Bestimme Streckenlängen im Koordinatensystem. Verändere dazu im nachfolgenden Applet die Lage der Punkte A und B und bestimme die Länge der Strecke . Aktiviere bei Bedarf die Hilfen. Erkläre dein Vorgehen.


GeoGebra

Applet von C.Buß-Haskert

Übung 12

Löse nun die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Zeichnungen in dein Heft und ergänze die Teildreiecke.

  • S. 123 Nr. 12
  • S. 123 Nr. 13
  • S. 123 Nr. 14
Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.

Applet zur Bestimmung der Steigung m einer Dreiecksseite: Du kannst die Punkte A und B verschieben und so deine Lösungen prüfen.

GeoGebra
Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.
Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.