Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kegel

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Schullogo HLR.jpg


2) Kegel

In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!


Ice-cream-cone-2290071 1920.png . . . .Kegel Pylone.png. . . . DSC04737 Istanbul - La Moschea Blu - Minareti - Foto G. Dall'Orto 29-5-2006.jpg. . . . Turmspitze.jpg


Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
Originallink https://www.geogebra.org/m/XnTH43Qa

GeoGebra

Applet von Martin Putzlocher

1) Merkmale von Kegeln

Merkmale von Kegeln

Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft!

Ein ist ein Körper, dessen ein (Grundkreis) ist.
Die des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt und wird mit "s" beschriftet.
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen (senkrechten) und Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an.
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.

geradenMantelflächeKreisKegelHöheschiefenMantellinieGrundfläche

Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.

GeoGebra

von T.Weiss

2) Schrägbild und Netz von Kegeln

Das Video zeigt dir, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest:



Übung 1

Zeichne das Schrägbild, wie im Video erklärt. Buch

  • S. 43 Nr. 7

Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

GeoGebra

Applet von Andreas Lindner

Netz eines Kegels
Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.[1]

Kegel Netz.png


Netz eines Kegels
Das Netz eines Kegels besteht aus einem Kreis als Grundfläche und einem Kreisausschnitt als Mantelfläche.


Übung 2
Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.


Originallink https://www.geogebra.org/m/JMBakasy

GeoGebra


3) Oberfläche von Kegeln

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der G und der M.
Die Grundfläche ist ein und die Mantelfläche hat die Form eines .

Formel: = + .

GrundflächenKreisausschnittesGMOMantelflächeKreis


Oberfläche eines Kegels - Herleitung der Formel
Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels auf! Das nachfolgende Applet hilft dir. Notiere im Heft.

Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.) Originallink https://www.geogebra.org/m/n8f5hnqb


GeoGebra

Applet von Wolfgang Wengler Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

GeoGebra

Applet von Andreas Lindner



Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird.
Originallink https://www.geogebra.org/m/sfazkjgc

GeoGebra

Applet von Buß-Haskert

Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
O = G + M

    = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s

Wende zur Berechnungen der Längen r, hK oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und hK und der Hypotenuse s an.
Kegel Teildreieck mit Pythagoras.png
Beispiel:


Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung. Notiere zunächst die Formel. Falls nötig, skizziere das Hilfsdreieck und berechne fehlende Seitenlängen. Setze dann in die Formel für den Mantel bzw. die Oberfläche ein. Löse Buch

  • S. 51 Nr. 1
  • S. 51 Nr. 2
  • S. 63 Nr. 10c (schwer)
  • S. 51 Nr. 5


Übung 4

Löse Buch

  • S. 51 Nr. 4
  • S. 51 Nr. 7




4) Volumen von Kegeln

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel des Kegels


Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen ein offener Kegel und ein offener Zylinder. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche.
Durchführung des Experiments:

  • Nimm den Kegel und den Zylinder, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
  • Fülle den Kegel randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Zylinder um.
  • Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Zylinder vollständig mit Sand gefüllt ist.


Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kegel und Zylinder, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?

Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen eines Kegels aufgestellt.

Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? _____

Also gilt:

VZylinder = ___∙ VKegel   |umstellen nach VKegel
VKegel =___∙ VZylinder



Volumen des Kegels
Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.

Originallink https://www.geogebra.org/m/hwAXUV3B

GeoGebra

Applet von Wolfgang Wengler
Originallink https://www.geogebra.org/m/P7dYRTb8

GeoGebra

Applet von Andreas Lindner

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe hK wird berechnet mit
V = ∙ G ∙hK

   = ∙𝞹∙r²∙hK


Übung 5

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Dann setze die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

  • S. 53 Nr. 1
  • S. 53 Nr. 2
  • S. 53 Nr. 3


Übung 6

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere vollständig und übersichtlich.

  • S. 53 Nr. 4
  • S. 53 Nr. 5a (sehr schwer) und b (schwer)


Anwendungsaufgaben

Übung 7

Wähle aus den Aufgaben so aus, dass du mindestens 6 Punkte sammelst.

  • S. 51 Nr. 6 **
  • S. 51 Nr. 8 *
  • S. 51 Nr. 9 **
  • S. 53 Nr. 6 **
  • S. 53 Nr. 7 ***
  • S. 53 Nr. 8 *
  • S. 53 Nr. 9 **
  • S. 63 Nr. 12 **
  • S. 63 Nr. 13 ***



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Buddenturm in Münster
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