Teile dieser Seite sind dem Lernpfad von Christine Staudermann auf der Seite der ZUM-Unterrichten entnommen [1]. Diese Seite wurde erstellt unter der CC BY SA Linzenz. Herzlichen Dank!
Betrachte die Bilder der Pyramiden oben. Fülle dann den Lückentext unten aus und übertrage ihn in dein Heft.
Eine Pyramide ist ein . Die ist ein (z.B. Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck,...). Dieses bestimmt den Pyramidentyp: Dreieckspyramide, , Fünfeckspyramide,...
Der Abstand der von der heißt der Pyramide.
Die Seiten zwischen Pyramidenspitze S und Ecken der Grundfläche nennt man .
Die Seiten der Grundfläche werden auch genannt. Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer und bilden zusammen die .
SpitzkörperDreieckeSeitenkanten sGrundflächeGrundkanten an-EckSpitzequadratische PyramideMantelflächeGrundflächeHöhe hK
Hier siehst du die Bezeichnungen an einer quadratischen Pyramide:
Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Es gibt genauso viele der Seitenflächen wie die Grundfläche Ecken hat!
Im nachfolgenden GeoGebra-Applet kannst du die Anzahl der Ecken der Grundfläche (regelmäßiges n-Eck) einstellen. Dir wird dann die dazugehörige Pyramide im Schrägbild gezeichnet. Du kannst die Kantenlänge der Grundfläche ändern, indem du den Punkt B verschiebst und die Höhe der Pyramide, indem du Punkt J verschiebst.
Link zum Applet, falls es nicht vollständig angezeigt wird:
https://www.geogebra.org/m/zfvnbpqq
(Applet von C. Buß-Haskert)
Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.
Betrachte dazu auch das GeoGebra Applet "Gerade und schiefe Pyramide" .
(von T. Weis)
1. Wie viele Ecken hat eine dreiseitige Pyramide?
2. Wie viele Kanten hat eine sechsseitige Pyramide?
3. Wie viele Flächen hat eine quadratische Pyramide?
In diesem Lernpfad werden wir ausschließlich gerade Pyramiden mit 3-, 4- oder 6-seitiger Grundfläche berechnen (Dreieckspyramide, quadratische Pyramide und Sechseckspyramide).
2) Schrägbild und Netz einer Pyramide
Schrägbild einer quadratischen Pyramide
Zeichne schrittweise das Schrägbild einer quadratischen Pyramide.
1. Zeichne die Grundfläche. Dabei werden die schräg nach hinten laufenden Strecken im Winkel von 45° und halb so lang gezeichnet. Alle nicht sichtbaren Kanten werden gesrichtel gezeichnet.
2. Zeichne die Diagonalen. Die Körperhöhe wird senkrecht im Schnittpunkt der Diagonalen gezeichnet.
3. Verbinde die Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze der Pyramide. Beschrifte.
Das nachfolgende Applet zeigt das Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Du kannst die Länge der Grundkanten und die Höhe der Pyramide mit den Schiebereglern verändern.
Originallink https://www.geogebra.org/m/JU6JBhSx
Applet von Markus Böckler
Übung 1
Zeichne die Schrägbilder quadratischer Pyramiden. Prüfe deine Zeichnungen mithilfe des obigen Applets.
Gehe beim Zeichnen der Rechteckspyramide ebenso vor, wie beim Zeichnen der quadratischen Pyramide. Du kannst das Applet oben zur Veranschaulichung nutzen. Verschiebe den Regler für q.
Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide. Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!
Die Netze einer Pyramide können verschieden aussehen. Hier siehst du einige Beispiele:
Netz einer quadratische Pyramide
Schneide das Netz der quadratischen Pyramide aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus die Pyramide. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht. Kopiervorlage:[2]
Betrachte das Netz der quadratischen Pyramide, das du in dein Heft geklebt hast. Welche Form hat die Grundfläche, aus welchen Teilflächen setzt sich die Mantelfläche zusammen? Setze in der Formel O = G + M die entsprechenden Formeln ein.
Die Grundfläche G ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a. G = AQuadrat=a²
Die Mantelfläche M setzt sich zusammen aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. ADreieck=∙g∙hDreieck
Da es 4 Dreiecke gibt, gilt für die Mantelfläche M = 4 ∙ ASeite= 4∙∙g∙hSeite = 2∙g∙hS
Umstellen der Mantelformel nach hS:
M = 2∙a∙hS |:2 = a∙hS |:a
= hS
Hilfsdreiecke in der Pyramide
Für Berechnungen an Pyramiden benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Körperhöhe hK und die Höhe der Seitenfläche hS. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden.
Hier nutzen wir Hilfsdreiecke. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!
Hilfsdreiecke in der Pyramide
Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.
Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.
Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
()² + hK² =s².
Hilfsdreiecke in der Pyramide
Ergänze auf dem AB den Satz den Pythagoras in den verschiedenen Hilfsdreiecken. Klebe das AB in dein Heft.
Übung 4
Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Nutze die rechtwinkligen Teildreiecke zur Berechnung der fehlenden Größen. Zeichne das passende Teildreieck und beschrifte die Seitenlängen. Löse Buch
Berechne die Grundfläche G=a². Dann kannst du M=O-G ausrechnen. Stelle dann die Formel für M nach hS um. ...
hS18,4 cm Um h und s zu berechnen wähle passende Teildreiecke.
