Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen

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Satz des Pythagoras - Startseite

1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
3) Anwendungen
3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren
3.2) Anwendungen im Raum
3.3) Anwendungen in Sachsituationen

3.4 Anwendungen im Koordinatensystem

3) Satz des Pythagoras - Anwendungen

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren

Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:

Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:

1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.

Die Seite b ist in dem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse. Die Katheten sind h=d=2cm und 7-2 = 5 (cm) lang.

3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.

2² + 5² = b²   |$\surd$
$\sqrt{2^2+5^2}$ = b

5,4 (cm)$\approx$ b

4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.

Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)

A = $\tfrac{a+c}{2}\cdot$h = $\tfrac{7+2}{2}\cdot$2 = 9 (cm²)

Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:

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.

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung im Heft.

• S. 114 Nr. 1
• S. 114 Nr. 2
• S. 115 Nr. 7

Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39²   |-15²
a² = 39² - 15²   |$\surd$
a = $\sqrt{39^2-15^2}$   (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47²   |-36²
x² = 47² - 36²   |$\surd$
x = $\sqrt{47^2-36^2}$   (Taschenrechner)
x $\approx$30,2 (cm)

Löse ebenso die anderen Teilaufgaben.

Übung 2

Übertrage die Skizze in dein Heft. Teile die Figuren in rechtwinklige Teildreiecke und berechne dann die fehlenden Seitenlängen.

• S. 114 Nr. 3
• S. 114 Nr. 4
• S. 114 Nr. 5
• S. 122 Nr. 4b

Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.

Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes wiederhole die Flächeninhaltsformeln (hinten im Schulbegleiter).

Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).

In Aufgabenteil b) handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez, da die benachbarten Winkel gleich groß sind. Bestimme die Höhe h mithilfe von Pythagoras.

Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.

Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:

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Übung 3 (online)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen. Lade einen Screenshot deiner Lösungen im Aufgaben-Modul hoch.

• Übung 1
• Übung 2

Übung 4

Übertrage die Figuren in dein Heft.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

• 22
• 26
• 29
• 41
• 42
• 47
• 48

3.2 Anwendungen im Raum

Pythagoras im Würfel und Quader

Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:

Kantenmodell eines Quaders:

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Suche rechtwinklige Teildreiecke und skizziere und beschrifte sie im Heft.

• S. 116 Nr. 15
• S. 116 Nr. 16
• S. 125 Nr. 4

Simulation zu Nr. 4 rechts: Du kannst den Würfel drehen.

Hinweise zu Pythagoras im Würfel:

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Pythagoras in der quadratischen Pyramide

Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:

Hilfsdreiecke in der Pyramide

Bastle mit den Holzstäben und den Weingummi ein Kantenmodell einer quadratischen Pyramide. Ergänze auch Holzspieße für die Teildreiecke wie im Bild. Wo findest du rechtwinklige Dreiecke?

Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche h_S.

($\tfrac{a}{2}$)² + h_K² =h_S².

Hilfsdreieck 2: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite $\tfrac{a}{2}$ und die Höhe der Seitenfläche h_S. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

($\tfrac{a}{2}$)² + h_S² =s².

Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite $\tfrac{d}{2}$ und die Höhe der Pyramide h_K. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .

($\tfrac{d}{2}$)² + h_K² =s².

Schau die Videos zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Diese helfen dir bei der Bearbeitung der Übung 6.

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Übung 6

Übertrage die Schrägbilder der Körper in dein Heft. Zeichne dann passende Teildreiecke und beschrifte sie.Löse die Aufgaben ausführlich im Heft und prüfe deine Ergebnisse auf der Seite Aufgabenfuchs. Aufgaben:

• 55
• 56
• 57
• 58
• 60

Teildreieck zur Pyramide:

Teildreieck zum Quader:

Teildreieck zum Kegel:

Teildreieck:

Teildreiecke:

3.3 Anwendungen in Sachsituationen

Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagors lösen

Um Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras zu lösen gehe schrittweise vor:

• Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.
• Erstelle eine Skizze zur Aufgabe.
• Prüfe, ob ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt.
• Zeichne gegebenenfalls Hilfslinien, mit denen du rechtwinklige Dreiecke erzeugst.
• Wende den Satz des Pythagors im rechtwinkligen Dreieck an.
• Denke an den passenden Antwortsatz

Beispiel:

Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.

Wie hoch war der Baum?

geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe

Skizze (rechtwinkliges Dreieck)

Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x²   |$\surd$
$\sqrt{5,8^2+6,5^2}$ = x
8,71 $\approx$ x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.

