Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br>
Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag
{{Navigation verstecken|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Größen| 1. Zahlen und Größen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Zuordnungen|2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen|3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen|4. Funktionen: Lineare Funktionen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2|5. Funktionen: Quadratische Funktionen]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie|6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik|7. Diagramme, Statistik]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit|8. Wahrscheinlichkeitsrechnung]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Exponentiafunktion|9. Wachstum und Exponentialfunktion]]
}}
==Funktionen==
==Funktionen==
{{Box|Funktionen|[[Datei:Darstellungen von Funktionen.png|rechts|rahmenlos]]Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
{{Box|Funktionen|[[Datei:Darstellungen von Funktionen.png|rechts|rahmenlos]]Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
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* als Graph|Merksatz}}
* als Graph|Merksatz}}


===Lineare Funktionen===
{{Box|1=Funktionen|2=Orientiere dich in der [https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrale-pruefungen-10/faecher/getfile.php?file=2402 Formelsammlung! (S.5)]|3=Merksatz}}
 
===Einstiegstest: '''<big>Lineare Funktionen</big>''' (hilfsmittelfreier Teil)===
<quiz display="simple">
{ Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?}
- y = 5x + 2
+ y = 2x + 5
- y = 5x + 5
- y = 2x + 2
 
{ 4 Gläser Apfelschorle kosten 6 €. Wie viel kosten dann 7 Gläser Apfelschorle?}
- 10€
+ 10,50€
- 11 €
- 11,50€
 
{ Eine zylinderförmige Vase wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? (Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen?)
 
[[Datei:Füllgraphen.jpg|rahmenlos]]}
+ A
- B
- C
- D
 
{ Das Bild zeigt den Graphen einer linearen Funktion f(x) = mx + b. Welche Aussage ist richtig?
 
[[Datei:Gerade m negativ, b positiv.png|rahmenlos]]}
 
- m > 0 und b > 0
+ m < 0 und b > 0
- m < 0 und b < 0
- m > 0 und b < 0
 
{ Für eine lineare Funktion f(x) = mx + b mit m > 0 und b < 0 gilt... }
- Die Gerade fällt.
+ Die Gerade steigt.
+ Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich.
- Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich.
 
{ Welche Gleichung passt zum Geraden?
 
[[Datei:F(x) = 2x+3.png|rahmenlos]]}
+ f(x) = 2x + 3
- f(x) = 3x + 2
- f(x) = <math>\tfrac{1}{2}</math> + 3
- f(x) = <math>\tfrac{1}{3}</math> + 2
 
{ Wie lautet die Gleichung der proportionalen Funktion g(x), die parallel zu f(x) = -2x + 3 verläuft?}
- g(x) = 2x + 3
- g(x) = 2x - 3
+ g(x) = -2x
- g(x) = -2x -3
 
{ Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt P(-1|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.}
- y = -1x + 3
- y = 3x - 1
- y = 2x + 3
+ y = 2x + 5
 
{ Eine Gerade geht durch die Punkte P(0|1) und Q(4|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.}
+ y = <math>\tfrac{1}{2}</math>x + 1
- y = 4x + 3
- y = 1x
- y = 1x + 3
 
{ Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) =  -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.}
+ Ja
- Nein
 
{ Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.}
- x = 5
- x = 2
+ x = 2,5
- x = -2,5
 
{ Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...}
- hat keine Nullstelle
+ schneidet die x-Achse bei x = 2
- hat die Steigung 6
+ enthält den Punkt (-1|9)
 
</quiz>
{{Box|Auswertung des Eingangstests|Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.
* Lineare Funktionen erkennen 1-4
* Gleichung - Graph Nr. 5-7
* Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9
* Punktprobe Nr. 10
* Nullstellen Nr. 11|Lösung}}
 
{{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch, vergleiche deine Lösungen. Nutze zur Wiederholung die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.
* Lineare Funktionen erkennen: S. 150, Nr. 1,2
* Lineare Funktionen zeichnen: S. 150, Nr. 3,4
* Gleichung - Graph: S. 150, Nr. 5,6 und S. 122, P2 - 4
* Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S. 122, P5 - 6
* Punktprobe: S. 122(123, P7 - P10|Üben}}
 
