Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kugel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 8. März 2025, 05:50 Uhr

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Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

3) Kugel

1) Volumen

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Kugel

Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen ein offener Zylinder und eine Kugel. Die Höhe des Zylinders und der Durchmesser der Grundfläche stimmt mit dem Durchmesser der Kugel überein.
Durchführung des Experiments: (Für den Unterricht auf Distanz habe ich unten das Experiment für dich durchgeführt und gefilmt. Schau dir das Video an.)

Fülle den Zylinder vollständig mit Wasser.
Tauche die Kugel in den Zylinder.
Schätze, welcher Bruchteil des Wassers durch die Kugel verdrängt wurde.

Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kugel und Zylinder?

Hinweis anzeigen

Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinder wurde durch die Kugel verdrängt? _____

Also gilt:
V_Kugel = ___∙ V_Zylinder |
Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein.
Beachte, dass h_Zylinder = 2r.
Leite so die Formel für das Kugelvolumen her.

Tipp 1

Welcher Bruchteil des Wassers wurde verdrängt?

\tfrac{2}{3}

Tipp 2

\tfrac{2}{3}

des Wassers wurden verdrängt. Also gilt V_Kugel =

\tfrac{2}{3}

∙ V_Zylinder

Tipp 3

V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$ ∙ V_Zylinder

=

\tfrac{2}{3}

∙ G ∙ h mit h = 2r

Tipp 4

V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$ ∙ G ∙h_K mit h = 2r
V_Kugel = $\tfrac{2}{3}$ ∙ $\pi$ r² ∙ h_K   |h = 2r
    = $\tfrac{2}{3}$ · 𝞹 r² · 2r
    = $\tfrac{2}{3}$ · 2 ·𝞹 r² · r

=

\tfrac{4}{3}

· 𝞹 · r³

Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt.

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit

V = $\tfrac{4}{3}$ ·𝞹 · r³

Übung 1

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

S. 54 Nr. 1
S. 54 Nr. 2

Umstellen der Volumenformel nach r

Umstellen der Volumenformel nach r:
V = $\tfrac{4}{3}$ ·𝞹 · r³   |· 3
3·V = 4 · 𝞹 · r³   |: (4𝞹)
$\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}$ = r³   | $\sqrt[3]{}$

\sqrt[3]{\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}}

= r Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

2) Oberfläche

Kugeln haben eine gekrümmte Oberfläche, man kann sie nicht in der Ebene abwickeln. Daher leiten wir die Formel durch Annäherung her:

Das nachfolgende GeoGebra-Applet veranschaulicht die Herleitung der Formel für die Oberfläche einer Kugel. Erkläre!

Wir zerlegen die Kugel in viele kleine Pyramiden, deren Grundflächen die Oberfläche der Kugel bilden.

Damit lässt sich die Oberflächenformel herleiten:

Oberfläche einer Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:

O = 4𝞹r²

Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:

Übung 2

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

S. 56 Nr. 1
S. 56 Nr. 2
S. 57 Nr. 3
S. 57 Nr. 4
S. 57 Nr. 5
S. 57 Nr. 6

Umstellen der Oberflächenformel nach r

Umstellen der Oberflächenformel nach r:
O = 4𝞹r² |:(4𝞹)
$\tfrac{O}{\text{4𝞹}}$ = r² | $\surd$

\sqrt{\tfrac{O}{\text{4𝞹}}}

= r Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Radius r.

Tipp zu S.57 Nr. 3

3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben).
Lösung: r $\approx$ 2,4 cm.
Berechne dann V mit dem berechneten Radius.
Lösung: V $\approx$ 57,9 cm³.

3c) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.

Tipp zu S.57 Nr. 4

a) Bild 1: 1 Kugel mit r=8cm (da d=h=16cm) O = 4 $\pi$ r² $\approx$ 804,2 cm²
Bild 2: O_gesamt = 8 ∙ O_Kugel mit r=4cm.
Bild 3: O_gesamt = 64 ∙ O_Kugel mit r=2cm
...
b) Bild 1: V = $\tfrac{4}{3}\pi$ r³ mit r=8cm; V $\approx$ 2144,7 cm³.
Gewicht: m = Dichte ∙ Volumen = 0,2 ∙ 2144,7 = 4289,9 (g)

Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?

Hinweise zur Dichte

Dichte = $\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
$\rho$ = $\tfrac{m}{V}$ |∙V
$\rho$ ∙ V = m

also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.

