Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br> | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br> | ||
Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag | |||
{{Navigation verstecken|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Größen| 1. Zahlen und Größen]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Zuordnungen|2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen|3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen|4. Funktionen: Lineare Funktionen]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2|5. Funktionen: Quadratische Funktionen]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie|6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik|7. Diagramme, Statistik]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit|8. Wahrscheinlichkeitsrechnung]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Exponentiafunktion|9. Wachstum und Exponentialfunktion]] | |||
}} | |||
{{ | ==Funktionen== | ||
[[ | {{Box|Funktionen|[[Datei:Darstellungen von Funktionen.png|rechts|rahmenlos]]Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen: | ||
* als Text | |||
* als Wertetabelle | |||
* als Funktionsgleichung | |||
* als Graph|Merksatz}} | |||
Einstiegstest: '''<big>Lineare Funktionen</big>''' (hilfsmittelfreier Teil) | {{Box|1=Funktionen|2=Orientiere dich in der [https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-pruefungen-10/faecher/getfile.php?file=2402 Formelsammlung! (S.5)]|3=Merksatz}} | ||
===Einstiegstest: '''<big>Lineare Funktionen</big>''' (hilfsmittelfreier Teil)=== | |||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
{ Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?} | { Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?} | ||
- y = 5x + 2 | - y = 5x + 2 | ||
+ y = 2x + 5 | + y = 2x + 5 | ||
- y= 5x + 5 | - y = 5x + 5 | ||
- y = 2x + 2 | - y = 2x + 2 | ||
Zeile 48: | Zeile 61: | ||
+ Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich. | + Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich. | ||
- Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich. | - Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich. | ||
{ Welche Gleichung passt zum Geraden? | { Welche Gleichung passt zum Geraden? | ||
Zeile 78: | Zeile 87: | ||
- y = 1x | - y = 1x | ||
- y = 1x + 3 | - y = 1x + 3 | ||
{ Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.} | |||
+ Ja | |||
- Nein | |||
{ Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.} | { Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.} | ||
- x = 5 | - x = 5 | ||
- x = 2 | - x = 2 | ||
Zeile 86: | Zeile 98: | ||
- x = -2,5 | - x = -2,5 | ||
{ Kreuze die richtigen Aussagen an.Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6 ...} | { Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...} | ||
- hat keine Nullstelle | - hat keine Nullstelle | ||
+ schneidet die x-Achse bei x = 2 | + schneidet die x-Achse bei x = 2 | ||
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</quiz> | </quiz> | ||
{{Box|Auswertung des Eingangstests|Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend. | |||
* Lineare Funktionen erkennen 1-4 | |||
* Gleichung - Graph Nr. 5-7 | |||
* Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9 | |||
* Punktprobe Nr. 10 | |||
* Nullstellen Nr. 11|Lösung}} | |||
{{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch, vergleiche deine Lösungen. Nutze zur Wiederholung die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad. | |||
* Lineare Funktionen erkennen: S. 150, Nr. 1,2 | |||
* Lineare Funktionen zeichnen: S. 150, Nr. 3,4 | |||
- ... | * Gleichung - Graph: S. 150, Nr. 5,6 und S. 122, P2 - 4 | ||
* Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S. 122, P5 - 6 | |||
* Punktprobe: S. 122(123, P7 - P10|Üben}} | |||
===Lineare Funktionen erkennen=== | |||
===Lineare Funktionen=== | |||
{{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br> | {{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br> | ||
Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}} | Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}} | ||
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<div class="width-1-2">{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}</div> | <div class="width-1-2">{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}</div> | ||
</div> | </div> | ||
<br> | |||
===Lineare Funktionen: Wertetabelle=== | |||
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br> | {{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br> | ||
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br> | Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br> | ||
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|3=Kurzinfo}} | |3=Kurzinfo}} | ||
===Lineare Funktionen: Gleichung und Graph=== | |||
{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.<br> | {{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.<br> | ||
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br> | Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br> | ||
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|Kurzinfo}} | |Kurzinfo}} | ||
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen|* Lies den y-Achsenabschnitt b ab. | {{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen|* Lies den y-Achsenabschnitt b ab. | ||
* Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.|Merksatz}} | * Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.|Merksatz}} | ||
{{#ev:youtube|XSqoULEHbe0|800|center}} | {{#ev:youtube|XSqoULEHbe0|800|center}} | ||
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[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]</div> | [[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]</div> | ||
</div> | </div> | ||
<br> | |||
{{Box|Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}} | {{Box|Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}} | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
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</div> | </div> | ||
====Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen | ===Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen=== | ||
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte|Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen: | |||
* Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben | |||
* Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)|Merksatz}} | |||
<big>Beispiel 1: Punkt-Steigungsform</big><br> | |||
geg: m = -1 und P(2|3)<br> | |||
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion<br> | |||
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.<br> | |||
f(x) = mx + b |m=-1 und P(2|3) einsetzen<br> | |||
3 = -1·2 + b |vereinfachen<br> | |||
3 = -2 + b |+2<br> | |||
5 = b<br> | |||
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.<br> | |||
<br> | |||
<big>Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form </big><br> | |||
geg: P(1|5) und Q(3|1)<br> | |||
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion<br> | |||
Bestimme die Steiung m: m = <math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> = <math>\tfrac{1-5}{3-1} </math> = <math>\tfrac{-4}{2} </math> = -2<br> | |||
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.<br> | |||
f(x) = mx + b |m=-2 und P(1|5) einsetzen<br> | |||
5 = -2·1 + b |vereinfachen<br> | |||
5 = -2 + b |+2<br> | |||
7 = b<br> | |||
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.<br> | |||
{{Lösung versteckt|1=Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst. | |||
[[Datei:Zwei-Punkte-Form von f(x)=-2x+7.png|rahmenlos|619x619px]]|2=Bild zur Bestimmung von m (Funktionsgraph)|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{#ev:youtube|bE-yJzIqeIU|800|center}}|2=Video: Zwei-Punkteform der Geradengleichung|3=Verbergen}} | |||
===Lineare Funktionen: Punktprobe=== | |||
{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}} | |||
{{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}} | |||
===Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen=== | |||
{{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b. | {{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b. | ||
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[[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]] | [[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]] | ||
{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}} | {{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}} | ||
Zeile 231: | Zeile 272: | ||
* S. 122, P2 - P9 | * S. 122, P2 - P9 | ||
* S. 150, Nr. 3-6|Üben}} | * S. 150, Nr. 3-6|Üben}} | ||
Aktuelle Version vom 4. Juli 2023, 06:13 Uhr
Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag
Funktionen
Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)
Lineare Funktionen erkennen
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).
Lineare Funktionen: Wertetabelle
Lineare Funktionen: Gleichung und Graph
Beispiele:
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.
Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen
Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b |vereinfachen
3 = -2 + b |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.
Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = = = = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b |vereinfachen
5 = -2 + b |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.
Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.
Lineare Funktionen: Punktprobe
Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen