Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kugel: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Körper|Vorwissen]]<br>
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Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinders wurde durch die Kugel verdrängt? _____ <br>
Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinder wurde durch die Kugel verdrängt? _____ <br>


Also gilt: V<sub>Kugel</sub> = ___∙ V<sub>Zylinder</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;
Also gilt: V<sub>Kugel</sub> = ___∙ V<sub>Zylinder</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;
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{{Lösung versteckt|1= V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub> mit h = 2r <br>
{{Lösung versteckt|1= V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub> mit h = 2r <br>
V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ <math>\pi</math> r² ∙ h<sub>K</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;h = 2r<br>
V<sub>Kugel</sub> = <math>\tfrac{2}{3}</math> ∙ <math>\pi</math> r² ∙ h<sub>K</sub> &nbsp;&nbsp;&#124;h = 2r<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> 𝞹 r² 2r<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> · 𝞹 r² · 2r<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; = <math>\tfrac{4}{3}</math> 𝞹 r³|2=Tipp 4|3=Verbergen}}
&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;= <math>\tfrac{2}{3}</math> · 2 ·𝞹 r² · r<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; = <math>\tfrac{4}{3}</math> · 𝞹 · r³|2=Tipp 4|3=Verbergen}}
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Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt. <br>
Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt. <br>
{{Box|1=Volumen einer Kugel|2=Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit
{{Box|1=Volumen einer Kugel|2=Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit<br>
<br>V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ∙𝞹 ∙ r³<br>|3=Arbeitsmethode}}
<big><big>'''V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ·𝞹 · '''</big></big>|3=Arbeitsmethode}}
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{{#ev:youtube|3XdDXa0Nlug|800|center}}


{{Box|Übung 1|Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.
{{Box|Übung 1|Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.
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* S. 54 Nr. 2|Üben}}
* S. 54 Nr. 2|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Umstellen der Volumenformel nach r:<br>
{{Lösung versteckt|1=Umstellen der Volumenformel nach r:<br>
V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ∙𝞹 ∙ r³ &nbsp;&nbsp;&#124;:<math>\tfrac{4}{3}</math> (mit dem Kehrbruch multiplizieren)<br>
V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ·𝞹 · r³ &nbsp;&nbsp;&#124;· 3<br>
<math>\tfrac{3V}{4}</math> = 𝞹 r³ &nbsp;&nbsp;&#124;: 𝞹<br>
3·V = 4 · 𝞹 · r³ &nbsp;&nbsp;&#124;: (4𝞹)<br>
<math>\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}</math> = r³ &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\sqrt[3]{}</math><br>
<math>\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}</math> = r³ &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\sqrt[3]{}</math><br>
<math>\sqrt[3]{\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.|2=Umstellen der Volumenformel nach r|3=Verbergen}}
<math>\sqrt[3]{\tfrac{3V}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.|2=Umstellen der Volumenformel nach r|3=Verbergen}}
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[[Datei:Herleitung Oberfläche Kugel.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
[[Datei:Herleitung Oberfläche Kugel.png|rahmenlos|600x600px]]<br>


