Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2

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1. Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)

2. Funktionen: Lineare Funktionen
3. Funktionen: Quadratische Funktionen
4. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung
5. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie
6. Diagramme, Statistik
7. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Funktionen: Quadratische Funktionen

Einstiegstest: Quadratische Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Welche Graphen gehören zu einer quadratischen Funktion?

	A
	B
	C
	D

2 Kreuze die richtigen Aussagen an. Jede quadratische Funktion ...

	hat einen höchsten Punkt
	hat einen Scheitelpunkt
	schneidet die x-Achse
	schneidet die y-Achse

3 Welche Funktionsgleichungen sind in der Scheitelpunktform gegeben? Kreuze an.

	f(x) = 2(x-1)²+3
	f(x) = x² + 3
	f(x) = x² + 3x
	f(x) = (x-1)²

4 Wie lautet der Scheitelpunkt der Funktion f(x) = 4(x-2)²-3?

	S(2|-3)
	S(4|-2)
	S(-2|-3)
	S(4|-3)

5 Gib die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel an.

	f(x) = (x-3)² - 1
	f(x) = (x+3)² - 1
	f(x) = -(x-3)² - 1
	f(x) = -(x+3)² - 1

6 Wie lautet die Funktionsgleichung Parabel mit dem Scheitelpunkt S(4|2) und dem Streckungsfaktor 3?

	f(x) = 3(x-4)²+2
	f(x) = (x-2)² + 4
	f(x) = 3(x+4)² + 2
	f(x) = (x - 4)² + 3

7 Wandle die Funktionsgleichung von f(x) = (x + 2)² - 3 in die Normalform um. Löse im Heft.

	x² + 4x + 1
	x² + 4x - 3
	x² + 2x - 3
	x² + 2x + 1

8 Wandle die Funktionsgleichung von f(x) = x² + 6x + 5 in die Scheitelpunktform um. Löse im Heft.

	(x + 6)² + 5
	(x - 6)² - 5
	(x + 3)² - 4
	(x + 3)² + 4

9 Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben?

	keinen
	einen
	zwei
	drei

10 Wie viele Nullstellen hat die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = 2(x - 1)² - 3?

	keine
	eine
	zwei
	drei

11 Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 10x + 16. Berechne im Heft.

	N(0|2)
	N(0|-10)
	N(0|16)
	N(0|8)

12 Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(2|-2). Bestimme die Funktionsgleichung. Löse im Heft.

	f(x) = $\tfrac{1}{4}$x² - 3
	f(x) = 2x² - 3
	f(x) = -2x² - 3
	f(x) = 2x² - 2x + 3

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

• Scheitelpunktform Nr. 1-6
• Scheitelpunktform und Normalform Nr. 7,8
• Nullstellen bestimmen Nr. 9-11
• Funktionsgleichung aufstellen Nr. 12

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen

Es gibt verschiedene Formen quadratischer Funktionen.

• Normalform: f(x) = x²
• Scheitelpunktform: f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d|e)
• allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c

Zusammenfassungen:

Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(x) = a(x + d)² + e. Wir haben die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.

Quadratische Funktionen: Scheitelpunktform und Normalform

Du kannst die Formen der Quadratischen Funktionen umwandeln:

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

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Beispiel:
f(x) = (x + 3)² - 4  |1. binomische Formel
   = x² + 2·x·3 + 3² - 4
   = x² + 6x + 9 - 4
   = x² + 6x + 5
Die Normalform eignet sich gut zur Nullstellenberechnung, denn hier kannst du die p-q-Formel anwenden.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

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Beispiel:
f(x) = x² + 8x - 4   |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{8}{2} \right )^2$= 4² = 16
   = x² + 8x + 16 - 16 - 4  |1. binomische Formel
   = (x + 4)² - 16 - 4
   = (x + 4)² - 20
Also lautet der Scheitelpunkt S(-4|-20)

Möchtest du anhand der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen, wandle diese also in die Scheitelpunktform um.

Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen

Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen.
Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:

Übung: Anzahl der Nullstellen

Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.

Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:

keine	f(x) = x² + 3	f(x) = -2x² - 5	f(x) = (x+2)² + 1
eine	f(x) = x²	f(x) = (x - 4)²	f(x) = -(x+2)²
zwei	f(x) = x² - 3	f(x) = -2x² + 5	f(x) = (x+2)² - 1

Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse, also gilt immer f(x) = 0.

