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| * S. 122, P2 - P9 | | * S. 122, P2 - P9 |
| * S. 150, Nr. 3-6|Üben}} | | * S. 150, Nr. 3-6|Üben}} |
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| ===Quadratische Funktionen===
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| {{Box|1=Quadratische Funktionen|2=Es gibt verschiedene Formen quadratischer Funktionen.
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| * Normalform: f(x) = x²
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| * Scheitelpunktform: f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)
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| * allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
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| |3=Merksatz}}
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| Zusammenfassungen:<br>
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| [[Datei:Quadratische Funktionen Zusammenfassung S.1.jpg|rahmenlos|900x900px]]
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| <br>
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| [[Datei:Quadratische Funktionen Zusammenfassung S. 2.jpg|rahmenlos|900x900px]]
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| ====Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen====
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| {{Box|1=Scheitelpunktform|2=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(x) = a(x + d)² + e. Wir haben die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.|3=Üben}}
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| {{LearningApp|app=pq6e32wtk20|width=100%|height=400px}}
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| {{LearningApp|app=2767802|width=100%|height=600px}}
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| ====Quadratische Funktionen: Scheitelpunktform und Normalform====
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| Du kannst die Formen der Quadratischen Funktionen umwandeln:
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Von der Scheitelpunktform zur Normalform
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| {{#ev:youtube|TqLEqrbmRcU|420|center}}
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| Beispiel:<br>
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| f(x) = (x + 3)² - 4 |1. binomische Formel<br>
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| = x² + 2·x·3 + 3² - 4<br>
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| = x² + 6x + 9 - 4<br>
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| = x² + 6x + 5<br>
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| Die Normalform eignet sich gut zur Nullstellenberechnung, denn hier kannst du die p-q-Formel anwenden.
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| </div>
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| <div class="width-1-2">Von der Normalform zur Scheitelpunktform
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| {{#ev:youtube|ZS3ktdMePpQ|420|center}}
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| Beispiel:<br>
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| f(x) = x² + 8x - 4 |quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2</math>= 4² = 16<br>
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| = x² + 8x + 16 - 16 - 4 |1. binomische Formel<br>
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| = (x + 4)² - 16 - 4 <br>
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| = (x + 4)² - 20<br>
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| Also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-20)<br>
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| Möchtest du anhand der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen, wandle diese also in die Scheitelpunktform um.</div>
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| </div>
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| ====Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen====
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| Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. <br> Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:<br>
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| [[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]]<br>
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| {{Box|Übung: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
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| |Üben}}
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| {{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
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| {{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
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| Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
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| <div class="zuordnungs-quiz">
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| {|
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| |keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
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| |-
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| |eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
| |
| |-
| |
| |zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
| |
| |}
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| </div>
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| {{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen|2=Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse, also gilt immer '''f(x) = 0'''.
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| Du erhältst also immer eine quadratische Gleichung (rein quadratisch oder gemischt quadratisch). Wie du diese löst, hast du im 1. Themenblock erarbeitet, es sind zur Wiederholung jeweils Beispiele notiert.|3=Merksatz}}
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| <u><big>1. Form: f(x) = ax² </big></u><br>
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| Beispiel: f(x) = 3x²<br>
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| f(x) = 0<br>
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| 3x² = 0 |:3<br>
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| x² = 0 |<math>\surd</math><br>
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| x = 0 <br>
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| N(0|0)<br>
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| Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.
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| <u><big>2. Form: f(x) = ax² + c </big></u>
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| Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8<br>
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| f(x) = 0<br>
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| 0,5x² - 8 = 0 |+8<br>
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| 0,5x² = 8 |:0,5<br>
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| x² = 16 |<math>\surd</math><br>
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| x<sub>1</sub> = - <math>\sqrt{16}</math> und x<sub>2</sub> = + <math>\sqrt{16}</math><br>
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| x<sub>1</sub> = -4 und x<sub>2</sub> = +4
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| <br>
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| N<sub>1</sub>(-4|0) und N<sub>2</sub>(4|0)<br>
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| <u><big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big></u>
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| Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18<br>
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| f(x) = 0<br>
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| 2(x + 2)² - 18 = 0 |+18<br>
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| 2(x + 2)² = 18 |:2<br>
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| (x + 2)² = 9 |<math>\surd</math><br>
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| x<sub>1</sub> + 2 = - <math>\sqrt{9}</math> und x<sub>2</sub> + 2 = + <math>\sqrt{9}</math><br>
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| x<sub>1</sub> + 2 = -3 und x<sub>2</sub> + 2 = 3 |-2<br>
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| x<sub>1</sub> = - 3 - 2 und x<sub>2</sub> = + 3 - 2 <br>
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| x<sub>1</sub> = -5 und x<sub>2</sub> = 1 <br>
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| N<sub>1</sub>(-5|0) und N<sub>2</sub>(1|0)<br>
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| Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).<br>
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| Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.
