Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kegel

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Vorwissen

1) Pyramide
2) Kegel
3) Kugel
4) Zusammengesetzte Körper

5) Checkliste

2) Kegel

In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.
Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten Spitzkörper: den Kegel!


. . . .. . . . . . . .

Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
Originallink https://www.geogebra.org/m/XnTH43Qa

Applet von Martin Putzlocher

1) Merkmale von Kegeln

Merkmale von Kegeln

Fülle den Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft!

Ein Kegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis (Grundkreis) ist.
Die Mantelfläche des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt Mantellinie und wird mit "s" beschriftet.
Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen geraden (senkrechten) und schiefen Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an.
Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.

Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.

von T.Weiss

2) Schrägbild und Netz von Kegeln

Das Video zeigt dir, wie du das Schrägbild eines Kegels zeichnest:

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Übung 1

Zeichne das Schrägbild, wie im Video erklärt. Buch

• S. 43 Nr. 7

Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

Applet von Andreas Lindner

Netz eines Kegels

Schneide das Netz eines Kegels aus (AB liegt auf dem Pult) und falte daraus den Kegel. Klebe das Netz anschließend in dein Heft und beschreibe, aus welchen Teilflächen es besteht.

Netz eines Kegels

Das Netz eines Kegels besteht aus einem Kreis als Grundfläche und einem Kreisausschnitt als Mantelfläche.

Übung 2

Bearbeite im Buch S. 50 oben die Bastelaufgabe und notiere deine Überlegungen in deinem Heft.

Originallink https://www.geogebra.org/m/JMBakasy

3) Oberfläche von Kegeln

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundflächen G und der Mantelfläche M.
Die Grundfläche ist ein Kreis und die Mantelfläche hat die Form eines Kreisausschnittes.

Formel: O = G + M.

Oberfläche eines Kegels - Herleitung der Formel

Stelle eine Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegels auf! Das nachfolgende Applet hilft dir. Notiere im Heft.

Das nachfolgende Applet kann dir helfen: Kippe den Kegel mit dem Schieberegler und führe die Abwicklung aus.(Du kannst Radius und Höhe des Kegels verändern.) Originallink https://www.geogebra.org/m/n8f5hnqb

Applet von Wolfgang Wengler Originallink https://www.geogebra.org/m/HXWSPGTN

Applet von Andreas Lindner

M= A_{Kreisausschnitt} (mit dem Radius s)
= 𝞹∙s²∙$\tfrac{\alpha}{360}$
    aber: wir kennen α nicht
   

TIPP: in welcher Formel gibt es ebenfalls α? Vergleiche b und u.

Ziehe den Punkt Schritt für Schritt weiter und erkläre, wie die Formel für die Oberfläche hergeleitet wird.
Originallink https://www.geogebra.org/m/sfazkjgc

Applet von Buß-Haskert

Oberfläche eines Kegels

Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
O = G + M

    = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s

Wende zur Berechnungen der Längen r, h_K oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h_K und der Hypotenuse s an.

Beispiel:

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Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung. Notiere zunächst die Formel. Falls nötig, skizziere das Hilfsdreieck und berechne fehlende Seitenlängen. Setze dann in die Formel für den Mantel bzw. die Oberfläche ein. Löse Buch

• S. 51 Nr. 1
• S. 51 Nr. 2
• S. 63 Nr. 10c (schwer)
• S. 51 Nr. 5

Umstellen der Mantelformel nach s:
M = 𝞹∙r∙s   |:(𝞹∙r)

$\tfrac{M}{ \text{𝞹r}}$ = s
Setze die gegebenen Werte für M und r ein und berechne s.

Umstellen der Oberflächenformel nach s:
O = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s   |-𝞹∙r²
O - 𝞹∙r² = 𝞹∙r∙s   |:(𝞹∙r)

$\tfrac{\text{O - 𝞹r²}}{ \text{𝞹r}}$ = s
Setze die gegebenen Werte für o und r ein und berechne s.

geg: s = 6,3 cm; O = 226 cm²
ges: r
O = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s   |Du musst also eine quadratische Gleichung lösen!
Setze die gegebenen Werte ein und bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 (hier ist r=x)
226 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3   |-226
0 = 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙6,3 - 226   |:𝞹
0 = r² + 6,3∙r - 71,94  |pq-Formel mit p = 6,3 und q = -71,94
r_1,2 = -3,15 $\pm\sqrt{\text{3,15²+71,94}}$

r₁ =$\approx$ 5,9 ; r₂ = -12,2 (nicht sinnvoll)

Berechne die Länge des Weges, den der Kegel sich dreht: Dies ist der Umfang des Kreises mit dem Radius r=12cm.
Berechne dann den Umfang der Grundfläche des Kegels. Der Radius ist hier 5cm:2 = 2,5cm.

Überlege nun, wie oft der Kegel sich dreht.
Lösung: 4,8 mal

Übung 4

Löse Buch

• S. 51 Nr. 4
• S. 51 Nr. 7

Das rote und blaue Dreieck sind jeweils die Schnittfläche eines Kegels.

Berechne zunächst die Oberfläche des Zylinders (O = 2G + M =2∙𝞹∙r² + 2∙𝞹∙r∙h_K)
Berechne danach die Oberfläche des Zylinders.
Berechne nun den Unterschied zwischen den beiden Werten: O_Zylinder - O_Kegel

Prozentualer Unterschied: p% = $\tfrac{O Unterschied}{O Zylinder}$ = ... =$\approx$ 0,46 = 46%

4) Volumen von Kegeln

Experimentelle Bestimmung der Volumenformel des Kegels

Experiment zur Volumenbestimmung

Vorne am Pult liegen ein offener Kegel und ein offener Zylinder. Die Körper haben die gleiche Höhe und eine gleich große Grundfläche.
Durchführung des Experiments:

• Nimm den Kegel und den Zylinder, Sand, einen Trichter und eine Schüssel zum Unterstellen.
  
• Fülle den Kegel randvoll mit Sand (Überstand abstreichen) und schütte ihn in den Zylinder um.
  
• Wiederhole den Vorgang so oft, bis der Zylinder vollständig mit Sand gefüllt ist.

Was stellst du fest?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Volumina von Kegel und Zylinder, wenn diese den gleichen Grundflächeninhalt und die gleiche Höhe besitzen?

Das Ergebnis dieses Schüttexperimentes ist natürlich nie 100% genau. Wenn du aber ordentlich arbeitest, solltest du ein recht gutes Ergebnis bekommen!

Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen eines Kegels aufgestellt.

Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? _____

Also gilt:

V_Zylinder = ___∙ V_Kegel   |umstellen nach V_Kegel
V_Kegel =___∙ V_Zylinder

Wie viele Kegelfüllungen passen in den Zylinder? 3

Es passen 3 Kegelfüllungen in den Zylinder. Also gilt V_Zylinder = 3∙ V_Kegel

$\tfrac{1}{3}$∙ V_Zylinder = V_Kegel

 $\tfrac{1}{3}$ ∙ G ∙h_K = V_Kegel
Die Grundfläche G ist ein Kreis, also G = 𝞹∙r², setze in die Formel ein.

Volumen des Kegels

Du kannst die Formel für das Volumen eines Kegels auch mithilfe der Formel für die Pyramide herleiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Annäherung durch Teilzylinder. Erkläre die folgenden GeoGebra-Applets.

Originallink https://www.geogebra.org/m/hwAXUV3B

Applet von Wolfgang Wengler
Originallink https://www.geogebra.org/m/P7dYRTb8

Applet von Andreas Lindner

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h_K wird berechnet mit
V = $\tfrac{1}{3}$ ∙ G ∙h_K

   = $\tfrac{1}{3}$ ∙𝞹∙r²∙h_K

Übung 5

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. Skizziere das rechtwinklige Teildreieck für den Satz des Pythagoras bzw. notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Dann setze die gegebenen Werte ein und berechne die gesuchte Größe.

• S. 53 Nr. 1
• S. 53 Nr. 2
• S. 53 Nr. 3

rechtwinkliges Teildreieck im Kegel:

r² + h_K² = s²   |-r²
h_K² = s² - r²   |$\surd$

h_K = $\sqrt{\text{s²-r²}}$ Setze die gegebenen Werte ein und berechne h_K.

r² + h_K² = s²   |-h²
r² = s² - h_K²   |$\surd$

r = $\sqrt{\text{s²-h²}}$ Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

Umstellen der Formel nach h_K:
V = $\tfrac{1}{3}$ ∙𝞹∙r²∙h_K  |∙3
3V = 𝞹∙r²∙h_K  |:(𝞹∙r²)

$\tfrac{3V}{\text{𝞹r²}}$ = h_K    Setze die gegebenen Werte ein und berechne h_K

Umstellen der Formel nach r:

Setze die gegebenen Werte ein und berechne r.

Übung 6

Löse die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere vollständig und übersichtlich.

• S. 53 Nr. 4
• S. 53 Nr. 5a (sehr schwer) und b (schwer)

Das Volumen des Restkörpers beträgt $\tfrac{3}{4}$ des Volumens des ganzen Kegels, also
V_Restkörper = $\tfrac{3}{4}$V_Kegel

Du kannst auch zunächst das Volumen des gesamten Kegels berechnen und dann das Ergebnis mit $\tfrac{3}{4}$ multiplizieren ($\tfrac{3}{4}$ des gesamten Volumens bedeutet mathematisch $\tfrac{3}{4}$·V)

Oberfläche des Restkörpers beträgt $\tfrac{3}{4}$ der Oberfläche des ganzen Kegels, zusätzlich musst du die Flächen der zwei (rechtwinkligen) Dreiecke, die sich an den Schnittstellen ergeben, addieren.

Also O_Restkörper = $\tfrac{3}{4}$V_Kegel + 2∙$\tfrac{\text{r∙h}}{2}$

Berechne die Mantellinie s:

Berechne die Mantellinie s:

Übung 7 Kegel in zusammengesetzten Körpern (Aufgabenfuchs)

Bearbeite die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs. Berechne das Volumen und die Oberfläche (Kopie!).

• Aufgabe 4
• Aufgabe 6
• Aufgabe 8

Das Volumen setzt sich aus dem Volumen des 1. Kegels und dem des 2. Kegels zusammen. Also:
V = V_{Kegel 1} + V_{Kegel 2} (Formeln in der Formelsammlung!)
Lösung: V = 29321,531 cm³.
Die Oberfläche ist die Fläche, die nass wird, wenn du den Körper unter den Wasserhahn hältst, hier also die Mantelfläche des 1. Kegels und die Mantelfläche des 2. Kegels.
O = M_{Kegel 1} + M_{Kegel 2}
Berechne zunächst mit dem Satz es Pythagoras die Mantellinie s des Kegels.

Lösung: s₁=53,85 cm; s₂=28,28 cm; O = 5160,38 cm²

Das Volumen setzt sich aus dem Volumen des Kegels und dem des Zylinders zusammen. Also:
V = V_Kegel + V_Zylinder (Formeln in der Formelsammlung!)
Lösung: V = 15550,883 cm³, gerundet auf ganze cm³ also 15551 cm³.
Die Oberfläche ist die Fläche, die nass wird, wenn du den Körper unter den Wasserhahn hältst, hier also die Mantelfläche des Kegels und die Mantelfläche des Zylinders und eine Grundfläche (Kreis).
O = M_Kegel + M_Zylinder + G
Berechne zunächst mit dem Satz es Pythagoras die Mantellinie s des Kegels.

Lösung: s=33,54 cm; O = 3418,37 cm²

Das Volumen setzt sich aus dem Volumen des Zylinders und dem abgezogenen Volumen des Kegels zusammen. Also:
V = V_Zylinder - V_Kegel (Formeln in der Formelsammlung!)
Berechne zunächst den Radius des Kegels und des Zylinders (es ist der Durchmesser d = 38cm gegeben.)
Lösung: V = 28730,912 cm³, gerundet auf ganze cm³ also 287031 cm³.
Die Oberfläche ist die Fläche, die nass wird, wenn du den Körper unter den Wasserhahn hältst, hier also die Mantelfläche des Kegels (innen) und die Mantelfläche des Zylinders und eine Grundfläche (Kreis).
O = M_Kegel + M_Zylinder + G
Berechne zunächst mit dem Satz es Pythagoras die Mantellinie s des Kegels.

