Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Zusammengesetzte Körper

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Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

Zusammengesetzte Körper

Einstieg: Tropical Island

Das Schwimmbad „Tropical Island“ in Berlin hat die Form wir auf dem Foto. Die Halle ist 360 Meter lang, 210 Meter breit und 107 Meter hoch. Um die Belüftungsanlage richtig einstellen zu können, ist es wichtig, das Volumen der Halle zu kennen. Wie gehst du vor?

Aus welchen Teilkörpern setzt sich die Halle zusammen? Welche Maße sind jeweils gegeben?

Die Halle setzt sich aus zwei Viertelkugeln, also einer Halbkugel und einem halben Zylinder zusammen.

Der Radius der Kugeln ist die halbe Breite, also 210:2=105 (m) bzw. die Höhe 107 m. Der Halbzylinder hat die Höhe h=360-210=150 (m).

Volumen und Oberfläche zusammengesetzer Körper

Das Volumen zusammengesetzter Körper berechnet man als Summe der Teilvolumina:
V = V₁ + V₂ + ...
Das Volumen ausgehöhlter Körper berechnet man als Differenz der Teilvolumina:
V = V₁ - V₂.

Die Oberfläche zusammengesetzter oder ausgehöhlter Körper berechnet man als Summe der Teilflächen.

Übung 1

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben 1 und 2.

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Übung 2

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

• S. 59 Nr. 1
• S. 59 Nr. 6
• S. 59 Nr. 2 (***schwer)
• S. 59 Nr. 4 (***schwer)

a) Der Körper besteht aus einer quadratischen Pyramide und einem Würfel.
Das Volumen setzt sich also zusammen aus V = VWürfel + V_Pyramide.
Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, bestimme zunächst mit einem geeigneten Teildreieck die Höhe h_K der Pyramide.

Die Oberfläche des Körpers setzt sich zusammen aus dem Mantel der Pyramide und 5 Seitenflächen des Würfels (Quadrate).

b) Der Körper setzt sich zusammen aus zwei quadratischen Pyramiden. Diese haben die gleiche Grundfläche aber unterschiedliche Höhen h_K.

Die Oberfläche setzt sich zusammen aus beiden Mantelflächen der Pyramiden.

a) Der Körper besteht aus einem Kegel und einem Zylinder.
Das Volumen setzt sich also zusammen aus V = VKegel + V_Zylinder.

Die Oberfläche des Körpers setzt sich zusammen aus dem Mantel des Zylinders, einer Grundfläche des Zylinders und dem Mantel des Zylinders.

b) Der Körper besteht aus einem Zylinder, aus dem ein Kegel herausgeschnitten wird.
Das Volumen setzt sich also zusammen aus V = VZylinder - V_Kegel.

Die Oberfläche des Körpers setzt sich zusammen aus einer Grundfläche des Zylinders, dem Mantel des Zylinders und dem Mantel des Kegels.

Gib das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von r an: V=$\pi$r²h_K mit h_K = r, also V = $\pi$r³. Das Volumen des rechten Körpers setzt sich zusammen aus dem Volumen einer Halbkugel ($\tfrac{1}{2}$V_Kugel) und dem Volumen eines Kegels mit der Höhe h_K = r. Stelle auch hier die Formel in Abhängigkeit von r auf und vergleiche.

Die Oberfläche des Zylinders beträgt O = 2G + M = 2$\pi$r² + 2$\pi$rh_K, mit h_K = r, also O = 4$\pi$r2. Die Oberfläche des rechten Körpers setzt sich zusammen aus der Oberfläche einer Halbkugel ($\tfrac{1}{2}$O_Kugel) und dem Mantel eines Kegels mit der Höhe h_K = r. Bestimme s mit Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck.

Bestimme zunächst den Radius mithilfe der gegebenen Oberfläche und der Mantellinie s. Du erhältst eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel nach r auflösen kannst.(Lösung: r$\approx$30cm.
Nun bestimme die Höhe h_K mit Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck (Lösung: h_K$\approx$75cm) und berechne anschließend das Volumen.

Übung 3 - Anwendungsaufgaben

Löse die Anwendungsaufgaben im Buch. Suche immer nach Körpern bzw. Teilkörpern und überlege, ob Flächen oder Volumina gesucht sind.

• S. 59 Nr. 3
• S. 59 Nr. 5
• S. 59 Nr. 7 (***schwer)

Das Dach des Turms hat die Form eines Kegels, berechne also die Mantelfläche des Kegels. Bestimme den Radius r mit Pythagoras in einem geeigneten Teildreieck (Zeichnung!)

Die Mauer, die gekalkt werden muss hat die Form des Mantels eines Zylinders.

Schätze die Maße mithilfe der Körpergröße der Personen im Korb ab.

Das Volumen des Trogs setzt sich zusammen aus dem Volumen eines halben Zylinders, aus dem ein kleinerer halber Zylinder und zwei Viertelkugeln (also zusammen eine halben Kugel) herausgeschnitten werden.
Die Oberfläche des Troges setzt sich zusammen aus zweimal der halben Grundfläche des Zylinders außen (also eine Kreisfläche), der halben Mantelfläche des Zylinders außen, der Oberfläche der zwei Viertelkugeln (also einer halben Kugel) und der halben Mantelfläche des inneren Zylinders und dem Rand.

Der Rand besteht aus einem großen Rechteck, von dem zwei Halbkreise (also ein Kreis) und ein kleineres Rechteck abgezogen werden.

Übung 4 - Vermischte Übungen

Weitere Übungsmöglichkeiten findest du auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 18 - 21
• Nr. 28 - 31
• Nr. 42, 43

5) Checkliste