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| <u><big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q </big></u><br>
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| Lösung mit der p-q-Formel:<br>
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| Normalform: f(x) = x² + px + q<br>
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| x² + px + q = 0<br>
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| x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math><br>
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| Beispiel: f(x) = x² -6x + 5<br>
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| f(x) = 0<br>
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| x² - 6x + 5 = 0 | pq-Formel mit p=-6 und q=5<br>
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| x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math><br>
| |
| x<sub>1/2</sub> = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math><br>
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| x<sub>1/2</sub> = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math><br>
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| x<sub>1/2</sub> = 3<math> \pm </math>2<br>
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| x<sub>1</sub> = 3 - 2 = 1 ; x<sub>2</sub> = 3+2 = 5
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| N<sub>1</sub>(1|0) und N<sub>2</sub>(5|0)<br>
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| {{Lösung versteckt|1=<u><big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big></u>
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| Beispiel: f(x) = x² -6x + 5<br>
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| f(x) = 0<br>
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| x² - 6x + 5 = 0 | quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math><br>
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| x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0 | 2. binomische Formel <br>
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| (x - 3)² - 9 + 5 = 0 <br>
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| (x - 3)² - 4 = 0 | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4<br>
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| (x - 3)² = 4 |<math>\surd</math><br>
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| x<sub>1</sub> - 3 = -2 und x<sub>2</sub> - 3 = 2 |+3<br>
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| x<sub>1</sub> = -2 + 3 und x<sub>2</sub> = 2 + 3 <br>
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| x<sub>1</sub> = 1 und x<sub>2</sub> = 5 <br>
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| N<sub>1</sub>(1|0) und N<sub>2</sub>(5|0)<br>|2=Lösung mit quadratischer Ergänzung|3=Verbergen}}
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| <u><big>5. Form: allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c </big></u><br>
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| Wandle zunächst in die Normalform um.<br>
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| Wende dann wieder die p-q-Formel an.<br>
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| Beispiel: f(x) = 2x² + 12x + 10<br>
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| f(x) = 0<br>
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| 2x² + 12x + 10 = 0 |:2 (Ziel: Normalform)<br>
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| x² + 6x + 5 = 0 | pq-Formel mit p=6 und q=5<br>
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| x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{6}{2} \right )^2-5}</math><br>
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| x<sub>1/2</sub> = -3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math><br>
| |
| x<sub>1/2</sub> = -3 <math>\pm \sqrt{4}</math><br>
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| x<sub>1/2</sub> = -3<math> \pm </math>2<br>
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| x<sub>1</sub> = -3 - 2 = -5 ; x<sub>2</sub> = -3+2 = -1
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| N<sub>1</sub>(-5|0) und N<sub>2</sub>(-1|0)<br>
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| ====Quadratische Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen====
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| {{Box|1=Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen|2=Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufzustellen, musst du wissen, wie groß a, d und e sind. Du brauchst also
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| * den Scheitelpunkt S(-d|e) und
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| * einen weiteren Punkt auf der Parabel, um den Streckungsfaktor a zu bestimmen.
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| Mit den Werten kannst die dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angeben.|3=Merksatz}}
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| Beispiel:<br>
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| Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(2|-2).<br>
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| f(x) = a(x + d)² + e |Setze für d=0 und e=-3 ein<br>
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| f(x) = a(x - 0) + (-3)<br>
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| f(x) = ax² - 3 |Setze die Koordinaten des Punkte P ein (Punktprobe)<br>
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| -2 = a·2² - 3 <br>
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| -2 = 4a - 3 |+3<br>
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| 1 = 4a |:4<br>
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| <math>\tfrac{1}{4}</math> = a<br>
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| Also lautet die Funktionsgleichung der Parabel f(x) = <math>\tfrac{1}{4}</math>x² - 3.
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| ===Modellieren - Anwendungsaufgaben===
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| Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:
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| *Scheitelpunkt
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| *Nullstellen
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| *Schnittpunkt mit der y-Achse
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| *Koordinaten eines beliebigen Punktes
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| Verwende zur Lösung der Aufgabe die verschiedenen Darstellungsformen und die wiederholten Methoden zur Berechnung der verschiedenen besonderen Punkte.
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| {{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.
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| * S. 123, P12 - P16
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| * AB Quadratische Funktionen - Anwendungsaufgaben|Üben}}
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