Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br> | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Übersicht Vorbereitungskurs ZP 10|vorherlink=Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik}}<br> | ||
Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag | |||
{{Navigation verstecken|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/ | {{Navigation verstecken|[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Größen| 1. Zahlen und Größen]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/ | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Zuordnungen|2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Gleichungen|3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/ | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen|4. Funktionen: Lineare Funktionen]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen Teil2|5. Funktionen: Quadratische Funktionen]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Geometrie|6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit| | [[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Statistik|7. Diagramme, Statistik]]<br> | ||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Wahrscheinlichkeit|8. Wahrscheinlichkeitsrechnung]]<br> | |||
[[Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Exponentiafunktion|9. Wachstum und Exponentialfunktion]] | |||
}} | }} | ||
==Geometrie== | ==Geometrie== | ||
====Einstiegstest: Geometrie==== | |||
<quiz display="simple"> | |||
{Berechne die Größe des Winkels γ. | |||
[[Datei:Übung Winkel im Schnittpunkt von Geraden.png|rahmenlos|300x300px]]} | |||
- γ = 75° | |||
- γ = 95° | |||
- γ = 105° | |||
+ γ = 85° | |||
{Ein Rechteck ist b = 7 cm breit und hat einen Flächeninhalt von A = 91 cm². Wie lang ist das Rechteck?} | |||
- a = 38,5 cm | |||
+ a = 13 cm | |||
{Berechne die fehlende Seitenlänge und den Flächeninhalt des Dreiecks. | |||
[[Datei:Rechtwinkliges Dreieck beta 90° b und c gegeben.png|rahmenlos|150x150px]]} | |||
+ a = 3 cm | |||
- A = 10cm² | |||
- a = 2 cm | |||
+ A = 6 cm² | |||
{Ein Kreis hat den Rasdius 3 cm. Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt (als Vielfaches von π)?} | |||
+ u = 6π cm | |||
- u = 3π cm | |||
+ A = 9π cm² | |||
- A = 6π cm² | |||
{Eine Leiter ist 5 m lang und wird in 3 m Entfernung von einer Wand aufgestellt. Wie hoch reicht sie an die Wand?} | |||
- Die Leiter reicht 4,50 m hoch. | |||
+ Die Leiter reicht 4,0 m hoch. | |||
- Die Leiter reicht 3,50 m hoch. | |||
{Ein Verkehrsschild gibt eine Steigung von 12% an. Berechne den Steigungswinkel (Taschenrechner erlaubt) | |||
[[Datei:Steigung 12%.png|rahmenlos|150x150px]]} | |||
- α = 12° | |||
- α = 6° | |||
+ α = 6,8° | |||
{Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 5 cm.} | |||
- O = 25cm² | |||
+ O = 150 cm² | |||
+ V = 125 cm³ | |||
- V = 75 cm³ | |||
{Eine quadratische Pyramide hat eine Kantenlänge von 5cm und ist 6 cm hoch. Berechne das Volumen der Pyramide.} | |||
- V = 150 cm³ | |||
- V = 30cm³ | |||
+ V = 50cm³ | |||
{Ein Kegel hat eine Grundfläche von 36 cm² und ein Volumen von 108 cm³. Wie hoch ist der Kegel?} | |||
+ h = 9 cm | |||
- h = 6 cm | |||
- h = 3 cm | |||
{Welcher Körper hat das größte Volumen?} | |||
- Zylinder mit d = 5cm und h = 5cm | |||
- quadratische Pyramide mit a = 5cm und h<sub>K</sub> = 5cm | |||
+ Kegel mit r = 5cm und h = 5cm | |||
- Kugel mit d = 5cm | |||
{Welche Körper hat die geringste Oberfläche? (Taschenrechner erlaubt)} | |||
- Würfel mit a = 5 cm | |||
- Quader mit a = 4cm, b = 5 cm und c = 6 cm | |||
- Zylinder mit r = 2,5 und h = 6cm | |||