Übung 7

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

• S. 118 Nr. 2
• S. 118 Nr. 3
• S. 119 Nr. 9
• S. 120 Nr. 16

a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.

b) Gesucht ist die Raumdiagonale d.

Lösungen (bunt gemischt):

2,43 m; 4,24 m; 10,3 cm; 11,1 cm; 13,2cm; ca. 61-62 m

Übung 8 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 29
• 30
• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 39
• 40

Und löse die Aufgabe aus dem GeoGebra-Applet: Pythagoras in Münster.

Zeichne für jedes Seil einer Seite ein passendes Teildreieck. Das Seil ist die Hypotenuse, die Länge der Straße eine Kathete und die Höhe die andere Kathete. Du musst für die Kathetenlängen die angegebenen Werte addieren.

Diese Aufgabe entspricht der Einstiegsaufgabe bei den Anwendungsaufgaben. Denke daran, zur berechneten Länge den stehengebliebenen Teil des Baumes zu addieren.

Teile das Trapez in zwei rechtwinklige Teildreiecke und ein Rechteck ein. Bestimme so die Teilstrecken der unteren Seite und addiere zum Schluss.

Applet von M. Engel

Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:
Wo ist das rechtwinklige Dreieck?

Beschrifte und wende den Satz des Pythagoras an.

Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:

Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).

Das gesamte Seil muss also 15,3 m lang sein.

Übung 9

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras.

• S. 118 Nr. 4
• S. 118 Nr. 6
• S. 120 Nr. 17 a,b
• S. 120 Nr. 18
• S. 124 Nr. 15

Tipp zu 4b:
p% = $\tfrac{W}{G}$

W ist der Weg in Metern, den Markus sich spart, G ist die Länge des gesamten Weges (von Sven).

Tipp zu Nr. 4c:

Du hast berechnet, wie viel Meter Markus sich spart. Wenn nun beide weiterlaufen, muss jeder davon die Hälfte zurücklegen, bis sie sich treffen.

Wenn der Schrank gekippt wird, muss die Diagonale des Schrankes kleiner sein als die Raumhöhe. Achte bei der Beschriftung des Teildreiecks auf gleiche Einheiten! Prüfe nach!

a) Die längsten Strecken an den Wänden sind die Flächendiagonalen eines Quaders. Zeichne die passenden Teildreiecke und berechne.

b) Die längste Strecke im Raum ist die Raumdiagonale. Zeichne ein passendes Teildreieck (Hier ist eine Kathete eine Flächendiagonale und die andere Kathete eine Streckenlänge des Klassenzimmers).

GeoGebra-Applet zur Aufgabe Nr. 18:

Da das Pendel immer 1 m lang ist, kannst du folgendes rechtwinklige Teildreieck nutzen:

Nutze das folgende rechtwinklige Teildreieck:

Zeichne zunächst eine Skizze des Hauses und der Dachsparren. Finde dort passende rechtwinklige Teildreiecke. Zeichne dann das Teildreieck und beschrifte es. Dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Folie ist im Bild grau dargestellt. Die Fläche setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen mit einer Länge von 22m und einer Breite von 5m. Die Bahnen sind 1,50m breit und müssen sich 15cm überlappen.
Wie viele Bahnen werden benötigt?
Wie viele Quadratmeter Folie sind das?

Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben (bunt gemischt):
20cm; 80cm; 122cm; 2,34m; 5,4m; 19m; 9,9m; 9,1m; 12,6m; 38,2m; 88m; 176m
25,5%; 4 Bahnen; 264m²

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Übung 10

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Beachte die nötigen Schritte bei der Lösung von Anwendungsaufgaben mit dem Satz des Pythagoras. Denke an die Skizze!

• S. 118 Nr. 5
• S. 119 Nr. 10
• S. 120 Nr. 19
• S. 120 Nr. 21 (ganz, d und e sind schwer***)
• S. 122 Nr. 9 (***)

Du musst den Satz des Pythagoras zweimal anwenden: Bestimme zunächst die Entfernung entlang des Bodens. (Skizze 1). Danach bestimmst du die Länge der Strecke, den der Ball mindestens durch die Luft zurücklegt, wenn er in 1,50m Höhe den Pfosten trifft. (Skizze 2).

Geschwindigkeit = $\tfrac{Weg}{Zeit}$; v = $\tfrac{s}{t}$
Gegeben ist die Geschwindigkeit v und die Strecke aus Teil a. Wandle die Geschwindigkeit von km/h in m/s um (:3,6).
Gesucht ist die Zeit.