{{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:
{{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:<br>
O = 4𝞹r²|3=Arbeitsmethode}}
<big><big>'''O = 4𝞹r²'''</big></big>|3=Arbeitsmethode}}
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{{#ev:youtube|AqrxJXeCMB0|420|center}}
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Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:
Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:
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* S. 56 Nr. 2
* S. 56 Nr. 2
* S. 57 Nr. 3
* S. 57 Nr. 3
* S. 57 Nr. 4
* S. 57 Nr. 5
* S. 57 Nr. 5
* S. 57 Nr. 6|Üben}}
* S. 57 Nr. 6|Üben}}
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<math>\tfrac{O}{\text{4𝞹}}</math> = r² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>\tfrac{O}{\text{4𝞹}}</math> = r² &nbsp;&nbsp;&#124;<math>\surd</math><br>
<math>\sqrt{\tfrac{O}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Radius r.|2=Umstellen der Oberflächenformel nach r|3=Verbergen}}
<math>\sqrt{\tfrac{O}{\text{4𝞹}}}</math> = r &nbsp;&nbsp; Setze die gegebenen Werte ein und berechne den Radius r.|2=Umstellen der Oberflächenformel nach r|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben). Lösung: r=<math>\approx</math>2,4 cm. Berechne dann V mit dem berechneten Radius. Lösung: V<math>\approx</math>57,9 cm³.<br>
{{Lösung versteckt|1=3b) stelle zunächst die Oberflächenformel nach r um (s. Formel umstellen oben). <br>Lösung: r<math>\approx</math>2,4 cm.<br> Berechne dann V mit dem berechneten Radius.<br> Lösung: V<math>\approx</math>57,9 cm³.<br>
3) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.
3c) Stelle die Volumenformel nach r um (s. oben) und berechne dann mit dem berechneten Radius die Oberfläche.
|2=Tipp zu S.57 Nr. 3|3=Verbergen}}
|2=Tipp zu S.57 Nr. 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) Bild 1: 1 Kugel mit r=8cm (da d=h=16cm) O = 4<math>\pi</math>r² <math>\approx</math> 804,2 cm²<br>
{{Lösung versteckt|1=a) Bild 1: 1 Kugel mit r=8cm (da d=h=16cm) O = 4<math>\pi</math>r² <math>\approx</math> 804,2 cm²<br>
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b) Bild 1: V = <math>\tfrac{4}{3}\pi</math>r³ mit r=8cm; V <math>\approx</math> 2144,7 cm³.<br>
b) Bild 1: V = <math>\tfrac{4}{3}\pi</math>r³ mit r=8cm; V <math>\approx</math> 2144,7 cm³.<br>
Gewicht: m = Dichte ∙ Volumen = 0,2 ∙ 2144,7 = 4289,9 (g)<br>
Gewicht: m = Dichte ∙ Volumen = 0,2 ∙ 2144,7 = 4289,9 (g)<br>
Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?|2=Tipp zu S.55 Nr. 4|3=Verbergen}}
Berechne ebenso das Volumen für die anderen Bilder. Fällt dir etwas auf?|2=Tipp zu S.57 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
<math>\rho</math>∙ V = m<br>
also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.|2=Hinweise zur Dichte|3=Verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir die Aufgabe vor: Du hast einen Würfel aus Knete mit der Kantenlänge a=10cm. Nun formst du diese Knete zu einer Kugel. Was bleibt gleich?<br>
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir die Aufgabe vor: Du hast einen Würfel aus Knete mit der Kantenlänge a=10cm. Nun formst du diese Knete zu einer Kugel. Was bleibt gleich?<br>
Das Volumen!<br>
Das Volumen!<br>
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{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 57 Nr. 4|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Der Durchmesser der Kugel beträgt zu Beginn 16cm, also gilt r<sub>1</sub>=8cm.<br>
Der Radius halbiert sich von Stufe zu Stufe, also gilt r<sub>2</sub> = 4cm, r<sub>3</sub> = 2cm und r<sub>4</sub> = 1cm.<br>Die Anzahl der Kugeln beträgt im zweiten Bild 4 Kugeln, im dritten Bild 64 Kugeln und im letzten Gefäß 512 Kugeln.<br>
Lösung: Die Oberfläche nimmt von Bild zu Bild zu, das Volumen bleibt gleich.<br>
Da das Volumen gleich bleibt, bleibt auch das Gewicht gleich (s.nächster Tipp)|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
<math>\rho</math>∙ V = m<br>
also gibt die Dichte an, wie schwer 1cm³ dieses Stoffes ist.|2=Hinweise zur Dichte|3=Verbergen}}




===Anwendungsaufgaben===
===Anwendungsaufgaben===
 
{{Box|Anwendungsaufgabe|[[Datei:Holzwürfel.jpg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen dieser Kugel?|Üben}}
{{Box|Übung 4|Löse Buch  
{{Lösung versteckt|1=Wie groß ist der Radius der Kugel? Was hat die Kantenlänge mit dem Durchmesser der Kugel zu tun?<br>
* S. 55 Nr. 3
(Lösung: d=5cm)|2=Tipp|3=Verbergen}}
* S. 55 Nr. 4
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne.
* S. 55 Nr. 5
* S. 55 Nr. 3 *
* S. 55 Nr. 6
* S. 55 Nr. 4 *
* S. 55 Nr. 7
* S. 55 Nr. 5 **
* S. 55 Nr. 8
* S. 55 Nr. 6 ***
* S. 55 Nr. 9
* S. 55 Nr. 7 *
* S. 55 Nr. 10
* S. 55 Nr. 8 *
* S. 55 Nr. 11
* S. 55 Nr. 9 **
* S. 57 Nr. 7
* S. 55 Nr. 10 **
* S. 57 Nr. 9
* S. 55 Nr. 11 *
* S. 57 Nr. 10
* S. 57 Nr. 7 **
* S. 57 Nr. 11
* S. 57 Nr. 9 **
* S. 57 Nr. 12 (schwer)|Üben}}
* S. 57 Nr. 10 **
* S. 57 Nr. 11 **
* S. 57 Nr. 12 ***|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
{{Lösung versteckt|1=Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br>
<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;∙V<br>
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Erinnerung: u = 2<math>\pi></math>r<br>
Erinnerung: u = 2<math>\pi></math>r<br>
Bestimme danach die jeweilige Oberfläche und multipliziere das Ergebnis mit 1000.<br>
Bestimme danach die jeweilige Oberfläche und multipliziere das Ergebnis mit 1000.<br>
Verschnitt: Du möchtest das Material nach Abzug des Verschnittes zur Verfügung haben, entspricht das Material dem verminderten Grundwert G<sup>-</sup> mit p<sup>-</sup>% = 1 - 0,25 = 0,75. Bestimme den Grundwert G mit G = <math>\tfrac{\text{G-}}{\text{p-%}}</math><br>
Verschnitt: Du möchtest das Material nach Abzug des Verschnittes zur Verfügung haben, entspricht das Material dem vermehrten Grundwert G<sup>+</sup> mit p<sup>+</sup>% = 1 + 0,25 = 1,25. Bestimme den Grundwert G mit G = <math>\tfrac{\text{G+}}{\text{p+%}}</math><br>
(Die Berechnungen zum Verschnitt sind anders als die Musterlösungen im Buch)|2=Tipp zu S.57 Nr. 9|3=Verbergen}}
(Die Berechnungen zum Verschnitt sind anders als die Musterlösungen im Buch)|2=Tipp zu S.57 Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: V<sub>Kugel</sub> = 2000l = 2000 dm³<br>
{{Lösung versteckt|1=geg: V<sub>Kugel</sub> = 2000l = 2000 dm³<br>
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{{Box|Jetzt bist du dran...|[[Datei:Munster-588330 1920.jpg|rechts|rahmenlos]]Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal die Kugeln am Aasee auf dem Foto gesehen.<br>
Erfinde eine Aufgabe zu einer Kugel in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.|Üben}}
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Umfangreiche Übungen findest du auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/kugel.shtml '''Aufgabenfuchs - Kugel'''].
Noch mehr Übungen findest du auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/kugel.shtml '''Aufgabenfuchs - Kugel'''].


