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Satz des Pythagoras - Startseite

1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
3) Anwendungen
   3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren
   3.2) Anwendungen im Raum
   3.3) Anwendungen in Sachsituationen

   3.4 Anwendungen im Koordinatensystem

3.2 Anwendungen im Raum

Pythagoras im Würfel und Quader

Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:

Kantenmodell eines Quaders:

Hinweise zu Pythagoras im Würfel:

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Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.

• S. 116, Nr. 15
• S. 116, Nr. 16
• S. 125, Nr. 4
• S. 123, Nr. 10 (Wahl)

Simulation zu Nr. 4 rechts: Du kannst den Würfel drehen.

Simulation zu Nr. 10: Du kannst die quadratische Säule drehen. Nutze jeweils Hilfslinien.
Originallink https://www.geogebra.org/classic/kmd7tz9e

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Pythagoras in der quadratischen Pyramide

Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Wo findest du rechtwinklige Dreiecke?

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

($\tfrac{a}{2}$)² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

($\tfrac{a}{2}$)² + h_S² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite $\tfrac{d}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

($\tfrac{d}{2}$)² + h_K² =s².

Schau die Videos zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Diese helfen dir bei der Bearbeitung der Übung 2 und 3.

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Übung 2

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft. Nutze bei Bedarf die Hilfen unten!

• S. 123 Nr. 11 a (Beachte die Angabe des Dachüberstandes von 0,30m nicht, sie hat hier keine Bedeutung.)
• S. 120 Nr. 20 (Pythagoras im Dreiecksprisma)

Das Dach setzt sich aus 4 Dreiecken zusammen. A_Dreieck = $\tfrac{g\cdot h}{2}$.
Gehe schrittweise vor:
1. Berechne die Länge der Höhe h_a der Seitenfläche.
2. Berechne den Flächeninhalt einer Seitenfläche (Dreieck!).

3. Berechne den Flächeninhalt des gesamten Daches.

Vergleiche deine Lösungen:
Höhe der Seitenflächen h_a ≈ 10,5 m
Flächeninhalt einer Seitenfläche A_Dreieck ≈ 40,95 m²

Dachfläche: A_Dach ≈ 163,8 m²

Du kannst das Modell hinten im Klassenraum nutzen oder das GeoGebra-Applet: Welche rechtwinkligen Teildreiecke erkennst du? Skizziere und beschrifte!

Übung 3

Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

• 55
• 56
• 57
• 60

Teildreieck zur Pyramide:

Teildreieck zum Quader:

Teildreieck zum Kegel:

Teildreieck:

Teildreiecke:

3.3 Anwendungen in Sachsituationen