Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen

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1. Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)

2. Funktionen (lineare und quadratische Funktionen)
3. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung
4. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie
5. Diagramme, Statistik

6. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Funktionen

Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:

• als Text
• als Wertetabelle
• als Funktionsgleichung
• als Graph

Funktionen

Orientiere dich in der Formelsammlung! (S.5)

Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?

	y = 5x + 2
	y = 2x + 5
	y = 5x + 5
	y = 2x + 2

2 4 Gläser Apfelschorle kosten 6 €. Wie viel kosten dann 7 Gläser Apfelschorle?

	10€
	10,50€
	11 €
	11,50€

3 Eine zylinderförmige Vase wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? (Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen?)

	A
	B
	C
	D

4 Das Bild zeigt den Graphen einer linearen Funktion f(x) = mx + b. Welche Aussage ist richtig?

	m > 0 und b > 0
	m < 0 und b > 0
	m < 0 und b < 0
	m > 0 und b < 0

5 Für eine lineare Funktion f(x) = mx + b mit m > 0 und b < 0 gilt...

	Die Gerade fällt.
	Die Gerade steigt.
	Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich.
	Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich.

6 Welche Gleichung passt zum Geraden?

	f(x) = 2x + 3
	f(x) = 3x + 2
	f(x) = $\tfrac{1}{2}$ + 3
	f(x) = $\tfrac{1}{3}$ + 2

7 Wie lautet die Gleichung der proportionalen Funktion g(x), die parallel zu f(x) = -2x + 3 verläuft?

	g(x) = 2x + 3
	g(x) = 2x - 3
	g(x) = -2x
	g(x) = -2x -3

8 Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt P(-1|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

	y = -1x + 3
	y = 3x - 1
	y = 2x + 3
	y = 2x + 5

9 Eine Gerade geht durch die Punkte P(0|1) und Q(4|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

	y = $\tfrac{1}{2}$x + 1
	y = 4x + 3
	y = 1x
	y = 1x + 3

10 Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.

	Ja
	Nein

11 Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.

	x = 5
	x = 2
	x = 2,5
	x = -2,5

12 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...

	hat keine Nullstelle
	schneidet die x-Achse bei x = 2
	hat die Steigung 6
	enthält den Punkt (-1|9)

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

• Lineare Funktionen erkennen 1-4
• Gleichung - Graph Nr. 5-7
• Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9
• Punktprobe Nr. 10
• Nullstellen Nr. 11

Lineare Funktionen erkennen

Lineare Funktionen erkennen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib).

Lineare Funktionen erkennen:

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen.
Hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen).

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Übung: Lineare Funktionen erkennen

Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

Lineare Funktionen: Wertetabelle

Wertetabelle erstellen

Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5
                         = 7
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5
                         = 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	...
y	5	7	9	11	13	...

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Funktionsgraphen zeichnen

Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion.
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen

• Lies den y-Achsenabschnitt b ab.
• Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m.

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Beispiele:

1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden

Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.

leicht (*)

mittel (**)

schwer (***)

Lineare Funktionen: Graph zeichnen

• Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b)
• Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
• Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

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Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$x - 1.

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte

Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:

• Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
• Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)

Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b   |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b   |vereinfachen
3 = -2 + b   |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.

Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = $\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ = $\tfrac{1-5}{3-1}$ = $\tfrac{-4}{2}$ = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b   |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b   |vereinfachen
5 = -2 + b   |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.

Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.

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Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe

Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt P_y mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P_y (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (x_NI0)

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

• S. 122, P2 - P9
• S. 150, Nr. 3-6