Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Februar 2023, 17:52 Uhr

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Geometrie

Winkel

1. Winkel zeichnen und messen

2. Winkel im Schnittpunkt von Geraden:

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 126, P1

Dreiecke

Ist das Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!
Das Video gibt dir einen Überblick über Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken, danach kannst du die einzelnen Themen noch einmal intensiv wiederholen.

Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)

Hefteintrag: Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten.

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel γ (γ=90°) heißt der Satz des Pythagoras
a² + b² = c².

Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Katheten: a = 4cm; b = 6cm
ges: Hypotenuse c

c² = a² + b²   | $\surd$
c = $\sqrt{\text{a² + b²}}$   |Werte einsetzen
c = $\sqrt{\text{4² + 6²}}$   |berechnen
(c = $\sqrt{52}$   diesen Schritt musst du nicht notieren)
c $\approx$ 7,2 [cm]

Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.

geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cm

ges: Kathete b

a² + b² = c²   |-a²
b² = c² - a²   | $\surd$
b = $\sqrt{\text{c² - a²}}$   |Werte einsetzen
b = $\sqrt{\text{17,5² - 14²}}$   |berechnen
(b = $\sqrt{110,25}$   diesen Schritt musst du nicht notieren)

b = 10,5 [cm]

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 126, P4
S. 127, P5-P6
S. 130, P24
S. 160, Nr. 1-5

Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma$ =90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 131, P29

Ebene Figuren

Orientiere dich in der Formelsammlung!

Ist das Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 121, P41 und P42
S. 127, P7 - P9
S. 128, P10
S. 131, P27

Strahlensätze

Die Strahlensätze

Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen zwei zueinander ähnliche Dreiecke SAB und SA'B'. Die Seitenlängen einander entsprechender Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander.

Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.

Körperberechnungen

Orientiere dich in der Formelsammlung!

Lösungsansätze zu Körperberechnungen

Um die Formeln zur Berechnung von Längen, Flächen und Volumina von Körpern anzuwenden, sind oft auch der Satz des Pythagoras, trigonometrische Berechnungen und die Strahlensätze nötig, um fehlende Größen zu berechnen.
Um fehlende Größen zu berechnen, ist es oft nötig, eine Formel nach der entsprechenden Größe umzustellen.

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen.

S. 128, P11 - P17
S. 129, P19 - P21
S. 130, P25
S. 131, P28 und P30

Prisma

Oberfläche: O = 2·G + M
Volumen: V = G·h_K

Um die Grundfläche G eines Prismas zu berechnen, nutze die Flächeninhaltsformeln (s. oben)

Applet von Hegius

Zylinder

Oberfläche: O = 2·G + M
Volumen: V = G·h_K

Um die Grundfläche G eines Zyinders zu berechnen, nutze die Flächeninhaltsformel des Kreises.

Applet von Jakob PechmannOriginallink: https://www.geogebra.org/m/y3gcvcfu

Oberfläche eines Zylinders

Die Oberfläche eines Zylinders wird mit folgender Formel berechnet:
O = 2·G + M
= 2·π·r² + u·h_K
= 2πr² + 2πr·h_K

Volumen eines Zylinders

Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet

V = G · h_K

= π·r²·h_K

Entscheide, ob die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen des Zylinders gesucht ist.

(Quadratische) Pyramide

...

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.

Applet von Buß-Haskert

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

(

\tfrac{a}{2}

)² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(

\tfrac{a}{2}

)² + h_S² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite $\tfrac{d}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

(

\tfrac{d}{2}

)² + h_K² =s².

Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
O = G + M

= 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s

Wende zur Berechnungen der Längen r, h_K oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h_K und der Hypotenuse s an.

Beispiel:

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = $\tfrac{1}{3}$ ∙ G ∙h_K

=

\tfrac{1}{3}

∙𝞹∙r²∙h_K

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit

V =

\tfrac{4}{3}

·𝞹 · r³

Oberfläche einer Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:

O = 4𝞹r²

@@ Zeile 233: / Zeile 233: @@
 {{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:
 O = 4𝞹r²|3=Merksatz}}<br>
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Dreiecke

Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)

Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)

Ebene Figuren

Strahlensätze

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