+ Kugel mit r = 3 cm | |||
{Der Radius einer Kugel wird verdoppelt. Dann ist das Volumen...} | |||
- doppelt so groß. | |||
- viermal so groß. | |||
+ achtmal so groß. | |||
</quiz> | |||
{{Box|Auswertung des Eingangstests|Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend | |||
* Winkel Nr. 1 | |||
* Flächen Nr. 2-4 | |||
* Pythoagoras Nr. 5 | |||
* Trigonometrie Nr. 6 | |||
* Körper Nr. 7-12|Lösung}} | |||
{{Box|Übung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche mit den angegebenen Lösungen. | |||
Winkel: | |||
* S. 126, P1 | |||
Satz des Pythagoras: | |||
* S. 126, P4 | |||
* S. 127, P5-P6 | |||
* S. 130, P24 | |||
* S. 160, Nr. 1-5 | |||
Trigonometrie: | |||
* S. 131, P29 | |||
Ebene Figuren(Flächen): | |||
* S. 121, P41 und P42 | |||
* S. 127, P7 - P9 | |||
* S. 128, P10 | |||
* S. 131, P27 | |||
Körper: | |||
* S. 128, P11 - P17 | |||
* S. 129, P19 - P21 | |||
* S. 130, P25 | |||
* S. 131, P28 und P30|Üben}} | |||
===Winkel=== | ===Winkel=== | ||
1. Winkel zeichnen und messen | 1. Winkel zeichnen und messen | ||
Zeile 20: | Zeile 126: | ||
2. Winkel im Schnittpunkt von Geraden:<br> | 2. Winkel im Schnittpunkt von Geraden:<br> | ||
[[Datei:Winkel im Schnittpunkt von Geraden.png|rahmenlos|524x524px]] | [[Datei:Winkel im Schnittpunkt von Geraden.png|rahmenlos|524x524px]] | ||
===Dreiecke=== | ===Dreiecke=== | ||
[[Datei:Formeln allgemeines Dreieck.png|rahmenlos|500x500px]]<br> | [[Datei:Formeln allgemeines Dreieck.png|rahmenlos|500x500px]]<br> | ||
Ist das Dreieck '''rechtwinklig''', gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie! | Ist das Dreieck '''rechtwinklig''', gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!<br> | ||
Das Video gibt dir einen Überblick über Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken, danach kannst du die einzelnen Themen noch einmal intensiv wiederholen. | |||
{{#ev:youtube|anK4ljMqXV0|800|center}} | |||
====Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)==== | ====Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)==== | ||
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b = 10,5 [cm]<br>|2=Beispiel: Kathete berechnen|3=Verbergen}} | b = 10,5 [cm]<br>|2=Beispiel: Kathete berechnen|3=Verbergen}} | ||
<br> | <br> | ||
====Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)==== | ====Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)==== | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
Zeile 83: | Zeile 186: | ||
</div>|3=Merksatz}} | </div>|3=Merksatz}} | ||
===Ebene Figuren=== | ===Ebene Figuren=== | ||
Zeile 121: | Zeile 222: | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">[[Datei:Formeln Kreis.png|rahmenlos|400x400px]]</div> | <div class="width-1-2">[[Datei:Formeln Kreis.png|rahmenlos|400x400px]]</div> | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|300|center}}<br>{{#ev:youtube|4OHoJnWHr-c| | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3uF_o39vGC4|300|center}}<br>{{#ev:youtube|4OHoJnWHr-c|300|center}} | ||
</div> | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 135: | Zeile 236: | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|f4P0vTc7XpA|300|center}}</div> | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|f4P0vTc7XpA|300|center}}</div> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 157: | Zeile 252: | ||
* Um die Formeln zur Berechnung von Längen, Flächen und Volumina von Körpern anzuwenden, sind oft auch der Satz des Pythagoras, trigonometrische Berechnungen und die Strahlensätze nötig, um fehlende Größen zu berechnen. | * Um die Formeln zur Berechnung von Längen, Flächen und Volumina von Körpern anzuwenden, sind oft auch der Satz des Pythagoras, trigonometrische Berechnungen und die Strahlensätze nötig, um fehlende Größen zu berechnen. | ||