Tipp zu S.57 Nr. 5

Stelle dir die Aufgabe vor: Du hast einen Würfel aus Knete mit der Kantenlänge a=10cm. Nun formst du diese Knete zu einer Kugel. Was bleibt gleich?
Das Volumen!
Bestimme zunächst das Volumen des Würfels, dieses ist dann das Volumen der Kugel. Stelle dann die Volumenformel der Kugel nach r um (s. oben) und bestimme so r. (Lösung: r=6,2cm)
b) Berechne die Oberfläche des Würfels und der Kugel und vergleiche. Gib den Unterschied auch prozentual an:

p%=

\tfrac{W}{G}

\tfrac{\text{Differenz der Oberflächen}}{\text{Oberfläche des Würfels}}

=

\tfrac{\text{116,9}}{\text{600}}

\approx

19,5%

Tipp 1 zu Nr. 6a

Tipp 2 Nr. 6

a)V₁ = $\tfrac{4}{3}\pi$ r³
V₂ = $\tfrac{4}{3}\pi$ (2r)³ = $\tfrac{4}{3}\pi$ 8r³ = 8 ∙ $\tfrac{4}{3}\pi$ r³ = 8 ∙ V₁
usw.

b) Berechne mit Beispielwerten jeweils den Radius.

Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgabe

Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden.

a) Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?
b) Wie groß ist das Volumen dieser Kugel?

c) Wie viel Prozent Abfall entsteht?

Tipp zu a) und b)

Tipp zu c)

Lösung in a) V_Kugel = 65,45 (cm³);
V_Würfel= a³ = 5³ = 125 (cm³)
Abfall: V_Würfel - V_Kugel = ... = 59,55(cm³)

p% =

\tfrac{W}{G} = \tfrac{59,55}{125}

≈ 0,476 = 47,6%

Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne.

S. 55, Nr. 3a *
S. 55, Nr. 4 *
S. 55, Nr. 5 **
S. 55, Nr. 6 ***
S. 55, Nr. 7 *
S. 55, Nr. 8 *
S. 55, Nr. 9 **
S. 55, Nr. 10 a,b **(mit c) sind es ***)
S. 55, Nr. 11 *
S. 57, Nr. 7 **
S. 57, Nr. 9 **
S. 57, Nr. 10 **
S. 57, Nr. 11 **
S. 57, Nr. 12 ***

Hinweise zur Dichte

Dichte = $\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}$
$\rho$ = $\tfrac{m}{V}$ |∙V
$\rho$ ∙ V = m

also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.

Tipp zu S.55 Nr. 3

r_{kleine Murmel}= 8mm (denn d = 16mm); r_{große Murmel} = 14mm (denn d = 28mm)
V = 18∙V_{kleine Murmel} + V_{große Murmel} = ... $\approx$ 50097,9 mm³ $\approx$ 50,1 cm³

Gewicht = V ∙ 3,2 = ...

Tipp zu S. 55 Nr. 4

Tipp zu S.55 Nr. 5

Die Tür des Klassenzimmers ist 1m breit, also beträgt der Durchmesser der Kugel ebenfalls 1m. Also gilt r=0,5m = 50cm.
Bestimme V (in cm³) und multipliziere das Ergebnis mit 0,1g (pro cm³).

Lösung: Gewicht m = 52359,9g

\approx

52,4 kg.
Sie ist nur schwer anzuheben.

Tipp zu S.55 Nr. 6

Der Tipp im Buch gibt vor, zunächst mit konkreten Zahlen zu rechnen und danach erst mit Variablen. Besonders leicht kannst du rechnen, wenn du h=1cm und d=2cm, also r=1cm wählst. Der Inhalt der Gläser bedeutet mathematisch das Volumen. Es handelt sich um eine halbe Kugel, einen Kegel und einen Zylinder.
V_Halbkugel = $\tfrac{1}{2}$ ∙ V_Kugel = $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$ r³ = $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$ 1³ $\approx$ 2,09 (cm³)
V_Kegel = $\tfrac{1}{3}\pi$ r²h = $\tfrac{1}{3}\pi$ 1²∙1 $\approx$ 1,05 (cm³)
V_Zylinder = $\pi$ r²h = $\pi$ 1²∙1 $\approx$ 3,14(cm³)
Es gilt also V_Halbkugel + V_Kegel = V_Zylinder
Rechnen nun nur mit den Variablen (r und h bleiben also stehen):
V_Halbkugel + V_Kegel
= $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$ r³ + $\tfrac{1}{3}\pi$ r²h mit r = h
= $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi$ r³ + $\tfrac{1}{3}\pi$ r³
= ( $\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} + \tfrac{1}{3}$ ) $\pi$ r³
= 1 $\pi$ r³
Dies entspricht dem Volumen des Zylinders, wenn du auch hier r = h einsetzt:
V_Zylinder = V_Zylinder = $\pi$ r²h mit r = h
= $\pi$ r²∙r