 
===Lineare Funktionen erkennen===
{{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br>
{{Box|1=Lineare Funktionen erkennen|2=Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = <span style="color:red>m</span>x + <span style="color:green">b</span></b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).<br>
Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}}
Lineare Funktionen erkennen:|3=Arbeitsmethode}}
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  <div class="width-1-2">{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}</div>
  <div class="width-1-2">{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}</div>
</div>
</div>
<br>


====Lineare Funktionen: Wertetabelle====
===Lineare Funktionen: Wertetabelle===
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br>
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br>
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br>
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br>
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|3=Kurzinfo}}
|3=Kurzinfo}}


====Lineare Funktionen: Gleichung und Graph====
===Lineare Funktionen: Gleichung und Graph===
{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.<br>
{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.<br>
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
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|Kurzinfo}}
|Kurzinfo}}


{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen|* Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen|* Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
* Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.|Merksatz}}
* Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.|Merksatz}}
{{#ev:youtube|XSqoULEHbe0|800|center}}
{{#ev:youtube|XSqoULEHbe0|800|center}}
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[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]</div>
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]</div>
</div>
</div>
<br>
{{Box|Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
{{Box|Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="grid">
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</div>
</div>


{{Lösung versteckt|1=Du kannst auch mithilfe von zwei Punkte die Gerade zeichnen bzw. die Funktionsgleichung bestimmen. Wie dur vorgehst, zeigt das Video.<br>
{{#ev:youtube|bE-yJzIqeIU|800|center}}|2=Erweiterung: Zwei-Punkteform der Geradengleichung|3=Verbergen}}


====Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen====
===Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen===
{{Box|Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte|Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:
* Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
* Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)|Merksatz}}
<big>Beispiel 1: Punkt-Steigungsform</big><br>
geg: m = -1 und P(2&#124;3)<br>
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion<br>
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.<br>
f(x) = mx + b &nbsp;&nbsp;&#124;m=-1 und P(2&#124;3) einsetzen<br>
3 = -1·2 + b &nbsp;&nbsp;&#124;vereinfachen<br>
3 = -2 + b &nbsp;&nbsp;&#124;+2<br>
5 = b<br>
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.<br>
<br>
<big>Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form </big><br>
geg: P(1&#124;5) und Q(3&#124;1)<br>
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion<br>
Bestimme die Steiung m: m = <math>\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> = <math>\tfrac{1-5}{3-1} </math> = <math>\tfrac{-4}{2} </math> = -2<br>
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.<br>
f(x) = mx + b &nbsp;&nbsp;&#124;m=-2 und P(1&#124;5) einsetzen<br>
5 = -2·1 + b &nbsp;&nbsp;&#124;vereinfachen<br>
5 = -2 + b &nbsp;&nbsp;&#124;+2<br>
7 = b<br>
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.<br>
{{Lösung versteckt|1=Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.
[[Datei:Zwei-Punkte-Form von f(x)=-2x+7.png|rahmenlos|619x619px]]|2=Bild zur Bestimmung von m (Funktionsgraph)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
{{#ev:youtube|bE-yJzIqeIU|800|center}}|2=Video: Zwei-Punkteform der Geradengleichung|3=Verbergen}}
 
===Lineare Funktionen: Punktprobe===
{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}}
{{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}
 
 
===Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen===
{{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.  
{{Box|1=Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.  


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[[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
[[Datei:Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}
====Lineare Funktionen: Punktprobe====
{{Box|1=Punktprobe|2=Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.|3=Merksatz}}
{{LearningApp|app= ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}




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* S. 122, P2 - P9
* S. 122, P2 - P9
* S. 150, Nr. 3-6|Üben}}
* S. 150, Nr. 3-6|Üben}}
===Quadratische Funktionen===
{{Box|1=Quadratische Funktionen|2=Es gibt verschiedene Formen quadratischer Funktionen.
* Normalform: f(x) = x²
* Scheitelpunktform: f(x) = a(x + d)² + e mit S(-d&#124;e)
* allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
|3=Merksatz}}
====Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen====
[[Datei:Übersicht Darstellungsformen quadratischer Funktionen.png|rahmenlos|800x800px]]
{{Box|1=Scheitelpunktform|2=Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen lautet f(X) = a(x + d)² + e. Wir haben die Bedeutung der Parameter a(nton), d(etlef) und e(mil) erarbeitet. Wende dein Wissen in den nachfolgenden Übungen an.|3=Üben}}
{{LearningApp|app=2767802|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pq6e32wtk20|width=100%|height=400px}}
====Quadratische Funktionen: Scheitelpunktform und Normalform====
Du kannst die Formen der Quadratischen Funktionen umwandeln:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Von der Scheitelpunktform zur Normalform
{{#ev:youtube|TqLEqrbmRcU|420|center}}
Beispiel:<br>
f(x) = (x + 3)² - 4 &nbsp;&#124;1. binomische Formel<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 2·x·3 + 3² - 4<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 6x + 9 - 4<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 6x + 5<br>
Die Normalform eignet sich gut zur Nullstellenberechnung, denn hier kannst du die p-q-Formel anwenden.
</div>
<div class="width-1-2">Von der Normalform zur Scheitelpunktform
{{#ev:youtube|ZS3ktdMePpQ|420|center}}
Beispiel:<br>
f(x) = x² + 8x - 4 &nbsp;&nbsp;&#124;quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{8}{2} \right )^2</math>= 4² = 16<br>
&nbsp;&nbsp; = x² + 8x + 16 - 16 - 4 &nbsp;&#124;1. binomische Formel<br>
&nbsp;&nbsp; = (x + 4)² - 16 - 4 <br>
&nbsp;&nbsp; = (x + 4)² - 20<br>
Also lautet der Scheitelpunkt S(-4&#124;-20)<br>
Möchtest du anhand der Funktionsgleichung den Scheitelpunkt ablesen, wandle diese also in die Scheitelpunktform um.</div>
</div>
====Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen====
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. <br> Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen:<br>
[[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]]<br>
{{Box|Übung: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
|Üben}}
{{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
|-
|eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
|-
|zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
|}
</div>
{{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen|2=Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse, also gilt immer '''f(x) = 0'''.
Du erhältst also immer eine quadratische Gleichung (rein quadratisch oder gemischt quadratisch). Wie du diese löst, hast du im 1. Themenblock erarbeitet, es sind zur Wiederholung jeweils Beispiele notiert.|3=Merksatz}}
<u><big>1. Form: f(x) = ax² </big></u><br>
Beispiel: f(x) = 3x²<br>
f(x) = 0<br>
3x² = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;:3<br>
x² = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
x = 0 <br>
N(0&#124;0)<br>
Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0&#124;0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.
<u><big>2. Form: f(x) = ax² + c </big></u>
Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8<br>
f(x) = 0<br>
0,5x² - 8 = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;+8<br>
0,5x² = 8 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;:0,5<br>
x² = 16 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
x<sub>1</sub> = - <math>\sqrt{16}</math> und x<sub>2</sub> = + <math>\sqrt{16}</math><br>
x<sub>1</sub> = -4 und x<sub>2</sub> = +4
<br>
N<sub>1</sub>(-4&#124;0) und N<sub>2</sub>(4&#124;0)<br>
<u><big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big></u>
Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18<br>
f(x) = 0<br>
2(x + 2)² - 18 = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;+18<br>
2(x + 2)² = 18 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;:2<br>
(x + 2)² = 9 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
x<sub>1</sub> + 2 = - <math>\sqrt{9}</math> &nbsp;&nbsp; und x<sub>2</sub> + 2 = + <math>\sqrt{9}</math><br>