Lösung: s=42,49 cm; O = 8206,81 cm²

Anwendungsaufgaben

Kegel - Anwendungsaufgaben

Wird Sand aufgeschüttet, entsteht ein kegelförmiger Sandhaufen. Dieser soll mit einem LKW abtransportiert werden.

a) Berechne das Volumen des Sandhaufens, wenn dieser 3 m hoch ist und einen Umfang von 12,5 m hat.

b) Wie oft muss ein LKW fahren, um den Sand abzutransportieren, wenn er 2,5t laden darf? Sand hat eine Dichte von 1,5 g/cm³.

geg: Kegel mit h_K=3m und u = 12,5 m
ges: Volumen V und Masse m

Für die Volumenformel benötigst du den Radius. Bestimme diesen mithilfe des Umfangs (Formel umstellen).

u = 2πr   |: (2π)
$\tfrac{u}{2\pi}$ = r
$\tfrac{12,5}{2\pi}$ = r
1,99 (m) = r
Berechne nun das Volumen V. (Lösung: 12,441 (m²))

Wie schwer ist der Sand?

Dichte = $\tfrac{Masse}{Volumen}$
Die Dichte von Sand beträgt 1,5 g/cm³, also 1,5 kg/dm³ oder 1,5 t/m³.
Berechne die Masse m, indem du das Volumen (12,441 m³) mit der Dichte (1,5 t/m³) multiplizierst.
(Lösung: m ≈ 18,7 t)
Wie oft muss der LKW fahren, wenn er 2,5t laden darf?

(Lösung: Er muss 8 mal fahren.)

Übung 8

Wähle aus den Aufgaben so aus, dass du mindestens 8 Punkte sammelst.

• S. 51 Nr. 6 **
• S. 51 Nr. 8 *
• S. 51 Nr. 9 *
• S. 53 Nr. 6 **
• S. 53 Nr. 7 ***
• S. 53 Nr. 8 *
• S. 53 Nr. 9 **
• S. 63 Nr. 12 **
• S. 63 Nr. 13 ***

Bestimme mithilfe des Mauerumfangs den Radius des Zylinders (Turm) r.
Das Dach steht 30 cm über, also gilt r_Dach = r + 0,3.

Bestimme s mithilfe des Satzes von Pythagoras (rechtwinkliges Teildreieck).

Bestimme die Mantelfläche. Dazu berechne mit dem Satz von Pythagoras die Länge der Mantellinie s. Skizziere dazu das Teildreieck und beschrifte es vollständig.

Wie geht Prozentrechung?
W = G · p%.
geg: G = Mantelfläche; p% = 3% (=0,03 als Dezimalbruch).
Berechne, wie viel Material hinzugegeben werden muss (W), und addiere dann W + G = G⁺
Oder berechne sofort G⁺
G = M und p⁺% = 103% = 1,03

G⁺ = G ∙ p⁺%

Bestimme die Mantelfläche M des Kegels. Dazu benötigst du die Länge der Mantellinie s (Satz des Pythagoras).

Bestimme r mithilfe des angegebenen Umfangs u.
Bestimme das Volumen eines Kegels mit den angegebenen Maßen.

Die Dichte des Holzes beträgt 450 $\tfrac{\text{kg}}{\text{m³}}$, also wiegt 1m³ 450 kg.

Bestimme V₁ und V₂.
Für die benötigte Zeit betrachte das Verhältnis von $\tfrac{V2}{V1}$ = ...
Die dementsprechend vielfache Zeit wird dann benötigt.

1. Bestimme das Volumen des Gewürzkegels. Entnimm die Maße dem Bild im Buch.
2. Bestimme das Volumen einer zylindrischen Dose.

3. Wie viele Dosen können befüllt werden?

Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Kegeln unterschiedlicher Höhe.
Die Dichte von 7,8 $\tfrac{g}{\text{cm³}}$ gibt an, dass 1cm³ 7,8g wiegt.

Skizziere den Böschungswinkel von 45°. Welche Zusammenhang zwischen Höhe und Radius fällt dir auf?

3 Minuten sind die Hälfte der Zeit, also muss die Hälfte des Volumens durch die Sanduhr gerieselt sein.
Das Verhältnis von Radius zur Höhe bleibt gleich (Strahlensatz), also r = 1 cm und h_K = 3; r = $\tfrac{1}{3}$h_K.

Jetzt bist du dran...

Wo gibt es in deiner Umgebung Kegel? In Münster hast du bestimmt schon einmal das Gebäude auf dem Foto gesehen.
Erfinde eine Aufgabe zu einem Kegel in deiner Umgebung und löse sie. Lade die Aufgabe im Gruppenordner bei IServ hoch.

Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kegel.

3) Kugel