In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!
. . . .. . . .. . . .
Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
Originallink https://www.geogebra.org/m/XnTH43Qa
Applet von Martin Putzlocher
1) Merkmale von Kegeln
Merkmale von Kegeln
Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft!
Ein ist ein Körper, dessen ein (Grundkreis) ist.
Die des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt und wird mit "s" beschriftet.
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen (senkrechten) und Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an.
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.
Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.[1]
Netz eines Kegels
Das Netz eines Kegels besteht aus einem Kreis als Grundfläche und einem Kreisausschnitt als Mantelfläche.
Übung 2
Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.
Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der G und der M. Die Grundfläche ist ein und die Mantelfläche hat die Form eines .
Formel: = + .
GrundflächenKreisausschnittesGMOMantelflächeKreis
Oberfläche eines Kegels - Herleitung der Formel
Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels auf! Das nachfolgende Applet hilft dir. Notiere im Heft.
Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.)
Originallink https://www.geogebra.org/m/n8f5hnqb
Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird.
Originallink https://www.geogebra.org/m/sfazkjgc
Applet von Buß-Haskert
Oberfläche eines Kegels
Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche. O = G + M
= 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s
Wende zur Berechnungen der Längen r, hK oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und hK und der Hypotenuse s an.
Beispiel:
Übung 3
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung. Notiere zunächst die Formel. Falls nötig, skizziere das Hilfsdreieck und berechne fehlende Seitenlängen. Setze dann in die Formel für den Mantel bzw. die Oberfläche ein. Löse Buch
geg: s = 6,3 cm; O = 226 cm²
ges: r
O = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s |Du musst also eine quadratische Gleichung lösen!
Setze die gegebenen Werte ein und bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 (hier ist r=x)
226 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3 |-226
0 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3 - 226 |:𝞹
0 = r² + 6,3∙r - 71,94 |pq-Formel mit p = 6,3 und q = -71,94
r1,2 = -3,15
Berechne die Länge des Weges, den er Kegel sich dreht. Dies ist der Umfang des Kreises mit dem Radius r=12cm. Berechne dann den Umfang der Grundfläche des Kegels. Der Radius ist hier 5cm:2 = 2,5cm.
Überlege nun, wie oft der Kegel sich dreht. Lösung: 4,8 mal
Berechne zunächst die Oberfläche des Zylinders (O = 2G + M =2∙𝞹∙r² + 2∙𝞹∙r∙hK)
Berechne danach die Oberfläche des Zylinders.
Berechne nun den Unterschied zwischen den beiden Werten: OZylinder - OKegel
Prozentualer Unterschied: p% = = ... = 0,46 = 46%
4) Volumen von Kegeln
Experimentelle Bestimmung der Volumenformel des Kegels
Experiment zur Volumenbestimmung
Vorne am Pult liegen ein offener Kegel und ein offener Zylinder. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche. Durchführung des Experiments:
Nimm den Kegel und den Zylinder, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
Fülle den Kegel randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Zylinder um.
Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Zylinder vollständig mit Sand gefüllt ist.
Was stellst du fest?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kegel und Zylinder, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?
∙ G ∙hK = VKegel Die Grundfläche G ist ein Kreis, also G = 𝞹∙r², setze in die Formel ein.
Volumen des Kegels
Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.
Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe hK wird berechnet mit V = ∙ G ∙hK
= ∙𝞹∙r²∙hK
Übung 5
Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um.
Dann setze die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.
Oberfläche des Restkörpers beträgt der Oberfläche des ganzen Kegels, zusätzlich musst du die Flächen der zwei (rechtwinkligen) Dreiecke, die sich an den Schnittstellen ergeben, addieren.
Bestimme die Mantelfläche. Dazu berechne mit dem Satz von Pythagoras die Länge der Mantellinie s. Skizziere dazu das Teildreieck und beschrifte es vollständig.
Wie geht Prozentrechung?
W = G · p%.
geg: G = Mantelfläche; p% = 3% (=0,03 als Dezimalbruch).
Berechne, wie viel Material hinzugegeben werden muss (W), und addiere dann W + G = G+
Oder berechne sofort G+
G = M und p+% = 103% = 1,03
3 Minuten sind die Hälfte der Zeit, also muss die Hälfte des Volumens durch die Sanduhr gerieselt sein. Das Verhältnis von Radius zur Höhe bleibt gleich (Strahlensatz), also r = 1 cm und hK = 3; r = hK.
Jetzt bist du dran...
Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einem Kegel in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.
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