* Um fehlende Größen zu berechnen, ist es oft nötig, eine Formel nach der entsprechenden Größe umzustellen.|3=Kurzinfo}} | * Um fehlende Größen zu berechnen, ist es oft nötig, eine Formel nach der entsprechenden Größe umzustellen.|3=Kurzinfo}} | ||
Zeile 181: | Zeile 270: | ||
<ggb_applet id="y3gcvcfu" width="1139" height="702" border="888888" /> | <ggb_applet id="y3gcvcfu" width="1139" height="702" border="888888" /> | ||
<small>Applet von Jakob Pechmann</small>Originallink: https://www.geogebra.org/m/y3gcvcfu | <small>Applet von Jakob Pechmann</small>Originallink: https://www.geogebra.org/m/y3gcvcfu | ||
<div class="grid"></div> | |||
{{Box|1=Oberfläche eines Zylinders|2=Die Oberfläche eines Zylinders wird mit folgender Formel berechnet:<br> | |||
O = 2·G + M<br> | |||
= 2·π·r² + u·h<sub>K</sub><br> | |||
= 2πr² + 2πr·h<sub>K</sub><br> | |||
[[Datei:Oberfläche Zylinder.png|rahmenlos|800x800px]]|3=Merksatz}} | |||
<br> | |||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|| | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|l-8bhIJmjI4|460|center}}</div> | ||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|| | <div class="width-1-2">{{#ev:youtube|_ya5WpIbNrA|460|center}}</div> | ||
</div> | </div> | ||
{{Box| | {{Box|1=Volumen eines Zylinders|2=[[Datei:Volumen Zylinder.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet<br> | ||
V = G · h<sub>K</sub> <br> | |||
= π·r²·h<sub>K</sub>|3=Merksatz}} | |||
<br> | |||
Entscheide, ob die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen des Zylinders gesucht ist.<br> | |||
{{LearningApp|app=psmxwujpn21|width=100%|heigth=600px}} | |||
<br> | |||
{{LearningApp|app=pb68gjpw221|width=100%|height=600px}} | |||
<br> | |||
{{Box| | {{Box|1=(Quadratische) Pyramide|2=[[Datei:Schrägbild geogebra quadratische Pyramide.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit der Grundfläche G und der Mantelfläche M wird berechnet mit<br> | ||
O = G + M<br> | |||
=a² + 4·<math>\tfrac{1}{2}</math>·a·h<sub>S</sub><br> | |||
= a² + 2·a·h<sub>S</sub><br> | |||
Das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h<sub>K</sub> wird berechnet mit | |||
<br>V = <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub><br> | |||
Für eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a gilt <br> | |||
V = <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙ a² ∙h<sub>K</sub><br>|3=Merksatz}} | |||
{{Box|Hilfsdreiecke in der Pyramide|[[Datei:Kantenmodell Pyramide Holzspieße.png|rechts|80px]]Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Ergänze auf dem AB die Maße der Teildreiecke und formuliere jeweils den Satz des Pythagoras.|Experimentieren}}<br> | |||
<ggb_applet id="pftmt7xc" width="1192" height="712" border="888888" /> | |||
<small>Applet von Buß-Haskert</small><br> | |||
{{Lösung versteckt|1=Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt<br>Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite <math>\tfrac{a}{2}</math> und die Höhe der Pyramide h<sub>K</sub>. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h<sub>S</sub>.<br> | |||
(<math>\tfrac{a}{2}</math>)² + h<sub>K</sub>² =h<sub>S</sub>².<br>[[Datei:Halber Parallelschnitt.png|rahmenlos]]|2=Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche<br>Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite <math>\tfrac{a}{2}</math> und die Höhe der Seitenfläche h<sub>S</sub>. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .<br> | |||