x<sub>1</sub> + 2 = -3  und x<sub>2</sub> + 2 = 3 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;-2<br>
x<sub>1</sub> = - 3 - 2 &nbsp;&nbsp; und x<sub>2</sub> = + 3 - 2  <br>
x<sub>1</sub> = -5 und x<sub>2</sub> = 1 <br>
N<sub>1</sub>(-5&#124;0) und N<sub>2</sub>(1&#124;0)<br>
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1).<br>
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2&#124;-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.
<u><big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q </big></u><br>
Lösung mit der p-q-Formel:<br>
Normalform: f(x) = x² + px + q<br>
x² + px + q = 0<br>
x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math><br>
Beispiel: f(x) = x² -6x + 5<br>
f(x) = 0<br>
x² - 6x + 5 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124; pq-Formel mit p=-6 und q=5<br>
x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = 3<math> \pm </math>2<br>
x<sub>1</sub> = 3 - 2 = 1 ; x<sub>2</sub> = 3+2 = 5
N<sub>1</sub>(1&#124;0) und N<sub>2</sub>(5&#124;0)<br>
{{Lösung versteckt|1=<u><big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big></u>
Beispiel: f(x) = x² -6x + 5<br>
f(x) = 0<br>
x² - 6x + 5 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124; quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math><br>
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124; 2. binomische Formel <br>
(x - 3)² - 9 + 5 = 0 <br>
(x - 3)² - 4 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124; nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4<br>
(x - 3)² = 4 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
x<sub>1</sub> - 3 = -2  und x<sub>2</sub> - 3 = 2 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;+3<br>
x<sub>1</sub> = -2 + 3 &nbsp;&nbsp; und x<sub>2</sub> = 2 + 3  <br>
x<sub>1</sub> = 1 und x<sub>2</sub> = 5 <br>
N<sub>1</sub>(1&#124;0) und N<sub>2</sub>(5&#124;0)<br>|2=Lösung mit quadratischer Ergänzung|3=Verbergen}}
<u><big>5. Form: allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c </big></u><br>
Wandle zunächst in die Normalform um.<br>
Wende dann wieder die p-q-Formel an.<br>
Beispiel: f(x) = 2x² + 12x + 10<br>
f(x) = 0<br>
2x² + 12x + 10 = 0 &nbsp;&nbsp;&#124;:2 (Ziel: Normalform)<br>
x² + 6x + 5 = 0&nbsp;&nbsp;&#124; pq-Formel mit p=6 und q=5<br>
x<sub>1/2</sub> = -<math>\tfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{6}{2} \right )^2-5}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = -3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = -3 <math>\pm \sqrt{4}</math><br>
x<sub>1/2</sub> = -3<math> \pm </math>2<br>
x<sub>1</sub> = -3 - 2 = -5 ; x<sub>2</sub> = -3+2 = -1
N<sub>1</sub>(-5&#124;0) und N<sub>2</sub>(-1&#124;0)<br>
====Quadratische Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen====
{{Box|1=Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen|2=Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufzustellen, musst du wissen, wie groß a, d und e sind. Du brauchst also
* den Scheitelpunkt S(-d&#124;e) und
* einen weiteren Punkt auf der Parabel, um den Streckungsfaktor a zu bestimmen.
Mit den Werten kannst die dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angeben.|3=Merksatz}}
Beispiel:<br>
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(0&#124;-3) und geht durch den Punkt P(2&#124;-2).<br>
f(x) = a(x + d)² + e &nbsp;&nbsp;&#124;Setze für d=0 und e=-3 ein<br>
f(x) = a(x - 0) + (-3)<br>
f(x) = ax² - 3 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;Setze die Koordinaten des Punkte P ein (Punktprobe)<br>
-2 = a·2² - 3 <br>
-2 = 4a - 3 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;+3<br>
1 = 4a &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#124;:4<br>
<math>\tfrac{1}{4}</math> = a<br>
Also lautet die Funktionsgleichung der Parabel f(x) = <math>\tfrac{1}{4}</math>x² - 3.
===Modellieren - Anwendungsaufgaben===
Es gibt besondere Punkte, die in Anwendungen immer wieder von Bedeutung sind:
*Scheitelpunkt
*Nullstellen
*Schnittpunkt mit der y-Achse
*Koordinaten eines beliebigen Punktes
Verwende zur Lösung der Aufgabe die verschiedenen Darstellungsformen und die wiederholten Methoden zur Berechnung der verschiedenen besonderen Punkte.
{{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.
* S. 123, P12 - P16
* AB Quadratische Funktionen - Anwendungsaufgaben|Üben}}

Aktuelle Version vom 4. Juli 2023, 06:13 Uhr

Schullogo HLR.jpg


Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag

Funktionen

Funktionen
Darstellungen von Funktionen.png
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
  • als Text
  • als Wertetabelle
  • als Funktionsgleichung
  • als Graph


Funktionen
Orientiere dich in der Formelsammlung! (S.5)

Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?

y = 5x + 2
y = 2x + 5
y = 5x + 5
y = 2x + 2

2 4 Gläser Apfelschorle kosten 6 €. Wie viel kosten dann 7 Gläser Apfelschorle?

10€
10,50€
11 €
11,50€

3 Eine zylinderförmige Vase wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? (Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen?)

Füllgraphen.jpg

A
B
C
D

4 Das Bild zeigt den Graphen einer linearen Funktion f(x) = mx + b. Welche Aussage ist richtig?

Gerade m negativ, b positiv.png

m > 0 und b > 0
m < 0 und b > 0
m < 0 und b < 0
m > 0 und b < 0

5 Für eine lineare Funktion f(x) = mx + b mit m > 0 und b < 0 gilt...

Die Gerade fällt.
Die Gerade steigt.
Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich.
Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich.

6 Welche Gleichung passt zum Geraden?

F(x) = 2x+3.png

f(x) = 2x + 3
f(x) = 3x + 2
f(x) = + 3
f(x) = + 2

7 Wie lautet die Gleichung der proportionalen Funktion g(x), die parallel zu f(x) = -2x + 3 verläuft?

g(x) = 2x + 3
g(x) = 2x - 3
g(x) = -2x
g(x) = -2x -3

8 Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt P(-1|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

y = -1x + 3
y = 3x - 1
y = 2x + 3
y = 2x + 5

9 Eine Gerade geht durch die Punkte P(0|1) und Q(4|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

y = x + 1
y = 4x + 3
y = 1x
y = 1x + 3

10 Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.

Ja
Nein

11 Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.

x = 5
x = 2
x = 2,5
x = -2,5

12 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...

hat keine Nullstelle
schneidet die x-Achse bei x = 2
hat die Steigung 6
enthält den Punkt (-1|9)


Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

  • Lineare Funktionen erkennen 1-4
  • Gleichung - Graph Nr. 5-7
  • Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9
  • Punktprobe Nr. 10
  • Nullstellen Nr. 11


Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch, vergleiche deine Lösungen. Nutze zur Wiederholung die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.

  • Lineare Funktionen erkennen: S. 150, Nr. 1,2
  • Lineare Funktionen zeichnen: S. 150, Nr. 3,4
  • Gleichung - Graph: S. 150, Nr. 5,6 und S. 122, P2 - 4
  • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S. 122, P5 - 6
  • Punktprobe: S. 122(123, P7 - P10


Lineare Funktionen erkennen

Lineare Funktionen erkennen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Lineare Funktionen erkennen:

Lineare Funktionen erkennen Zusammenfassung.png

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).


Übung: Lineare Funktionen erkennen
Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.


Lineare Funktionen: Wertetabelle

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x 0 1 2 3 4 ...
y 5 7 9 11 13 ...

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."
F(x)=2x+5 mit Punkten.png


Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen
  • Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
  • Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.

Beispiele:

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png

Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png


Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden
Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.
leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)



Lineare Funktionen: Graph zeichnen
  • Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
  • Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
  • Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.

Schritt 1Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png
Schritt 2Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png
Schritt 3Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png


Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte

Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:

  • Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
  • Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)

Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b   |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b   |vereinfachen
3 = -2 + b   |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.

Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = = = = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b   |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b   |vereinfachen
5 = -2 + b   |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.

Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.

Zwei-Punkte-Form von f(x)=-2x+7.png

Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.


Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

Py (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (xNI0)

Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

  • S. 122, P2 - P9
  • S. 150, Nr. 3-6