Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kegel: Unterschied zwischen den Versionen
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Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt. | Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt. | ||
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Originallink https://www.geogebra.org/m/XnTH43Qa | |||
<ggb_applet id="XnTH43Qa" width="700" height="880" border="888888" /> | <ggb_applet id="XnTH43Qa" width="700" height="880" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Martin Putzlocher</small> | |||
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===1) Merkmale von Kegeln=== | ===1) Merkmale von Kegeln=== | ||
{{Box|Merkmale von Kegeln|2= | {{Box|Merkmale von Kegeln|2= | ||
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{{Box|Übung 1|Zeichne das Schrägbild, wie im Video erklärt. Buch | {{Box|Übung 1|Zeichne das Schrägbild, wie im Video erklärt. Buch | ||
* S. 43 Nr. 7|Üben}} | * S. 43 Nr. 7|Üben}} | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN | |||
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<ggb_applet id="HXWSPGTN" width="1044" height="696" border="888888" /> | <ggb_applet id="HXWSPGTN" width="1044" height="696" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Andreas Lindner</small> | |||
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{{Box|Netz eines Kegels|Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.<ref>https://www.zum.de/dwu/mkb114vs.htm</ref>|Lösung|Icon=brainy hdg-scissors}} | {{Box|Netz eines Kegels|Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.<ref>https://www.zum.de/dwu/mkb114vs.htm</ref>|Lösung|Icon=brainy hdg-scissors}} | ||
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{{Box|Übung 2| Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.|Üben}}<br> | {{Box|Übung 2| Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.|Üben}}<br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/JMBakasy | |||
<ggb_applet id="gATMx9BT" width="945" height="700" border="888888" /><br> | <ggb_applet id="gATMx9BT" width="945" height="700" border="888888" /><br> | ||
===3) Oberfläche von Kegeln=== | ===3) Oberfläche von Kegeln=== | ||
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|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.) | Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.) | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/n8f5hnqb | |||
<br><ggb_applet id="J866RgCb" width="883" height="518" border="888888" /> | <br><ggb_applet id="J866RgCb" width="883" height="518" border="888888" /> | ||
<ggb_applet id="HXWSPGTN" width=" | <small>Applet von Wolfgang Wengler</small> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN | |||
<ggb_applet id="HXWSPGTN" width="1044" height="696" border="888888" /> | |||
<small>Applet von Andreas Lindner</small> | |||
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{{Lösung versteckt|1=M= A<sub>Kreisausschnitt</sub> (mit dem Radius s)<br> | {{Lösung versteckt|1=M= A<sub>Kreisausschnitt</sub> (mit dem Radius s)<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kegel Herleitung Formel Oberfläche 3.png|rahmenlos]]|2=Tipp 3 zur Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br> | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Kegel Herleitung Formel Oberfläche 3.png|rahmenlos]]|2=Tipp 3 zur Herleitung der Formel|3=Verbergen}}<br> | ||
<br> | <br> | ||
Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird. | Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird. <br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/sfazkjgc<br> | |||
<ggb_applet id="sfazkjgc" width="2200" height="2000" border="888888" /> | <ggb_applet id="sfazkjgc" width="2200" height="2000" border="888888" /> | ||
Applet von Buß-Haskert | Applet von Buß-Haskert | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|1=Oberfläche eines Kegels|2=Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.<br> | {{Box|1=Oberfläche eines Kegels|2=Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.<br> | ||
O = G + M<br> | <big><big>'''O = G + M'''</big></big><br> | ||
= 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s|3=Arbeitsmethode}} | <big> = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s</big>|3=Arbeitsmethode}} | ||
Wende zur Berechnungen der Längen r, h<sub>K</sub> oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h<sub>K</sub> und der Hypotenuse s an.<br> | Wende zur Berechnungen der Längen r, h<sub>K</sub> oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h<sub>K</sub> und der Hypotenuse s an.<br> | ||
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{{Box|Volumen des Kegels|Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.|Arbeitsmethode}} | {{Box|Volumen des Kegels|Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.|Arbeitsmethode}} | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/hwAXUV3B | |||
<ggb_applet id="hwAXUV3B" width="992" height="580" border="888888" /> | <ggb_applet id="hwAXUV3B" width="992" height="580" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Wolfgang Wengler</small> | |||
<br> | <br> | ||
Originallink https://www.geogebra.org/m/P7dYRTb8 | |||
<ggb_applet id="P7dYRTb8" width="830" height="550" border="888888" /> | <ggb_applet id="P7dYRTb8" width="830" height="550" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Andreas Lindner</small> | |||
<br> | <br> | ||
{{Box|1=Volumen eines Kegels|2=Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h<sub>K</sub> wird berechnet mit | {{Box|1=Volumen eines Kegels|2=Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h<sub>K</sub> wird berechnet mit<br> | ||
< | <big><big>'''V = <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub>'''</big></big><br> | ||