Stelle die Formel nach t um und setze die Werte ein.

Der Maßstab 1:50000 bedeutet, dass 1 cm in der Karte 50000cm = 500 m in Wirklichkeit sind. Welcher Strecke entsprechen dann 4cm?

Mit diesem GeoGebra-Applet kannst du die Aufgabe 19 simulieren. Bewege die Punkte und beschreibe.

Nenne die Länge des Pendels x

Also gilt:
(x-15)² + 50² = x²
Tipp: Löse die Klammer mit der zweiten binomische Formel auf.

Wiederholung binomische Formeln: Lernpfad Terme mit Klammern: Binomische Formeln

Löse die Gleichung:
(x-15)² + 50² = x²   |2. binomische Formel
x² - 2·x·15 + 15² + 2500 = x²
x² - 30x + 2725 = x²   | -x²
-30x + 2725 = 0   | -2725
-30x = -2725   | :(-30)

x ≈ 90,83 (cm)

Übertrage das rechtwinklige Dreieck in dein Heft.
a) Die Länge der Hypotenuse beträgt Erdradius + 45m, also 6370km + 0,045km = 6370,045km.
b) Berechne ebenso die Länge der Hypotenuse für eine Augenhöhe von 1,80m.
c) Nun ist die Länge der Kathete mit 100 Stadien = 100 ∙ 225m = 22500 m = 22,5 km gegeben und wieder die Länge der Hypotenuse gesucht. Danach subtrahiere vom Ergebnis den Erdradius.
d) Die Länge der Hypotenuse beträgt (r+h). Stelle damit den Satz des Pythagoras auf:

r² + s² = (r+h)² Löse die Klammer mit der 1. binomischen Formel auf und stelle die Gleichung nach s um.

Benenne die abgeknickten Teil des Mastes (die Hypotenuse) mit x. Wie lang sind dann die Katheten?

Vergleiche deine Lösungen (bunt gemischt):

0,47s; 91cm; 122cm; 1,36m; 11,59m; 11,69m; 40m; 2103m; 4,8km; 12,4km; 23,9km; 6370,04km

Übung 11 (Anwendungen im Raum)

Löse aus dem Buch. Skizziere die Teildreiecke!

• S. 120 Nr. 20
• S. 123 Nr. 11 (Hinweise: a) Rechne bei 11a ohne den Dachüberstand von 0,3m; b) Druckfehler: s = 6,20m)

Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.

Bestimme dann zunächst die Dreieckshöhe ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras.

Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: A_Dreieck = $\tfrac{g\cdot h}{2} = \tfrac{a\cdot h_a}{2}$.

Bestimme also h_a mit dem halben Parallelschnitt (s.o.)

Die Dachfläche setzt sich zusammen aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Für die Flächeninhaltsformeln benötigst du die jeweiligen Höhen. Bestimme diese mit dem Satz des Pythagoras in geeigneten Teildreiecken.

(Lösung: h_Dreieck $\approx$ 5,46m; h_Trapez $\approx$ 5,76m)

Die Dachfläche setzt sich zusammen aus 4 Rechtecken, wobei jeweils zwei Rechtecke gleich groß sind. Die Länge ist immer 12,20 m. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die jeweilige Breite.

(Lösung:b₁ = 2,99m; b₂ = 2,60m)

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial (mit Lösungen)

Vielfältiges zusätzliches Übungsmaterial mit Lösungen findest du auf der Seite Selbstlernmaterial von T. Unkelbach. Srcolle ein wenig nach unten, dort findest du Karteikartenaufgaben in leicht, mittel und schwer. Wähle aus.

3.4 Pythagoras im Koordinatensystem

Pythagoras im Koordinatensystem

Bestimme Streckenlängen im Koordinatensystem. Verändere dazu im nachfolgenden Applet die Lage der Punkte A und B und bestimme die Länge der Strecke $\bar{AB}$. Aktiviere bei Bedarf die Hilfen. Erkläre dein Vorgehen.

Applet von C.Buß-Haskert

Übung 12

Löse nun die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage die Zeichnungen in dein Heft und ergänze die Teildreiecke.

• S. 123 Nr. 12
• S. 123 Nr. 13
• S. 123 Nr. 14

Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.

Applet zur Bestimmung der Steigung m einer Dreiecksseite: Du kannst die Punkte A und B verschieben und so deine Lösungen prüfen.

Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.

Nutze zur Kontrolle das obige Applet. Stelle die jeweiligen Strecken ein und vergleiche mit deiner Zeichnung und Rechnung.