Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 07:45 Uhr

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1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
3) Anwendungen
   3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren
   3.2) Anwendungen im Raum
   3.3) Anwendungen in Sachsituationen

3.4 Anwendungen im Koordinatensystem

3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren

Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:

Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:

1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.

Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm und 7-2 = 5 (cm) lang.

3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.

2² + 5² = b² | $\surd$
$\sqrt{2^2+5^2}$ = b

5,4 (cm)

\approx

b

4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)

A =

\tfrac{a+c}{2}\cdot

h =

\tfrac{7+2}{2}\cdot

2 = 9 (cm²)

Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:

.

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

S. 114 Nr. 1
S. 114 Nr. 2
S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   | $\surd$
a = $\sqrt{39^2-15^2}$   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   | $\surd$
x = $\sqrt{47^2-36^2}$   (Taschenrechner)
x $\approx$ 30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.

Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

S. 114 Nr. 3
S. 114 Nr. 4
S. 114 Nr. 5
S. 122 Nr. 4b

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.

Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:

Übung 3 (online)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.

Übung 4

Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

22
26
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47
48

3.2 Anwendungen im Raum

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 <br>
-SEITE IM AUFBAU!!
 {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras| Satz des Pythagoras - Startseite]]<br>
 [[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Thales| 1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales]]<br>
 [[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Satz des Pythagoras|2) Satz des Pythagoras]]<br>
-[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen|3) Anwendungen]]}}
+[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen|3) Anwendungen]]<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen|3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren]]<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Raum|3.2) Anwendungen im Raum]]<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen in Sachsituationen|3.3) Anwendungen in Sachsituationen]]<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Koordiantensystem|3.4 Anwendungen im Koordinatensystem]]}}
 <br>
 ==3) Satz des Pythagoras - Anwendungen==
@@ Zeile 14: / Zeile 18: @@
 '''Einführungsbeispiel:'''<br>
 Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:<br>
-[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe.png|rahmenlos]] <br>
+[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe.png|rahmenlos|500x500px]] <br>
 Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:<br><br>
 . Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem '''rechtwinkligen Dreieck''' ist.<br>
-[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe unterteilt.png|rahmenlos]]<br>
+[[Datei:Trapez Einstiegsaufgabe unterteilt.png|rahmenlos|500x500px]]<br>
 . Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf. <br>
 {{Lösung versteckt|1=Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm  und 7-2 = 5 (cm) lang.|2=Tipp|3=Verbergen}}
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 {{#ev:youtube|AY2TEIAQFHs|800|center}}
 <br>
+.
 {{Box|Übung 1|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.
 * S. 114 Nr. 1
@@ Zeile 51: / Zeile 55: @@
 Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.|2=Schreibweise zu Nr. 1|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 114 Nr. 2 Skizzen.png|rahmenlos|707x707px]]|Tipp und Skizzen zu Nr. 2|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 115 Nr. 7 Skizzen neu.png|rahmenlos]]|Tipp und Skizzen zu Nr. 7|Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 115 Nr. 7 Skizzen neu.png|rahmenlos|700x700px]]|Tipp und Skizzen zu Nr. 7|Verbergen}}
@@ Zeile 58: / Zeile 62: @@
 * S. 114 Nr. 4
 * S. 114 Nr. 5
-* S. 122 Nr. 4|3=Üben}}
+* S. 122 Nr. 4b|3=Üben}}
 {{Lösung versteckt|Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.<br>
 [[Datei:S. 114 Nr. 3 Skizzen.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
@@ Zeile 79: / Zeile 83: @@
 {{Box|1= Übung 4|2=<span style="color:red">Übertrage die Figuren in dein Heft.</span>Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs''']. Aufgaben:
-* 45
+* 22
-* 46|3=Üben}}
+* 26
-===3.2 Anwendungen im Raum===
-Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.<br>
-Kantenmodell eines Würfels:<br>
-<div class="grid">
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Würfel.png|rahmenlos]]</div>
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Würfel 2.png|rahmenlos]]</div>
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Würfel 3.png|rahmenlos]]</div>
-</div>
-Kantenmodell eines Quaders:<br>
-<div class="grid">
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Quader1.jpg|rahmenlos]]</div>
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Quader2.jpg|rahmenlos]]</div>
- <div class="width-1-3">[[Datei:Kantenmodell Quader3.jpg|rahmenlos]]</div>
-</div>
-<br>
-Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:<br>
-[[Datei:Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png|rahmenlos|270x270px]]<br>
-<br>
-{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.
-* S. 116 Nr. 15
-* S. 116 Nr. 16|Üben}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:Ausführliche Lösung S. 116 Nr. 15.png|rahmenlos|400x400px]]|Vergleiche deine Lösung Nr. 15a|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 116 Nr. 15b.png|rahmenlos|400x400px]]|Vergleiche deine Lösung Nr. 15b|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 116 Nr. 16 Tipp.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 16|Verbergen}}
-Hinweise zu Pythagoras im Würfel:
-<div class="grid">
- <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|BmEXoPkipHk|420|center}}</div>
- <div class="width-1-2"> {{#ev:youtube|0_kDZPALHrY|420|center}}</div>
-</div>
-<br>
-Schau das Video zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Dies hilft dir bei der Bearbeitung der Übung 6.
-{{#ev:youtube|orfU-vDJ-7E|800|center}}
-<br>
-{{Box|1= Übung 6|2=<span style="color:red">Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.</span>Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs''']. Aufgaben:
-* 53
-* 55
-* 54
-* 58|3=Üben}}
-===3.3 Anwendungen in Sachsituationen===
-{{Box|Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen|Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:
-* Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
-* Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
-* Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
-* Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
-* Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
-* Denke an den passenden Antwortsatz|Kurzinfo}}
-Beispiel:<br>
-[[Datei:Umgeknickter Baum.png|rechts|rahmenlos]]Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.<br>
-Wie hoch war der Baum?<br>
-geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m<br>
-ges: Baumhöhe<br>
-[[Datei:Umgeknickter Baum Skizze.png|rechts|rahmenlos]]Skizze (rechtwinkliges Dreieck) <br>
-Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.<br>
-,8² + 6,5² = x² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
-<math>\sqrt{5,8^2+6,5^2}</math> = x<br>
-,71 <math>\approx</math> x<br>
-Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang. <br>
-,80 + 8,70 = 14,50<br>
-Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.<br>
-<br>
-{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
-* S. 118 Nr. 2
-* S. 118 Nr. 3
-* S. 119 Nr. 9
-* S. 120 Nr. 16|Üben}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 118 Nr. 2 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 118 Nr. 3 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 119 Nr. 9 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.<br>
-b) Gesucht ist die Raumdiagonale d.|Tipp zu Nr. 16|Verbergen}}
-<br>
-{{Box|Übung 8 (online)|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
 * 29
-* 30
+* 42
-* 31
+* 47
-* 32
+* 48|3=Üben}}
-* 33
-* 34
-* 35
-* 39
-* 40
-Und löse die Aufgabe aus dem GeoGebra-Applet: Pythagoras in Münster.|Üben}}
-<ggb_applet id="dx3GNvGe" width="937" height="800" border="888888" />
-<small>Applet von M. Engel
-</small><br>
-{{Lösung versteckt|Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:<br>
-[[Datei:Tipp zur Aufgaben Pythagoras in Münster.png|rahmenlos|400x400px]]
-Wo ist das rechtwinklige Dreieck?<br>
-Beschrifte und wende den Satz des Pythagoras an.|Tipp 1 (Skizze)|Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|1= Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:<br>
-[[Datei:Tipp zur Aufgaben Pythagoras in Münster 2.png|rahmenlos]]<br>
-Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:<br>
-,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau). <br>
-Das gesamte Seil muss also 15,3 m lang sein.|2=Tipp 2 (Skizze Pythagoras)|3=Verbergen}}
-<br>
-{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
-* S. 118 Nr. 4
-* S. 118 Nr. 6
-* S. 120 Nr. 17
-* S. 120 Nr. 18
-* S. 124 Nr. 15|Üben}}
-<br>
-{{Box|Übung 10|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.
-* S. 118 Nr. 5
-* S. 119 Nr. 10
-* S. 120 Nr. 19
-* S. 120 Nr. 21
-* S. 122 Nr. 9|Üben}}
-{{Box|Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial (mit Lösungen)|Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite [http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1ge/fs/fsindex.html '''Selbstlernmaterial''' ] von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.|Üben}}
-IDEENSAMMLUNG
-{{#ev:youtube|orfU-vDJ-7E|800|center}}
-{{#ev:youtube|gADxbnnMHdk|800|center}}
-__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__
+{{Fortsetzung|weiter=3.2 Anwendungen im Raum|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen/Anwendungen im Raum}}

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