= <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙𝞹∙r²∙h<sub>K</sub><br>|3=Arbeitsmethode}} | <big> = <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙𝞹∙r²∙h<sub>K</sub></big><br>|3=Arbeitsmethode}} | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|Übung 5|Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. | {{Box|Übung 5|Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. | ||
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<br> | <br> | ||
===Anwendungsaufgaben=== | ===Anwendungsaufgaben=== | ||
{{Box|Übung 7| | {{Box|Übung 7|Wähle aus den Aufgaben so aus, dass du mindestens 6 Punkte sammelst. | ||
* S. 51 Nr. 6 ** | * S. 51 Nr. 6 ** | ||
* S. 51 Nr. 8 * | * S. 51 Nr. 8 * | ||
* S. 51 Nr. 9 | * S. 51 Nr. 9 * | ||
* S. 53 Nr. 6 ** | * S. 53 Nr. 6 ** | ||
* S. 53 Nr. 7 *** | * S. 53 Nr. 7 *** | ||
* S. 53 Nr. 8 * | * S. 53 Nr. 8 * | ||
* S. 53 Nr. 9 **|Üben}} | * S. 53 Nr. 9 ** | ||
* S. 63 Nr. 12 ** | |||
* S. 63 Nr. 13 ***|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme mithilfe des Mauerumfangs den Radius des Zylinders (Turm) r.<br> | {{Lösung versteckt|1=Bestimme mithilfe des Mauerumfangs den Radius des Zylinders (Turm) r.<br> | ||
Das Dach steht 30 cm über, also gilt r<sub>Dach</sub> = r + 0,3.<br> | Das Dach steht 30 cm über, also gilt r<sub>Dach</sub> = r + 0,3.<br> | ||
Bestimme s mithilfe des Satzes von Pythagoras (rechtwinkliges Teildreieck).|2=Tipp zu S. 51 Nr. 6|3=Verbergen}} | Bestimme s mithilfe des Satzes von Pythagoras (rechtwinkliges Teildreieck).|2=Tipp zu S. 51 Nr. 6|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Mantelfläche. Dazu berechne mit dem Satz von Pythagoras die Länge der Mantellinie s. Skizziere dazu das Teildreieck und beschrifte es vollständig.|2= Tipp zu S. 51 Nr. 8a|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Bestimme die Mantelfläche. Dazu berechne mit dem Satz von Pythagoras die Länge der Mantellinie s. Skizziere dazu das Teildreieck und beschrifte es vollständig.|2= Tipp zu S. 51 Nr. 8a|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=G = M und p<sup>+</sup>% = 103% = 1,03<br> | {{Lösung versteckt|1=<u>W</u>ie <u>g</u>eht <u>P</u>rozentrechung?<br> | ||
W = G · p%. <br> | |||
geg: G = Mantelfläche; p% = 3% (=0,03 als Dezimalbruch).<br> | |||
Berechne, wie viel Material hinzugegeben werden muss (W), und addiere dann W + G = G<sup>+</sup><br> | |||
Oder berechne sofort G<sup>+</sup><br> | |||
G = M und p<sup>+</sup>% = 103% = 1,03<br> | |||
G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%|2=Tipp zu S. 51 Nr. 8b|3=Verbergen}} | G<sup>+</sup> = G ∙ p<sup>+</sup>%|2=Tipp zu S. 51 Nr. 8b|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Mantelfläche M des Kegels. Dazu benötigst du die Länge der Mantellinie s (Satz des Pythagoras).|2=Tipp zu S. 51 Nr. 9|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Bestimme die Mantelfläche M des Kegels. Dazu benötigst du die Länge der Mantellinie s (Satz des Pythagoras).|2=Tipp zu S. 51 Nr. 9|3=Verbergen}} | ||
Zeile 222: | Zeile 244: | ||
Bestimme das Volumen eines Kegels mit den angegebenen Maßen.<br> | Bestimme das Volumen eines Kegels mit den angegebenen Maßen.<br> | ||
Die Dichte des Holzes beträgt 450 <math>\tfrac{\text{kg}}{\text{m³}}</math>, also wiegt 1m³ 450 kg.|2=Tipp zu S. 53 Nr. 6|3=Verbergen}} | Die Dichte des Holzes beträgt 450 <math>\tfrac{\text{kg}}{\text{m³}}</math>, also wiegt 1m³ 450 kg.|2=Tipp zu S. 53 Nr. 6|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Bestimme V<sub>1</sub> und V<sub>2</sub>.<br>Für die benötigte Zeit betrachte das Verhältnis von <math>\tfrac{V2}{V1}</math> = ...<br>Die dementsprechend vielfache Zeit wird dann benötigt.|2=Tipp zu S. 53 Nr. 7|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Bestimme V<sub>1</sub> und V<sub>2</sub>.<br>Für die benötigte Zeit betrachte das Verhältnis von <math>\tfrac{V2}{V1}</math> = ...<br>Die dementsprechend vielfache Zeit wird dann benötigt. | ||
[[Datei:SP10 S. 53 Nr. 7 Tipp.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu S. 53 Nr. 7|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=1. Bestimme das Volumen des Gewürzkegels. Entnimm die Maße dem Bild im Buch.<br> | {{Lösung versteckt|1=1. Bestimme das Volumen des Gewürzkegels. Entnimm die Maße dem Bild im Buch.<br> | ||
2. Bestimme das Volumen einer zylindrischen Dose.<br> | 2. Bestimme das Volumen einer zylindrischen Dose.<br> | ||
3. Wie viele Dosen können befüllt werden?|2=Tipp zu S. 53 Nr. 8|3=Verbergen}} | 3. Wie viele Dosen können befüllt werden?|2=Tipp zu S. 53 Nr. 8|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Kegeln unterschiedlicher Höhe.<br>Die Dichte von 7,8 <math>\tfrac{g}{\text{cm³}}</math> gibt an, dass 1cm³ 7,8g wiegt.|2=Tipp zu S. 53 Nr. 9|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Kegeln unterschiedlicher Höhe.<br>Die Dichte von 7,8 <math>\tfrac{g}{\text{cm³}}</math> gibt an, dass 1cm³ 7,8g wiegt.|2=Tipp zu S. 53 Nr. 9|3=Verbergen}} | ||
<br> | {{Lösung versteckt|1=Skizziere den Böschungswinkel von 45°. Welche Zusammenhang zwischen Höhe und Radius fällt dir auf?<br>|2=Tipp zur Nr. 12|3=Verbergen}} | ||
{{ | {{Lösung versteckt|1=3 Minuten sind die Hälfte der Zeit, also muss die Hälfte des Volumens durch die Sanduhr gerieselt sein. <br>Das Verhältnis von Radius zur Höhe bleibt gleich (Strahlensatz), also r = 1 cm und h<sub>K</sub> = 3; r = <math>\tfrac{1}{3}</math>h<sub>K</sub>.|2=Tipp zu Nr. 13|3=Verbergen}} | ||
<br> | <br> | ||
{{Box|Jetzt bist du dran...|[[File:Buddenturm in Münster.JPG|Buddenturm in Münster|rechts|rahmenlos]]Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.<br> | {{Box|Jetzt bist du dran...|[[File:Buddenturm in Münster.JPG|Buddenturm in Münster|rechts|rahmenlos]]Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.<br> |
Aktuelle Version vom 19. Februar 2025, 14:36 Uhr
2) Kegel
In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!
. . . .
. . . .
. . . .
Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
Originallink https://www.geogebra.org/m/XnTH43Qa