Berechne die Grundfläche G mit O - M = G. Dann kannst du a bestimmen, denn G=a². a=10 cm
Stelle dann die Formel für M nach hS um. ...
hS11,7 cm Um s zu berechnen wähle ein passendes Teildreieck.
Zeichne eine quadratische Pyramide als Skizze und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. Da die Seitendreiecke gleichseitig sind, ist a=7,5cm und s=7,5cm.
Berechne mit dem Teildreieck 3"halbe Seitenfläche" die Höhe hS. Lösung: 6,5 cm Nun kannst du die Oberfläche berechnen. Lösung:O 153,75 cm².
Zeichne eine Skizze und beschrifte sie mit den Angaben aus der Aufgabe. Da das Parallelschnitt-Dreieck ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck ist, sind die Katheten die Höhen der Seitenflächen hS. Hier gilt also hS = 12,8 cm.
Die Grundfläche einer Sechseckspyramide ist ein Sechseck. Um den Flächeninhalt zu bestimmen, zerlege das Sechseck in 6 gleichseitige Dreiecke.
Grundfläche: G = 6∙ADreieck
Flächeninhalt eines Dreiecks der Grundfläche: ADreieck = ∙a∙ha
Berechne ha mit dem Teildreieck mit den Katheten ha und und der Hypotenuse a.
Vorsicht: Hier gibt es Dreiecke in der Grundfläche mit der Dreieckshöhe ha und auch die Seitenflächen der Pyramide sind Dreiecke, sie haben die Höhe hS. Skizzen helfen dir, den Überblick zu bewahren.
Lösungen zu den Aufgaben zum Vergleich (falls du die Zwischenwerte nicht im Taschenrechner gespeichert hast, könnte es sein, dass du anders gerundet hast...):
a) s = 12,6 cm; hK = 9,8 cm; M = 288 cm²; O = 454,3 cm²
b) s = 9,9 cm ; hS = 9,4 cm; M = 183,3 cm²; O = 293,1 cm²
c) hK = 27,6 cm ; hS = 34,3 cm; M = 2404,4 cm²; O = 3826,9 cm²
d) a = 31,1 cm; s = 76,6 cm; M = 6997,5 cm²; O =9510,4 cm²
e) a = 26,2 cm; hK = 11 cm; M = 1980,7 cm²; O = 3764,1 cm²
4) Volumen einer Pyramide
Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide
Experiment zur Volumenbestimmung
Vorne am Pult liegen eine offene Dreieckspyramide und ein Dreiecksprisma sowie eine offene quadratische Pyramide und ein Quader. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche. Durchführung des Experiments:
Nimm eine Pyramide und das zugehörige Prisma, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
Fülle die Pyramide randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Quader/das Prisma um.
Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Quader/ das Prisma vollständig mit Sand gefüllt sind.
Was stellst du fest?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Quader/Prisma und Pyramide, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?
Denke an eine übersichtliche und vollständige Darstellung. Notiere zunächst immer die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.
Bestimme die Länge der Grundseite a mit Pythagoras im folgenden Teildreieck:
a² + a² = d² Hier kannst du schon den Wert für d einsetzen und dann nach a auflösen:
2a² = 10²
2a² = 100 |:2
a² = 50 |
a 7,1 (cm)
Oder du stellst die Formel nach a um (schwer):
a² + a² = d²
2a² = d² |:2
a² = |
a = |
In der Sechseckspyramide ergeben sich ebenfalls rechtwinklige Dreiecke. Dort kann dann der Satz den Pythagoras angewendet werden, um fehlende Seitenlänge zu bestimmen:
in der Grundfläche
Vergleiche deine Lösungen, es können Rundungsunterschiede auftreten, wenn du mit den gerundeten Werten weitergerechet hast.
a) ha = 13cm (Höhe eines Dreiecks in der Grundfläche); G = 585 cm²; V = 4875 cm³
b) ha = 6,8 cm (Höhe eines Dreiecks in der Grundfläche); G = 161,2 cm²; hK = 9,8 cm (Höhe der Pyramide); V = 526,6 cm³
c) a = 24,9 cm; ha = 21,56 cm; G = 1610,5 cm²; V = 21204,9 cm³
d) ha = 4,8 cm; G = 78,5 cm²; hK = 7,9 cm; V = 206,8 cm³
Anwendungsaufgaben
Übung 8
Die große Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 35m und eine Höhe von 22m. Wie groß ist der Innenraum und die Glasoberfläche?
Mache zunächst eine Skizze der Glaspyramide und eventuell benötigter Hilfsdreiecke.
Stelle (wie in den vorherigen Aufgaben) immer zuerst eine Formel auf, forme wenn nötig um und setze dann erst die Zahlenwerte ein!
Bestimme zunächst den Nettopreis G. Der Preis einschließlich der Mehrwertsteuer (19%) ist dann der vermehrte Grundwert G+.
G+ = G∙p+% mit p+% = 100% + 19% = 119% = 1,19
Die Grundfläche der Getränkepackung ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 13,7 cm. Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche. Dazu musst du zunächst die Höhe der Grundfläche mit dem Satz des Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck berechnen.
geg: quadratische Pyramide mit hK = 15 cm und V = 500 cm³ +/- 10%.
10% von 500 cm³ = 50 cm³, also V1 = 500 - 50 = 450 (cm³) und V2 = 500 + 50 = 550 (cm³).
Bestimme a.
Jetzt bist du dran...
Wo gibt es in deiner Umgebung Pyramiden? In Stadtlohn hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einer Pyramide in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.
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