Benutzer:Buss-Haskert/Körper/Kugel: Unterschied zwischen den Versionen
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===Anwendungsaufgaben=== | ===Anwendungsaufgaben=== | ||
{{Box|Anwendungsaufgabe|[[Datei:Holzwürfel.jpg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. Wie groß ist die Oberfläche | {{Box|Anwendungsaufgabe|[[Datei:Holzwürfel.jpg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Der Holzwürfel hat eine Kantenlänge von 5 cm. Es soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden. <br> | ||
a) Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?<br> | |||
b) Wie groß ist das Volumen dieser Kugel?<br> | |||
c) Wie viel Prozent Abfall entsteht?|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Wie groß ist der Radius der Kugel? Was hat die Kantenlänge mit dem Durchmesser der Kugel zu tun?<br> | {{Lösung versteckt|1=Wie groß ist der Radius der Kugel? Was hat die Kantenlänge mit dem Durchmesser der Kugel zu tun?<br> | ||
(Lösung: d=5cm)|2=Tipp|3=Verbergen}} | (Lösung: d=5cm)|2=Tipp zu a) und b)|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Lösung in a) V<sub>Kugel</sub> = 65,45 (cm³);<br> | |||
V<sub>Würfel</sub>= a³ = 5³ = 125 (cm³)<br> | |||
Abfall: V<sub>Würfel</sub> - V<sub>Kugel</sub> = ... = 59,55(cm³)<br> | |||
p% = <math>\tfrac{W}{G} = \tfrac{59,55}{125}</math> ≈ 0,476 = 47,6%|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}} | |||
<br> | |||
{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne. | {{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Sammle mindestens 8 Sterne. | ||
* S. 55 Nr. | * S. 55, Nr. 3a * | ||
* S. 55 Nr. 4 * | * S. 55, Nr. 4 * | ||
* S. 55 Nr. 5 ** | * S. 55, Nr. 5 ** | ||
* S. 55 Nr. 6 *** | * S. 55, Nr. 6 *** | ||
* S. 55 Nr. 7 * | * S. 55, Nr. 7 * | ||
* S. 55 Nr. 8 * | * S. 55, Nr. 8 * | ||
* S. 55 Nr. 9 ** | * S. 55, Nr. 9 ** | ||
* S. 55 Nr. 10 ** | * S. 55, Nr. 10 a,b **(mit c) sind es ***) | ||
* S. 55 Nr. 11 * | * S. 55, Nr. 11 * | ||
* S. 57 Nr. 7 ** | * S. 57, Nr. 7 ** | ||
* S. 57 Nr. 9 ** | * S. 57, Nr. 9 ** | ||
* S. 57 Nr. 10 ** | * S. 57, Nr. 10 ** | ||
* S. 57 Nr. 11 ** | * S. 57, Nr. 11 ** | ||
* S. 57 Nr. 12 ***|Üben}} | * S. 57, Nr. 12 ***|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br> | {{Lösung versteckt|1=Dichte = <math>\tfrac{\text{Masse}}{\text{Volumen}}</math> <br> | ||
<math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> |∙V<br> | <math>\rho</math> = <math>\tfrac{m}{V}</math> |∙V<br> | ||
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Bestimme zunächst das Volumen einer kleinen Kugel und der großen Kugel. Dann kannst du berechnen, wie oft das Volumen der kleinen Kugel in das der großen passt. So viele Kugeln benötigst du.|2=Tipp zu S.55 Nr. 9|3=Verbergen}} | Bestimme zunächst das Volumen einer kleinen Kugel und der großen Kugel. Dann kannst du berechnen, wie oft das Volumen der kleinen Kugel in das der großen passt. So viele Kugeln benötigst du.|2=Tipp zu S.55 Nr. 9|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=a) Gehe davon aus, dass die Kugel maximal 1kg wiegen sollte.<br> | {{Lösung versteckt|1=a) Gehe davon aus, dass die Kugel maximal 1kg wiegen sollte.<br> | ||
b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ < | b) Bestimme das Volumen und berechne dann das Gewicht mit m = V ∙ ρ<br>(Lösung: ca. 2,2 kg)<br> | ||
c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = <math>tfrac{m}{ | c) Wenn das Gewicht maximal m = 1kg = 1000 g betragen soll, bestimme zunächst das mögliche Volumen der Hohlkugel. V = <math>\tfrac{m}{ρ}</math><br> (Lösung V <math>\approx</math>51,8 cm³)<br> | ||
Eine Hohlkugel kannst du dir vorstellen, wie zwei Kugeln, die ineinander liegen, wobei von der äußeren Kugel die innere abgezogen wird. <br> | Eine Hohlkugel kannst du dir vorstellen, wie zwei Kugeln, die ineinander liegen, wobei von der äußeren Kugel die innere abgezogen wird. <br> | ||
Der Radius der äußeren Kugel soll 3cm (d=6cm) betragen. Nun muss du also den Radius der inneren Kugel bestimmen, wobei du weißt dass V<sub>Hohlkugel</sub> = V<sub>äußere Kugel</sub> - V<sub>innere Kugel</sub> = 51,8<br> | Der Radius der äußeren Kugel soll 3cm (d=6cm) betragen. Nun muss du also den Radius der inneren Kugel bestimmen, wobei du weißt dass V<sub>Hohlkugel</sub> = V<sub>äußere Kugel</sub> - V<sub>innere Kugel</sub> = 51,8<br> | ||
(Lösung: r<sub>innere Kugel</sub> = 0, | (Lösung: r<sub>innere Kugel</sub> = 0,55cm = 5,5mm|2=Tipp zu S.55 Nr. 10 |3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=geg: 1 Mio Stahlkugeln; d=1mm, also r=0,5mm; <math>\roh</math> = 7,8 g/cm³<br> | {{Lösung versteckt|1=geg: 1 Mio Stahlkugeln; d=1mm, also r=0,5mm; <math>\roh</math> = 7,8 g/cm³<br> | ||
ges: Gewicht aller Kugeln<br> | ges: Gewicht aller Kugeln<br> |
Aktuelle Version vom 8. März 2025, 05:50 Uhr
3) Kugel
1) Volumen
Experimentelle Bestimmung der Volumenformel der Kugel
Welcher Bruchteil des Wassers im Zylinder wurde durch die Kugel verdrängt? _____
Also gilt:
VKugel = ___∙ VZylinder |
Nun setzte die Volumenformel des Zylinders ein.
Beachte, dass hZylinder = 2r.
Leite so die Formel für das Kugelvolumen her.
Du hast nun auf der Grundlage experimenteller Ergebnisse eine Formel für das Volumen einer Kugel aufgestellt.
2) Oberfläche
Kugeln haben eine gekrümmte Oberfläche, man kann sie nicht in der Ebene abwickeln. Daher leiten wir die Formel durch Annäherung her:
Das nachfolgende GeoGebra-Applet veranschaulicht die Herleitung der Formel für die Oberfläche einer Kugel. Erkläre!

Wir zerlegen die Kugel in viele kleine Pyramiden, deren Grundflächen die Oberfläche der Kugel bilden.
Damit lässt sich die Oberflächenformel herleiten:
Mit dem Lied lernst du die Formeln spielend leicht auswendig:
Anwendungsaufgaben
Noch mehr Übungen findest du auf der Seite Aufgabenfuchs - Kugel.