(<math>\tfrac{a}{2}</math>)² + h<sub>S</sub>² =s².<br>[[Datei:Halbe Seitenfläche.png|rahmenlos]]|2=Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt<br>Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite <math>\tfrac{d}{2}</math> und die Höhe der Pyramide h<sub>K</sub>. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .<br> | |||
(<math>\tfrac{d}{2}</math>)² + h<sub>K</sub>² =s².<br>[[Datei:Halber Diagonalschnitt.png|rahmenlos]]|2=Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt|3=Verbergen}} | |||
<br> | |||
<br> | |||
{{Box|1=Oberfläche eines Kegels|2=Die Oberfläche eines Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.<br> | |||
O = G + M<br> | |||
= 𝞹∙r² + 𝞹∙r∙s|3=Merksatz}} | |||
{{Box|Kugel| | Wende zur Berechnungen der Längen r, h<sub>K</sub> oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und h<sub>K</sub> und der Hypotenuse s an.<br> | ||
[[Datei:Kegel Teildreieck mit Pythagoras.png|rahmenlos]]<br> | |||
Beispiel: | |||
{{#ev:youtube|YYJ_GfOVu44|800|center}}<br> | |||
{{Box|1=Volumen eines Kegels|2=Das Volumen eines Kegels mit der Grundfläche G und der Höhe h<sub>K</sub> wird berechnet mit | |||
<br>V = <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙ G ∙h<sub>K</sub><br> | |||
= <math>\tfrac{1}{3}</math> ∙𝞹∙r²∙h<sub>K</sub><br>|3=Merksatz}} | |||
<br> | |||
<br> | |||
{{Box|1=Volumen einer Kugel|2=Das Volumen einer Kugel mit dem Radius r wird berechnet mit | |||
<br>V = <math>\tfrac{4}{3}</math> ·𝞹 · r³<br>|3=Merksatz}} | |||
{{Box|1=Oberfläche einer Kugel|2=Die Formel für die Oberfläche einer Kugel lautet: | |||
O = 4𝞹r²|3=Merksatz}}<br> | |||
<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|3XdDXa0Nlug|420|center}}</div> | |||
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|AqrxJXeCMB0|420|center}}</div> | |||
</div> |
Aktuelle Version vom 17. September 2023, 17:28 Uhr
Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag
Geometrie
Einstiegstest: Geometrie
Winkel
1. Winkel zeichnen und messen
2. Winkel im Schnittpunkt von Geraden:
Dreiecke
Ist das Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras und die Trigonometrie!
Das Video gibt dir einen Überblick über Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken, danach kannst du die einzelnen Themen noch einmal intensiv wiederholen.
Satz den Pythagoras (in rechtwinkligen Dreiecken)
Beispiel 1: Die Katheten sind gegeben und die Hypotenuse ist gesucht.
geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Katheten: a = 4cm; b = 6cm
ges: Hypotenuse c
c² = a² + b² |
c = |Werte einsetzen
c = |berechnen
(c = diesen Schritt musst du nicht notieren)
c 7,2 [cm]
Beispiel 2: Die Hypotenuse und eine Kathete sind gegeben und die andere Kathete ist gesucht.
geg: rechtwinkliges Dreieck mit γ=90°; Kathete: a = 14cm; Hypotenuse c = 17,5cmges: Kathete b
a² + b² = c² |-a²
b² = c² - a² |
b = |Werte einsetzen
b = |berechnen
(b = diesen Schritt musst du nicht notieren)
Trigonometrie (in rechtwinkligen Dreiecken)
Ebene Figuren
Strahlensätze
Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.
Körperberechnungen
Applet von Hegius
Applet von Jakob PechmannOriginallink: https://www.geogebra.org/m/y3gcvcfu
Entscheide, ob die Mantelfläche, die Oberfläche oder das Volumen des Zylinders gesucht ist.
Applet von Buß-Haskert
Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.
Hilfsdreieck 2: halbe Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
Wende zur Berechnungen der Längen r, hK oder s den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Hilfsdreieck mit den Katheten r und hK und der Hypotenuse s an.
Beispiel: