Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Pyramide

Aus ZUM Projektwiki

Teile dieser Seite sind dem Lernpfad von Christine Staudermann auf der Seite der ZUM-Unterrichten entnommen [1]. Diese Seite wurde erstellt unter der CC BY SA Linzenz. Herzlichen Dank!

Schullogo HLR.jpg



1) Pyramide

1) Merkmale einer Pyramide

Merkmale einer Pyramide
Betrachte die Bilder der Pyramiden oben. Fülle dann den Lückentext unten aus und übertrage ihn in dein Heft.

Eine Pyramide ist ein . Die ist ein (z.B. Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck,...). Dieses bestimmt den Pyramidentyp: Dreieckspyramide, , Fünfeckspyramide,...
Der Abstand der von der heißt der Pyramide. Die Seiten zwischen Pyramidenspitze S und Ecken der Grundfläche nennt man .
Die Seiten der Grundfläche werden auch genannt. Die Seitenflächen einer Pyramide sind immer und bilden zusammen die .

SpitzkörperDreieckeSeitenkanten sGrundflächeGrundkanten an-EckSpitzequadratische PyramideMantelflächeGrundflächeHöhe hK

Hier siehst du die Bezeichnungen an einer quadratischen Pyramide:

Bezeichnungen an der Pyramide.png



Pyramiden können also jedes beliebige n-Eck als Grundfläche haben. Es gibt genauso viele der Seitenflächen wie die Grundfläche Ecken hat!
Im nachfolgenden GeoGebra-Applet kannst du die Anzahl der Ecken der Grundfläche (regelmäßiges n-Eck) einstellen. Dir wird dann die dazugehörige Pyramide im Schrägbild gezeichnet. Du kannst die Kantenlänge der Grundfläche ändern, indem du den Punkt B verschiebst und die Höhe der Pyramide, indem du Punkt J verschiebst. Link zum Applet, falls es nicht vollständig angezeigt wird: https://www.geogebra.org/m/zfvnbpqq

(Applet von C. Buß-Haskert)




Pyramiden mit verschiedenen Grundflächen.png


Pyramiden können sich aber nicht nur in ihrer Grundfläche und somit in der Anzahl der Seitenflächen unterscheiden. Man differenziert auch zwischen geraden (bzw. senkrechten) und schiefen Pyramiden.
Betrachte dazu auch das GeoGebra Applet "Gerade und schiefe Pyramide" .

(von T. Weis)

1. Wie viele Ecken hat eine dreiseitige Pyramide?

2. Wie viele Kanten hat eine sechsseitige Pyramide?

3. Wie viele Flächen hat eine quadratische Pyramide?

In diesem Lernpfad werden wir ausschließlich gerade Pyramiden mit 3-, 4- oder 6-seitiger Grundfläche berechnen (Dreieckspyramide, quadratische Pyramide und Sechseckspyramide).

2) Schrägbild und Netz einer Pyramide

Schrägbild einer quadratischen Pyramide

Zeichne schrittweise das Schrägbild einer quadratischen Pyramide.
1. Zeichne die Grundfläche. Dabei werden die schräg nach hinten laufenden Strecken im Winkel von 45° und halb so lang gezeichnet.
Alle nicht sichtbaren Kanten werden gesrichtel gezeichnet.
2. Zeichne die Diagonalen. Die Körperhöhe wird senkrecht im Schnittpunkt der Diagonalen gezeichnet.

3. Verbinde die Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze der Pyramide. Beschrifte.

Originallink https://www.geogebra.org/m/Z57aCNpm

Applet von W. Wengler

Das nachfolgende Applet zeigt das Schrägbild einer quadratischen Pyramide. Du kannst die Länge der Grundkanten und die Höhe der Pyramide mit den Schiebereglern verändern.
Originallink https://www.geogebra.org/m/JU6JBhSx

Applet von Markus Böckler

Übung 1

Zeichne die Schrägbilder quadratischer Pyramiden. Prüfe deine Zeichnungen mithilfe des obigen Applets.

  • S. 43, Nr. 2
  • S. 43, Nr. 3


Übung 2

Löse Buch

  • S. 43, Nr. 4 und
  • S. 43, Nr. 5




Körpernetz einer Pyramide
Schneidet man eine Pyramide entlang der Seitenkanten auf und klappt die Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche, so erhält man das Netz der Pyramide.
Ebenso kann man eine Pyramide entlang von Seiten- und Grundkanten aufschneiden und in die Grundflächenebene klappen, um ein Körpernetz zu erhalten. Dabei muss man beachten, dass keine Dreicksfläche komplett abgetrennt wird! Das Netz eines Körpers ist immer eine zusammenhängende Fläche, die wieder zu dem vollständigen Körper gefaltet werden kann!