=

\pi

r³

Tipp zu S.55 Nr. 7

Tipp zu S.55 Nr. 8

geg: Halbkugel, d=18cm, also r = d:2 = 9cm
ges: V; Ist V $\geq$ 1l; 1l = 1dm³

Falls du das Volumen in cm³ berechnet hast, musst du es noch in dm³ umwandeln, 1000cm³ = 1dm³

Tipp zu S.55 Nr. 9

Tipp zu S.55 Nr. 10

a) Gehe davon aus, dass die Kugel maximal 1kg wiegen sollte.
b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ ρ
(Lösung: ca. 2,2 kg)
c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = $\tfrac{m}{ρ}$
(Lösung V $\approx$ 51,8 cm³)
Eine Hohlkugel kannst du dir vorstellen, wie zwei Kugeln, die ineinander liegen, wobei von der äußeren Kugel die innere abgezogen wird.
Der Radius der äußeren Kugel soll 3cm (d=6cm) betragen. Nun muss du also den Radius der inneren Kugel bestimmen, wobei du weißt dass V_Hohlkugel = V_{äußere Kugel} - V_{innere Kugel} = 51,8

(Lösung: r_{innere Kugel} = 0,55cm = 5,5mm

Tipp zu S.55 Nr. 11

geg: 1 Mio Stahlkugeln; d=1mm, also r=0,5mm; Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \roh} = 7,8 g/cm³
ges: Gewicht aller Kugeln

Bestimme also zunächst das Volumen V einer Kugel und ihr Gewicht. Danach berechne das Gesamtgewicht und entscheide, welches Fahrzeug benötigt wird. (Lösung m

\approx

4,1kg)

Tipp zu S.57 Nr. 7

Tipp zu S.57 Nr. 9

geg: u₁ = 74,9cm; u₂ = 78,0cm
ges: Oberfläche von 1000 Bällen mindestens und höchstens mit 25% Verschnitt
Bestimme zunächst mit den Umfängen den kleinstmöglichen Radius r₁ und den größtmöglichen Radius r₂ eines Balls; Stelle dir dazu die Schnittfläche vor, wenn du den Ball halbierst, es ist ein Kreis.
Erinnerung: u = 2 $\pi>$ r
Bestimme danach die jeweilige Oberfläche und multipliziere das Ergebnis mit 1000.
Verschnitt: Du möchtest das Material nach Abzug des Verschnittes zur Verfügung haben, entspricht das Material dem vermehrten Grundwert G⁺ mit p⁺% = 1 + 0,25 = 1,25. Bestimme den Grundwert G mit G = $\tfrac{\text{G+}}{\text{p+%}}$

(Die Berechnungen zum Verschnitt sind anders als die Musterlösungen im Buch)

Tipp zu S.57 Nr. 10

Tipp zu S.57 Nr. 11

Tipp zu S.57 Nr. 12

Jetzt bist du dran...

Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal die Kugeln am Aasee auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einer Kugel in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.

Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kugel.

