Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen

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Lineare und quadratische Funktionen

Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

Auswertung des Einstiegstests

Schau, welche Aufgaben du schon richtig gelöst hast und wo du noch Schwierigkeiten hattest. Bearbeite dann

Nr. 6,7 Gleichung - Graph
Nr. 8,9 Gleichung rechnerisch bestimmen
Nr. 10 Punktprobe
Nr. 11 Nullstellen

Einstiegstest: Quadratische Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:

als Text
als Wertetabelle
als Funktionsgleichung
als Graph

Funktionen

Orientiere dich in der Formelsammlung! (S.5)

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen erkennen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Lineare Funktionen erkennen:

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).

Übung: Lineare Funktionen erkennen

Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

Lineare Funktionen: Wertetabelle

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
= 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
= 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	...
y	5	7	9	11	13	...

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen

Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.

Beispiele:

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte

Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:

Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)

Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b   |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b   |vereinfachen
3 = -2 + b   |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.

Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = $\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ = $\tfrac{1-5}{3-1}$ = $\tfrac{-4}{2}$ = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b   |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b   |vereinfachen
5 = -2 + b   |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.

Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.

Lineare Funktionen: Graph zeichnen

Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$ x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png

Schritt 3

Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe

Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt P_y mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P_y (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (x_NI0)

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

S. 122, P2 - P9
S. 150, Nr. 3-6

Quadratische Funktionen

Es gibt verschiedene Formen quadratischer Funktionen.

Normalform: f(x) = x²
Scheitelpunktform: f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)
allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c

Zusammenfassungen:

Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(x) = a(x + d)² + e. Wir haben die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.

Quadratische Funktionen: Scheitelpunktform und Normalform

Du kannst die Formen der Quadratischen Funktionen umwandeln:

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Beispiel:
f(x) = (x + 3)² - 4 |1. binomische Formel
   = x² + 2·x·3 + 3² - 4
   = x² + 6x + 9 - 4
   = x² + 6x + 5
Die Normalform eignet sich gut zur Nullstellenberechnung, denn hier kannst du die p-q-Formel anwenden.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Beispiel:
f(x) = x² + 8x - 4   |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{8}{2} \right )^2$ = 4² = 16
   = x² + 8x + 16 - 16 - 4 |1. binomische Formel
   = (x + 4)² - 16 - 4
   = (x + 4)² - 20
Also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-20)

Möchtest du anhand der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen, wandle diese also in die Scheitelpunktform um.

Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen

Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen.
Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:

Übung: Anzahl der Nullstellen

Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.

Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:

keine	f(x) = x² + 3	f(x) = -2x² - 5	f(x) = (x+2)² + 1
eine	f(x) = x²	f(x) = (x - 4)²	f(x) = -(x+2)²
zwei	f(x) = x² - 3	f(x) = -2x² + 5	f(x) = (x+2)² - 1

Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse, also gilt immer f(x) = 0.

Du erhältst also immer eine quadratische Gleichung (rein quadratisch oder gemischt quadratisch). Wie du diese löst, hast du im 1. Themenblock erarbeitet, es sind zur Wiederholung jeweils Beispiele notiert.

1. Form: f(x) = ax²
Beispiel: f(x) = 3x²
f(x) = 0
3x² = 0 |:3
x² = 0 | $\surd$
x = 0
N(0|0)

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

2. Form: f(x) = ax² + c

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8

f(x) = 0
0,5x² - 8 = 0    |+8
0,5x² = 8      |:0,5
x² = 16         | $\surd$
x₁ = - $\sqrt{16}$ und x₂ = + $\sqrt{16}$
x₁ = -4 und x₂ = +4
N₁(-4|0) und N₂(4|0)

3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18
f(x) = 0
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18
2(x + 2)² = 18    |:2
(x + 2)² = 9        | $\surd$
x₁ + 2 = - $\sqrt{9}$    und x₂ + 2 = + $\sqrt{9}$
x₁ + 2 = -3 und x₂ + 2 = 3     |-2
x₁ = - 3 - 2    und x₂ = + 3 - 2
x₁ = -5 und x₂ = 1
N₁(-5|0) und N₂(1|0)

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q
Lösung mit der p-q-Formel:
Normalform: f(x) = x² + px + q
x² + px + q = 0
x_1/2 = - $\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5
f(x) = 0
x² - 6x + 5 = 0 | pq-Formel mit p=-6 und q=5
x_1/2 = - $\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}$
x_1/2 = 3 $\pm \sqrt{9-5}$
x_1/2 = 3 $\pm \sqrt{4}$
x_1/2 = 3 $\pm$ 2
x₁ = 3 - 2 = 1 ; x₂ = 3+2 = 5 N₁(1|0) und N₂(5|0)

4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5
f(x) = 0
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung $\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2$
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel
(x - 3)² - 9 + 5 = 0
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4
(x - 3)² = 4        | $\surd$
x₁ - 3 = -2 und x₂ - 3 = 2     |+3
x₁ = -2 + 3    und x₂ = 2 + 3
x₁ = 1 und x₂ = 5

N₁(1|0) und N₂(5|0)

5. Form: allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c
Wandle zunächst in die Normalform um.
Wende dann wieder die p-q-Formel an.

Beispiel: f(x) = 2x² + 12x + 10
f(x) = 0
2x² + 12x + 10 = 0 |:2 (Ziel: Normalform)
x² + 6x + 5 = 0 | pq-Formel mit p=6 und q=5
x_1/2 = - $\tfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{6}{2} \right )^2-5}$
x_1/2 = -3 $\pm \sqrt{9-5}$
x_1/2 = -3 $\pm \sqrt{4}$
x_1/2 = -3 $\pm$ 2
x₁ = -3 - 2 = -5 ; x₂ = -3+2 = -1 N₁(-5|0) und N₂(-1|0)

Quadratische Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen

Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufzustellen, musst du wissen, wie groß a, d und e sind. Du brauchst also

den Scheitelpunkt S(-d|e) und
einen weiteren Punkt auf der Parabel, um den Streckungsfaktor a zu bestimmen.

Mit den Werten kannst die dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angeben.

Beispiel:
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(2|-2).
f(x) = a(x + d)² + e   |Setze für d=0 und e=-3 ein
f(x) = a(x - 0) + (-3)
f(x) = ax² - 3    |Setze die Koordinaten des Punkte P ein (Punktprobe)
-2 = a·2² - 3
-2 = 4a - 3    |+3
1 = 4a    |:4
$\tfrac{1}{4}$ = a
Also lautet die Funktionsgleichung der Parabel f(x) = $\tfrac{1}{4}$ x² - 3.

Modellieren - Anwendungsaufgaben

Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:

Scheitelpunkt
Nullstellen
Schnittpunkt mit der y-Achse
Koordinaten eines beliebigen Punktes

Verwende zur Lösung der Aufgabe die verschiedenen Darstellungsformen und die wiederholten Methoden zur Berechnung der verschiedenen besonderen Punkte.