Du erhältst also immer eine quadratische Gleichung (rein quadratisch oder gemischt quadratisch). Wie du diese löst, hast du im 1. Themenblock erarbeitet, es sind zur Wiederholung jeweils Beispiele notiert.

1. Form: f(x) = ax²
Beispiel: f(x) = 3x²
f(x) = 0
3x² = 0    |:3
x² = 0    |$\surd$
x = 0
N(0|0)

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

2. Form: f(x) = ax² + c

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8

f(x) = 0
0,5x² - 8 = 0    |+8
0,5x² = 8      |:0,5
x² = 16         |$\surd$
x₁ = - $\sqrt{16}$ und x₂ = + $\sqrt{16}$
x₁ = -4 und x₂ = +4
N₁(-4|0) und N₂(4|0)

3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18
f(x) = 0
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18
2(x + 2)² = 18    |:2
(x + 2)² = 9        |$\surd$
x₁ + 2 = - $\sqrt{9}$    und x₂ + 2 = + $\sqrt{9}$
x₁ + 2 = -3 und x₂ + 2 = 3     |-2
x₁ = - 3 - 2    und x₂ = + 3 - 2
x₁ = -5 und x₂ = 1
N₁(-5|0) und N₂(1|0)

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q
Lösung mit der p-q-Formel:
Normalform: f(x) = x² + px + q
x² + px + q = 0
x_1/2 = -$\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5
f(x) = 0
x² - 6x + 5 = 0   | pq-Formel mit p=-6 und q=5
x_1/2 = -$\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}$
x_1/2 = 3 $\pm \sqrt{9-5}$
x_1/2 = 3 $\pm \sqrt{4}$
x_1/2 = 3$\pm$2
x₁ = 3 - 2 = 1 ; x₂ = 3+2 = 5 N₁(1|0) und N₂(5|0)

4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5
f(x) = 0
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung $\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2$
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel
(x - 3)² - 9 + 5 = 0
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4
(x - 3)² = 4        |$\surd$
x₁ - 3 = -2 und x₂ - 3 = 2     |+3
x₁ = -2 + 3    und x₂ = 2 + 3
x₁ = 1 und x₂ = 5

N₁(1|0) und N₂(5|0)

5. Form: allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c
Wandle zunächst in die Normalform um.
Wende dann wieder die p-q-Formel an.

Beispiel: f(x) = 2x² + 12x + 10
f(x) = 0
2x² + 12x + 10 = 0   |:2 (Ziel: Normalform)
x² + 6x + 5 = 0  | pq-Formel mit p=6 und q=5
x_1/2 = -$\tfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{6}{2} \right )^2-5}$
x_1/2 = -3 $\pm \sqrt{9-5}$
x_1/2 = -3 $\pm \sqrt{4}$
x_1/2 = -3$\pm$2
x₁ = -3 - 2 = -5 ; x₂ = -3+2 = -1 N₁(-5|0) und N₂(-1|0)

Quadratische Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen

Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufzustellen, musst du wissen, wie groß a, d und e sind. Du brauchst also

• den Scheitelpunkt S(-d|e) und
• einen weiteren Punkt auf der Parabel, um den Streckungsfaktor a zu bestimmen.

Mit den Werten kannst die dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angeben.

Beispiel:
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(0|-3) und geht durch den Punkt P(2|-2).
f(x) = a(x + d)² + e   |Setze für d=0 und e=-3 ein
f(x) = a(x - 0) + (-3)
f(x) = ax² - 3    |Setze die Koordinaten des Punkte P ein (Punktprobe)
-2 = a·2² - 3
-2 = 4a - 3    |+3
1 = 4a    |:4
$\tfrac{1}{4}$ = a
Also lautet die Funktionsgleichung der Parabel f(x) = $\tfrac{1}{4}$x² - 3.

Modellieren - Anwendungsaufgaben

Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:

• Scheitelpunkt
• Nullstellen
• Schnittpunkt mit der y-Achse
• Koordinaten eines beliebigen Punktes

Verwende zur Lösung der Aufgabe die verschiedenen Darstellungsformen und die wiederholten Methoden zur Berechnung der verschiedenen besonderen Punkte.

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

• S. 123, P12 - P16
• AB Quadratische Funktionen - Anwendungsaufgaben