4) Zusammengesetzte Körper

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
+[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
-<br>
+<br />
 {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Körper|Vorwissen]]<br>
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
-Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinders wurde durch die Kugel verdrängt? _____ <br>
+Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinder wurde durch die Kugel verdrängt? _____ <br>
-Also gilt: V<sub>Kugel</sub> = ___∙ V<sub>Zylinder</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;
+Also gilt:<br>
-Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein. Beachte, dass h<sub>Zylinder</sub> = 2r.<br>
+V<sub>Kugel</sub> = ___∙ V<sub>Zylinder</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;<br>
+Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein.
+<br>Beachte, dass h<sub>Zylinder</sub> = 2r.<br>
 Leite so die Formel für das Kugelvolumen her.
@@ Zeile 39: / Zeile 41: @@
 {{Lösung versteckt|1= V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub> mit h = 2r <br>
 V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ <math>\pi</math> r² ∙ h<sub>K</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;h = 2r<br>
-&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ 𝞹 r² ∙ 2r<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> · 𝞹 r² · 2r<br>
-&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; = <math>\tfrac{4}{3}</math> ∙ 𝞹 ∙ r³|2=Tipp 4|3=Verbergen}}
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> · 2 ·𝞹 r² · r<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; = <math>\tfrac{4}{3}</math> · 𝞹 · r³|2=Tipp 4|3=Verbergen}}
 <br>
 Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt. <br>
-{{Box|1=Volumen einer Kugel|2=Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit
+{{Box|1=Volumen einer Kugel|2=Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit<br>
-<br>V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ∙𝞹 ∙ r³<br>|3=Arbeitsmethode}}
+<big><big>'''V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ·𝞹 · r³'''</big></big>|3=Arbeitsmethode}}
 <br>
+{{#ev:youtube|3XdDXa0Nlug|800|center}}
 {{Box|Übung 1|Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.
@@ Zeile 51: / Zeile 55: @@
 * S. 54 Nr. 2|Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=Umstellen der Volumenformel nach r:<br>
-V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ∙𝞹 ∙ r³ &nbsp;&nbsp;&#124;:<math>\tfrac{4}{3}</math> (mit dem Kehrbruch multiplizieren)<br>
+V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ·𝞹 · r³ &nbsp;&nbsp;&#124;· 3<br>
-<math>\tfrac{3V}{4}</math> = 𝞹 ∙ r³ &nbsp;&nbsp;&#124;: 𝞹<br>
+·V = 4 · 𝞹 · r³ &nbsp;&nbsp;&#124;: (4𝞹)<br>
 <math>\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}</math> = r³ &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\sqrt[3]{}</math><br>
 <math>\sqrt[3]{\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.|2=Umstellen der Volumenformel nach r|3=Verbergen}}
@@ Zeile 68: / Zeile 72: @@
 [[Datei:Herleitung Oberfläche Kugel.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
-{{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:
+{{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:<br>
-O = 4𝞹r²|3=Arbeitsmethode}}
+<big><big>'''O = 4𝞹r²'''</big></big>|3=Arbeitsmethode}}
+<br>
+{{#ev:youtube|AqrxJXeCMB0|420|center}}
 <br>
 Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:
@@ Zeile 78: / Zeile 84: @@
 * S. 56 Nr. 2
 * S. 57 Nr. 3
+* S. 57 Nr. 4
 * S. 57 Nr. 5
 * S. 57 Nr. 6|Üben}}
@@ Zeile 84: / Zeile 91: @@
 <math>\tfrac{O}{\text{4𝞹}}</math> = r² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
 <math>\sqrt{\tfrac{O}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Radius r.|2=Umstellen der Oberflächenformel nach r|3=Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|1=3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben). Lösung: r=<math>\approx</math>2,4 cm. Berechne dann V mit dem berechneten Radius. Lösung: V<math>\approx</math>57,9 cm³.<br>
+{{Lösung versteckt|1=3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben). <br>Lösung: r<math>\approx</math>2,4 cm.<br> Berechne dann V mit dem berechneten Radius.<br> Lösung: V<math>\approx</math>57,9 cm³.<br>
-) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.
+c) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.
 |2=Tipp zu S.57 Nr. 3|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=a) Bild 1: 1 Kugel mit r=8cm (da d=h=16cm) O = 4<math>\pi</math>r² <math>\approx</math> 804,2 cm²<br>
@@ Zeile 93: / Zeile 100: @@
 b) Bild 1: V = <math>\tfrac{4}{3}\pi</math>r³ mit r=8cm; V <math>\approx</math> 2144,7 cm³.<br>
 Gewicht: m = Dichte ∙ Volumen = 0,2 ∙ 2144,7 = 4289,9 (g)<br>
-Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?|2=Tipp zu S.55 Nr. 4|3=Verbergen}}
+Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?|2=Tipp zu S.57 Nr. 4|3=Verbergen}}