{{Fortsetzung|weiter=4) Zusammengesetzte Körper|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Zusammengesetzte Körper}}
{{Fortsetzung|weiter=4) Zusammengesetzte Körper|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Zusammengesetzte Körper}}

Aktuelle Version vom 18. Januar 2025, 16:56 Uhr

Schullogo HLR.jpg


3) Kugel

1) Volumen

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Kugel

Experiment zur Volumenbestimmung
Kugel und Zylinder Höhe gleich Durchmesser Kugel.png

Vorne am Pult liegen ein offener Zylinder und eine Kugel. Die Höhe des Zylinders und der Durchmesser der Grundfläche stimmt mit dem Durchmesser der Kugel überein.
Durchführung des Experiments: (Für den Unterricht auf Distanz habe ich unten das Experiment für dich durchgeführt und gefilmt. Schau dir das Video an.)

  • Fülle den Zylinder vollständig mit Wasser.
  • Tauche die Kugel in den Zylinder.
  • Schätze, welcher Bruchteil des Wassers durch die Kugel verdrängt wurde.


Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kugel und Zylinder?



Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinder wurde durch die Kugel verdrängt? _____

Also gilt: VKugel = ___∙ VZylinder   | Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein. Beachte, dass hZylinder = 2r.
Leite so die Formel für das Kugelvolumen her.


Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt.

Volumen einer Kugel

Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit

V = ·𝞹 · r³



Übung 1

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

  • S. 54 Nr. 1
  • S. 54 Nr. 2

2) Oberfläche

Kugeln haben eine gekrümmte Oberfläche, man kann sie nicht in der Ebene abwickeln. Daher leiten wir die Formel durch Annäherung her:

Das nachfolgende GeoGebra-Applet veranschaulicht die Herleitung der Formel für die Oberfläche einer Kugel. Erkläre!

GeoGebra


Wir zerlegen die Kugel in viele kleine Pyramiden, deren Grundflächen die Oberfläche der Kugel bilden.

Damit lässt sich die Oberflächenformel herleiten:

Herleitung Oberfläche Kugel.png


Oberfläche einer Kugel

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet:

O = 4𝞹r²



Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:


Übung 2

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

  • S. 56 Nr. 1
  • S. 56 Nr. 2
  • S. 57 Nr. 3
  • S. 57 Nr. 4
  • S. 57 Nr. 5
  • S. 57 Nr. 6



Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgabe
Holzwürfel.jpg
Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. Wie groß ist die Oberfläche und das Volumen dieser Kugel?
Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne.

  • S. 55 Nr. 3 *
  • S. 55 Nr. 4 *
  • S. 55 Nr. 5 **
  • S. 55 Nr. 6 ***
  • S. 55 Nr. 7 *
  • S. 55 Nr. 8 *
  • S. 55 Nr. 9 **
  • S. 55 Nr. 10 **
  • S. 55 Nr. 11 *
  • S. 57 Nr. 7 **
  • S. 57 Nr. 9 **
  • S. 57 Nr. 10 **
  • S. 57 Nr. 11 **
  • S. 57 Nr. 12 ***



Jetzt bist du dran...
Munster-588330 1920.jpg
Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal die Kugeln am Aasee auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einer Kugel in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.


Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kugel.