Benutzer:Buss-Haskert/Pythagoras/Anwendungen: Unterschied zwischen den Versionen
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* S. 114 Nr. 1 | * S. 114 Nr. 1 |
Version vom 19. Februar 2022, 10:48 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
1) Rechtwinklige Dreiecke zeichnen mit dem Satz des Thales
2) Satz des Pythagoras
3) Anwendungen
3.1) Anwendungen in geometrischen Figuren
3.2) Anwendungen im Raum
3) Satz des Pythagoras - Anwendungen
Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, musst du die Figur in rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Dann kannst du in diesen Teildreiecken fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
3.1 Anwendungen in geometrischen Figuren
Einführungsbeispiel:
Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes:
Um die Länge der Seite b zu bestimme gehe schrittweise vor:
1. Zerlege die Figur so, dass die gesuchte Seite b eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist.
2. Überlege, ob die Seite eine Kathete oder die Hypotenuse in diesem Dreieck ist und stelle den Satz des Pythagoras richtig auf.
3. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Satzes von Pythagoras. Runde sinnvoll.
2² + 5² = b² |
= b
4. Löse die Aufgabe: Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Figur.
Umfang u = a + b + c + d = 7 + 5,4 + 2 + 2 = 16,4 (cm)
Dieses Video zeigt die Berechnungen für eine symmetrisches Trapez:
.
Hefteintrag zu Nr. 1:
Beschrifte in der Skizze die zweite Kathete im linken rechtwinkligen Dreieck mit z.B. "a".
linkes Dreieck:
15² + a² = 39² |-15²
a² = 39² - 15² |
a = (Taschenrechner)
a = 36 (cm)
rechtes Dreieck:
a² + x² = 47²
36² + x² = 47² |-36²
x² = 47² - 36² |
x = (Taschenrechner)
x 30,2 (cm)
Teile die Figuren jeweils in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein. Berechne dann mit Pythagoras die fehlenden Seitenlängen.
![S. 114 Nr. 3 Skizzen.png](/images/thumb/9/99/S._114_Nr._3_Skizzen.png/300px-S._114_Nr._3_Skizzen.png)
Teile die Figuren in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Die Figuren sind jeweils Trapeze. Wiederhole die Flächeninhaltsformel für das Trapez (Schulbegleiter).
Zerlege die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, indem du die Diagonale von links oben nach rechts unten zeichnest. Berechne dann zunächst die Länge der Diagonale und damit die Länge der fehlenden Seite.
![S. 122 Nr. 4b Tipp.png](/images/thumb/f/f1/S._122_Nr._4b_Tipp.png/300px-S._122_Nr._4b_Tipp.png)
Hilfsvideos zu den Aufgaben S. 114 Nr. 5 und S. 122 Nr. 4:
3.2 Anwendungen im Raum
Pythagoras im Würfel und Quader
Um rechtwinklige Teildreiecke in Körpern zu erkennen, ist es hilfreich, ein Kantenmodell dieses Körpers zu erstellen. Dies kannst du basteln mit Holzspießen und Erbsen oder Weingummi.
Kantenmodell eines Würfels:
Kantenmodell eines Quaders:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Simulation zu Nr. 4 rechts: Du kannst den Würfel drehen.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Hinweise zu Pythagoras im Würfel:
Pythagoras in der quadratischen Pyramide
Kantenmodell einer quadratischen Pyramide:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Hilfsdreieck 1: halber Parallelschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Höhe der Seitenfläche hS.
![Halber Parallelschnitt.png](/images/b/bd/Halber_Parallelschnitt.png)
Hilfsdreieck 2: halber Seitenfläche
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Grundseite und die Höhe der Seitenfläche hS. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
![Halbe Seitenfläche.png](/images/c/c7/Halbe_Seitenfl%C3%A4che.png)
Hilfsdreieck 3: halber Diagonalschnitt
Die Katheten in diesem rechtwinkligen Dreieck sind die halbe Diagonale der Grundseite und die Höhe der Pyramide hK. Die Hypotenuse ist die Seitenkante s .
![Halber Diagonalschnitt.png](/images/7/7a/Halber_Diagonalschnitt.png)
Schau die Videos zu Pythagoras in der quadratischen Pyramide an. Diese helfen dir bei der Bearbeitung der Übung 6.
3.3 Anwendungen in Sachsituationen
Beispiel:
Ein Baum ist bei einem Sturm umgeknickt. Der Teil des Stammes, der noch stehengeblieben ist, ist 5,80 m hoch. Die Baumkrone berührt in einem Abstand von 6,50 m vom Stamm den Boden.