+{{Lösung versteckt|1= Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
+<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
+<math>\rho</math>∙ V = m<br>
+also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.|2=Hinweise zur Dichte|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=Stelle dir die Aufgabe vor: Du hast einen Würfel aus Knete mit der Kantenlänge a=10cm. Nun formst du diese Knete zu einer Kugel. Was bleibt gleich?<br>
 Das Volumen!<br>
@@ Zeile 106: / Zeile 118: @@
-{{Box|Übung 3|Löse Buch
-* S. 57 Nr. 4|Üben}}
-{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser der Kugel beträgt zu Beginn 16cm, also gilt r<sub>1</sub>=8cm.<br>
-Der Radius halbiert sich von Stufe zu Stufe, also gilt r<sub>2</sub> = 4cm, r<sub>3</sub> = 2cm und r<sub>4</sub> = 1cm.<br>Die Anzahl der Kugeln beträgt im zweiten Bild 4 Kugeln, im dritten Bild 64 Kugeln und im letzten Gefäß 512 Kugeln.<br>
-Lösung: Die Oberfläche nimmt von Bild zu Bild zu, das Volumen bleibt gleich.<br>
-Da das Volumen gleich bleibt, bleibt auch das Gewicht gleich (s.nächster Tipp)|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
-{{Lösung versteckt|1= Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
-<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
-<math>\rho</math>∙ V = m<br>
-also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.|2=Hinweise zur Dichte|3=Verbergen}}
 ===Anwendungsaufgaben===
-{{Box|Anwendungsaufgabe|[[Datei:Holzwürfel.jpg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen dieser Kugel?|Üben}}
+{{Box|Anwendungsaufgabe|[[Datei:Holzwürfel.jpg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. <br>
+a) Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?<br>
+b) Wie groß ist das Volumen dieser Kugel?<br>
+c) Wie viel Prozent Abfall entsteht?|Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=Wie groß ist der Radius der Kugel? Was hat die Kantenlänge mit dem Durchmesser der Kugel zu tun?<br>
-(Lösung: d=5cm)|2=Tipp|3=Verbergen}}
+(Lösung: d=5cm)|2=Tipp zu a) und b)|3=Verbergen}}
-{{Box|Übung 4|Löse Buch
+{{Lösung versteckt|1= Lösung in a) V<sub>Kugel</sub> = 65,45 (cm³);<br>
-* S. 55 Nr. 3
+V<sub>Würfel</sub>= a³ = 5³ = 125 (cm³)<br>
-* S. 55 Nr. 4
+Abfall: V<sub>Würfel</sub> - V<sub>Kugel</sub> = ... = 59,55(cm³)<br>
-* S. 55 Nr. 5
+p% = <math>\tfrac{W}{G} = \tfrac{59,55}{125}</math> ≈ 0,476 = 47,6%|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}
-* S. 55 Nr. 6
+<br>
-* S. 55 Nr. 7
+{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne.
-* S. 55 Nr. 8
+* S. 55, Nr. 3a *
-* S. 55 Nr. 9
+* S. 55, Nr. 4 *
-* S. 55 Nr. 10
+* S. 55, Nr. 5 **
-* S. 55 Nr. 11
+* S. 55, Nr. 6 ***
-* S. 57 Nr. 7
+* S. 55, Nr. 7 *
-* S. 57 Nr. 9
+* S. 55, Nr. 8 *
-* S. 57 Nr. 10
+* S. 55, Nr. 9 **
-* S. 57 Nr. 11
+* S. 55, Nr. 10 a,b **(mit c) sind es ***)
-* S. 57 Nr. 12 (schwer)|Üben}}
+* S. 55, Nr. 11 *
+* S. 57, Nr. 7 **
+* S. 57, Nr. 9 **
+* S. 57, Nr. 10 **
+* S. 57, Nr. 11 **
+* S. 57, Nr. 12 ***|Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
 <math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
@@ Zeile 177: / Zeile 187: @@
 Bestimme zunächst das Volumen einer kleinen Kugel und der großen Kugel. Dann kannst du berechnen, wie oft das Volumen der kleinen Kugel in das der großen passt. So viele Kugeln benötigst du.|2=Tipp zu S.55 Nr. 9|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=a) Gehe davon aus, dass die Kugel maximal 1kg wiegen sollte.<br>
-b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ <math>\roh</math>
+b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ ρ<br>(Lösung: ca. 2,2 kg)<br>
-c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = <math>tfrac{m}{\roh}</math><br> (Lösung V <math>\approx</math>51,8 cm³)
+c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = <math>\tfrac{m}{ρ}</math><br> (Lösung V <math>\approx</math>51,8 cm³)<br>
 Eine Hohlkugel kannst du dir vorstellen, wie zwei Kugeln, die ineinander liegen, wobei von der äußeren Kugel die innere abgezogen wird. <br>
 Der Radius der äußeren Kugel soll 3cm (d=6cm) betragen. Nun muss du also den Radius der inneren Kugel bestimmen, wobei du weißt dass V<sub>Hohlkugel</sub> = V<sub>äußere Kugel</sub> - V<sub>innere Kugel</sub> = 51,8<br>
-(Lösung: r<sub>innere Kugel</sub> = 0,1cm = 1mm|2=Tipp zu S.55 Nr. 10 |3=Verbergen}}
+(Lösung: r<sub>innere Kugel</sub> = 0,55cm = 5,5mm|2=Tipp zu S.55 Nr. 10 |3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=geg: 1 Mio Stahlkugeln; d=1mm, also r=0,5mm; <math>\roh</math> = 7,8 g/cm³<br>
 ges: Gewicht aller Kugeln<br>

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Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kugel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 8. März 2025, 05:50 Uhr

Inhaltsverzeichnis

3) Kugel

1) Volumen

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Kugel

2) Oberfläche

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