Die Netze einer Pyramide können verschieden aussehen. Hier siehst du einige Beispiele:

Pyramide Netz1.png
Pyramide Netz 3.png
Pyramide Netz 2.png
Netz einer quadratische Pyramide
Schneide das Netz der quadratischen Pyramide aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus die Pyramide. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.
Kopiervorlage:[2]


In den Applets kannst du die Pyramiden jeweils zu deren Netz entfalten. Schiebe am Regler.
Originallink https://www.geogebra.org/m/hev69mu7

Applet von Hegius
Originallink https://www.geogebra.org/m/J5tbpjPT

Applet von Hegius

(LearningApp von Jola)

3) Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche einer Pyramide
Fülle die Lücken und übertrage den Merksatz in dein Heft

Die Oberfläche einer Pyramide setzt sich zusammen aus der G und der M.
Die besteht aus so vielen , wie die Ecken hat.
Formel: = + .

MOGGrundflächeMantelflächegleichschenkligen DreieckenMantelflächeGrundfläche


Übung 3
Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer quadratischen Pyramide auf! Notiere im Heft.



Oberfläche einer quadratischen Pyramide (Hefteintrag)

Oberfläche einer quadratischen Pyramide:
O = G + M
   = a² + 2·a·hS

Schrägbild geogebra quadratische Pyramide.png


Hilfsdreiecke in der Pyramide

Für Berechnungen an Pyramiden benötigt man die Maße der Pyramidengrundfläche und der Körperhöhe hK und die Höhe der Seitenfläche hS. Diese sind allerdings nicht immer direkt gegeben und müssen erst aus den angegebenen Seitenlängen berechnet werden.
Hier nutzen wir Hilfsdreiecke. Bei den Hilfsdreiecken handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, wobei bereits zwei der Seiten gegeben sind. Die dritte Seite lässt sich dann durch Anwendung des Satzes von Pythagoras berechnen!

Hilfsdreiecke in der Pyramide
Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png
Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.


Orogonallink https://www.geogebra.org/m/bks6xguf

Applet von Buß-Haskert


Hilfsdreiecke in der Pyramide
Ergänze auf dem AB den Satz den Pythagoras in den verschiedenen Hilfsdreiecken. Klebe das AB in dein Heft.




Übung 4

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Nutze die rechtwinkligen Teildreiecke zur Berechnung der fehlenden Größen. Zeichne das passende Teildreieck und beschrifte die Seitenlängen. Löse Buch

  • S. 45 Nr. 3
  • S. 45 Nr. 4
  • S. 45 Nr. 5
  • S. 62 Nr. 3c (schwer)








Übung 5 Sechseckspyramide

Löse Buch

  • S. 46 Nr. 8
    Sechseckspyramide Schrägbild.png

Applet von C. Buß-Haskert



4) Volumen einer Pyramide

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Pyramide

Experiment zur Volumenbestimmung
Pyramide und Prisma.png

Vorne am Pult liegen eine offene Dreieckspyramide und ein Dreiecksprisma sowie eine offene quadratische Pyramide und ein Quader. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche.
Durchführung des Experiments:

  • Nimm eine Pyramide und das zugehörige Prisma, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
  • Fülle die Pyramide randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Quader/das Prisma um.
  • Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Quader/ das Prisma vollständig mit Sand gefüllt sind.


Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Quader/Prisma und Pyramide, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?

Du kannst nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Pyramide aufstellen:

Wie viele Pyramidenfüllungen passen in den Quader? _____

Also gilt:
VQuader = ___∙ VPyramide   |umstellen nach VPyramide
VPyramide =___∙ VQuader



Volumen einer Pyramide
Schrägbild geogebra quadratische Pyramide.png
Das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe hK wird berechnet mit

V = ∙ G ∙hK
Für eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a gilt

V = ∙ a² ∙hK


Übung 6

Löse Buch

  • S. 48 Nr. 1
  • S. 48 Nr. 2
  • S. 48 Nr. 3
Denke an eine übersichtliche und vollständige Darstellung. Notiere zunächst immer die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.



Übung 7 Sechseckspyramide
Sechseckspyramide 3.png
Löse Buch
  • S. 49 Nr. 8

Applet von C. Buß-Haskert

Anwendungsaufgaben

Übung 8
Louvre Museum Wikimedia Commons.jpg
Die große Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 35m und eine Höhe von 22m. Wie groß ist der Innenraum und die Glasoberfläche?

Mache zunächst eine Skizze der Glaspyramide und eventuell benötigter Hilfsdreiecke.

Stelle (wie in den vorherigen Aufgaben) immer zuerst eine Formel auf, forme wenn nötig um und setze dann erst die Zahlenwerte ein!


Übung 9 Anwendungsaufgaben

Löse Buch

  • S. 46 Nr. 10
  • S. 46 Nr. 11
  • S. 48 Nr. 4
  • S. 49 Nr. 7
  • S. 49 Nr. 10


Jetzt bist du dran...
Pyramide in Stadtlohn.jpg
Wo gibt es in deiner Umgebung Pyramiden? In Stadtlohn hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einer Pyramide in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.

Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Pyramide