Wie hoch war der Baum?
geg: Höhe Baumstamm 5,80m; Entfernung Baumkrone zum Baumstamm 6,50m
ges: Baumhöhe
Skizze (rechtwinkliges Dreieck)
Das Dreieck ist rechtwinklig, gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist die Hypotenuse x.
5,8² + 6,5² = x² |
= x
8,71 x
Der abgeknickte Teil des Baumes ist ca. 8,70 m lang.
5,80 + 8,70 = 14,50
Der Baum war also ca. 14,50 m hoch.
a) Gesucht ist die Flächendiagonale e.
Lösungen (bunt gemischt):
Teile das Trapez in zwei rechtwinklige Teildreiecke und ein Rechteck ein. Bestimme so die Teilstrecken der unteren Seite und addiere zum Schluss.
![Tipp zu Aufgabenfuchs Nr. 40.png](/images/thumb/0/07/Tipp_zu_Aufgabenfuchs_Nr._40.png/400px-Tipp_zu_Aufgabenfuchs_Nr._40.png)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von M. Engel
Eine Skizze zur Aufgabe könnte so aussehen:
Wo ist das rechtwinklige Dreieck?
Das rechtwinklige Dreieck muss wie folgt beschriftet werden:
Die Hälfte der Seillänge berechnest du dann mit dem Satz des Pythagoras:
1,5² + 7,5² = x² usw.(runde auf zwei Nachkommastellen, also auf cm genau).
Tipp zu 4b:
p% =
Tipp zu Nr. 4c:
a) Die längsten Strecken an den Wänden sind die Flächendiagonalen eines Quaders. Zeichne die passenden Teildreiecke und berechne.
GeoGebra-Applet zur Aufgabe Nr. 18:
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Zeichne zunächst eine Skizze des Hauses und der Dachsparren. Finde dort passende rechtwinklige Teildreiecke. Zeichne dann das Teildreieck und beschrifte es. Dann kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.
![S. 124 Nr. 15a neu.png](/images/thumb/e/e6/S._124_Nr._15a_neu.png/300px-S._124_Nr._15a_neu.png)
Wie viele Bahnen werden benötigt?
Wie viele Quadratmeter Folie sind das?
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben (bunt gemischt):
20cm; 80cm; 122cm; 2,34m; 5,4m; 19m; 9,9m; 9,1m; 12,6m; 38,2m; 88m; 176m
25,5%; 4 Bahnen; 264m²
Geschwindigkeit = ; v =
Gegeben ist die Geschwindigkeit v und die Strecke aus Teil a. Wandle die Geschwindigkeit von km/h in m/s um (:3,6).
Gesucht ist die Zeit.
Mit diesem GeoGebra-Applet kannst du die Aufgabe 19 simulieren. Bewege die Punkte und beschreibe.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Nenne die Länge des Pendels x
Also gilt:
(x-15)² + 50² = x²
Tipp: Löse die Klammer mit der zweiten binomische Formel auf.
Löse die Gleichung:
(x-15)² + 50² = x² |2. binomische Formel
x² - 2·x·15 + 15² + 2500 = x²
x² - 30x + 2725 = x² | -x²
-30x + 2725 = 0 | -2725
-30x = -2725 | :(-30)
Übertrage das rechtwinklige Dreieck in dein Heft.
a) Die Länge der Hypotenuse beträgt Erdradius + 45m, also 6370km + 0,045km = 6370,045km.
b) Berechne ebenso die Länge der Hypotenuse für eine Augenhöhe von 1,80m.
c) Nun ist die Länge der Kathete mit 100 Stadien = 100 ∙ 225m = 22500 m = 22,5 km gegeben und wieder die Länge der Hypotenuse gesucht. Danach subtrahiere vom Ergebnis den Erdradius.
d) Die Länge der Hypotenuse beträgt (r+h). Stelle damit den Satz des Pythagoras auf:
Vergleiche deine Lösungen (bunt gemischt):
Skizziere das Teildreieck mit der Dreieckshöhe der Grundfläche als eine Kathete und der Prismenhöhe h als zweite Kathete.
Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken. Erinnerung: ADreieck = .
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Für die Flächeninhaltsformeln benötigst du die jeweiligen Höhen. Bestimme diese mit dem Satz des Pythagoras in geeigneten Teildreiecken.
Die Dachfläche setzt sich zusammen aus 4 Rechtecken, wobei jeweils zwei Rechtecke gleich groß sind. Die Länge ist immer 12,20 m. Bestimme mit dem Satz des Pythagoras die jeweilige Breite.
3.4 Pythagoras im Koordinatensystem
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von C.Buß-Haskert
Applet zur Bestimmung der Steigung m einer Dreiecksseite: Du kannst die Punkte A und B verschieben und so deine Lösungen prüfen.
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)