Applet von Martin Putzlocher
1) Merkmale von Kegeln
Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.

von T.Weiss
2) Schrägbild und Netz von Kegeln
Das Video zeigt dir, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest:
Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

Applet von Andreas Lindner
Originallink https://www.geogebra.org/m/JMBakasy

3) Oberfläche von Kegeln
Die Grundfläche ist ein und die Mantelfläche hat die Form eines .
Formel: = + .
KreisausschnittesMKreisGGrundflächenOMantelfläche
Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.) Originallink https://www.geogebra.org/m/n8f5hnqb

Applet von Wolfgang Wengler Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

Applet von Andreas Lindner
Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird.
Originallink https://www.geogebra.org/m/sfazkjgc

Applet von Buß-Haskert
Wende zur Berechnungen der Längen r, hK oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und hK und der Hypotenuse s an.
Beispiel:
4) Volumen von Kegeln
Experimentelle Bestimmung der Volumenformel des Kegels
Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen eines Kegels aufgestellt.
Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? _____
Also gilt:
VZylinder = ___∙ VKegel |umstellen nach VKegel
VKegel =___∙ VZylinder
Originallink https://www.geogebra.org/m/hwAXUV3B

Applet von Wolfgang Wengler
Originallink https://www.geogebra.org/m/P7dYRTb8

Applet von Andreas Lindner
Anwendungsaufgaben
Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kegel.