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| <div style="font-size: 20pt; background-color: blue; text-align: center; color: yellow; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Natürliche Zahlen - Inhalte</div> | | <div style="font-size: 20pt; background-color: blue; text-align: center; color: yellow; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Lösen linearer Gleichungssysteme</div> |
| <br /> | | <br /> |
| <div style="font-size: 15pt"> | | <div style="font-size: 15pt"> |
| [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Allgemeines|Allgemeines]] </div> | | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Allgemeines|Allgemeines]]<br/> |
| <div style="font-size: 15pt">
| | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Grafisches Verfahren|Grafisches Verfahren]]<br/> |
| [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Grafisches Verfahren|Grafisches Verfahren]] </div> | | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren]]<br/> |
| <div style="font-size: 15pt">
| | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Additionsverfahren|Das Additionsverfahren]]<br/> |
| [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Einsetzungsverfahren|Das EGrafisches Verfahren]] </div> | | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Gleichsetzungsverfahren|Das Gleichsetzungsverfahren]]<br/> |
| | | [[Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme/Übungen|Übungen]]<br/> |
| | | </div> |
| === Allgemeines ===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Einführung
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| |Inhalt=
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| ''' Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt. '''
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Anzahl der Lösungen
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| |Inhalt=
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| <big>'''Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:
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| # Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
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| # Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
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| # Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.'''</big>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-quill"></span>
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| }}
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| == Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ==
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Einführende Bemerkungen
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| |Inhalt=
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| <big>'''Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
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| # Das grafische Verfahren
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| # Das Einsetzungsverfahren
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| # Das Additionsverfahren
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| # Das Gleichsetzungsverfahren'''</big>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-quill"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Ein Video als Überblick
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| |Inhalt= Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.
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| {{#ev:youtube|wEwn-ZKueaw}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| === Grafisches Verfahren ===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Erklärung
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| |Inhalt=
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| <big>'''Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.</big>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-quill"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video-Mathematrick
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| |Inhalt= Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.{{#ev:youtube|g2fov1JsDSk}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Eine Zuordnungsübung
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| |Inhalt= {{LearningApp|app= 17965726|width=100%|height=500px}}<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| ===Das Einsetzungsverfahren===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Begriffserklärung
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| |Inhalt= <big>Der Name ''Einsetzungsverfahren'' kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung '''einsetzt'''.</big>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren</big></u>'''
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| |Inhalt=
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| '''Schritt 1:''' Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.<br/>
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| '''Schritt 2:''' Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.<br/>
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| '''Schritt 3:''' Berechne die noch enthaltende Variable.<br/>
| |
| '''Schritt 4:''' Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.<br/>
| |
| '''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video-Mathematrick
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| |Inhalt= Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.
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| {{#ev:youtube|glAEhc_UmvY}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video - Einsetzungsverfahren
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| |Inhalt= ''Eine Schülerin erklärt das Einsetzungsverfahren.''
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| {{#ev:youtube|q1qMbvpTpdI}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Aufgabe
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| |Inhalt= Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
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| #<math> y = -x + 2</math><br/>
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| #<math> 4x + 3y = 2</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.|2=Tipp 1|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.|2=Tipp 2|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = -4;y = 6</math>}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #54ff9f
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Eine kleiner Wissenstest
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| |Inhalt= {{h5p-zum|id=21358|width="615" height="597"}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| ===Das Additionsverfahren===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Additionsverfahren</big></u>'''
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| |Inhalt=
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| '''Schritt 1:''' Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.<br/>
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| '''Schritt 2:''' Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.<br/>
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| '''Schritt 3:''' Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.<br/>
| |
| '''Schritt 4:''' Berechne die andere Variablen.<br/>
| |
| '''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Bemerkung
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| |Inhalt= '''In beiden nachfolgenden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind. Sie wurden von zwei Schülerinnen zu Hause erstellt.'''
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| |Farbe= #482998
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| |Hintergrund= #FFFF00
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video - Additionsverfahren
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| |Inhalt= ''Eine Schülerin erklärt das Additionsverfahren.''<br/>
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| {{#ev:youtube|NQR59WavOcA}}<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video - Additionsverfahren
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| |Inhalt= ''Eine weitere Schülerin erklärt das Additionsverfahren mit ihren Worten.''<br/>
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| {{#ev:youtube|9zcuJo7sl1c}}<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Aufgabe
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| |Inhalt= Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
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| #<math> y = 5x - 6</math><br/>
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| #<math> y = -2x + 8</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus|2=Tipp 1|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Erweitere die zweite Gleichung mit -1.|2=Tipp 2|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = 2;y = 4</math>}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #54ff9f
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| ===Das Gleichsetzungsverfahren===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Begriffserklärung
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| |Inhalt= Der Name ''Gleichsetzungsverfahren'' kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen '''gleichsetzen''' kann.
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= '''<u><big>Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren</big></u>'''
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| |Inhalt=
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| '''Schritt 1:''' Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).<br/>
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| '''Schritt 2:''' Setze die Terme gleich.<br/>
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| '''Schritt 3:''' Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.<br/>
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| '''Schritt 4:''' Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).<br/>
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| '''Probe:''' Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.<br/>
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-file02"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Video vom Cornelsen-Verlag
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| |Inhalt= Das Gleichsetzungsverfahren
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| {{#ev:youtube|hBtqpqLRkg4}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-screen01"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
| |
| |Titel= Aufgabe
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| |Inhalt= Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren<br/>
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| #<math> 3x = 10 – 5y</math><br/>
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| #<math> 3x = -2y + 13</math>
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| {{Lösung versteckt|1= Auf der linken Seite steht bereits in beiden Gleichungen das Gleiche.|2=Tipp 1|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1= Setze also die beiden rechten Seiten gleich.|2=Tipp 2|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>x = 5;y = -1</math>}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #54ff9f
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| ===Übungen===
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Quiz zu allen Verfahren.
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| |Inhalt= {{LearningApp|app=p5sti58et22|width=100%|height=400px}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Zuordnungsübung
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| |Inhalt= {{LearningApp|app=6752701|width=100%|height=400px}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #A8DF4A
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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| {{Box-spezial
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| |Titel= Aufgabe unter Verwendung CAS-App
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| |Inhalt= <big> Bei einem Stromanbieter zahlt eine Familie 1228 € im Jahr bei einem Verbrauch von 3500 kWh. Ein Single zahlt 508 € bei einem Verbrauch von 1250 kWh.
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| Ermittle die monatliche Grundgebühr und den Preis pro Kilowattstunde.</big>
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| {{Lösung versteckt|1= Zunächst zwei Gleichungen aufstellen. Dabei beachten, dass sich der Strompreis aus dem monatlichen Grundpreis und dem Preis für die Kilowattstunde zusammensetzt.|2=Tipp 1|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1= #<math> 1228 = 3500 \cdot p + 12 \cdot g</math><br/>
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| #<math> 508 = 1250 \cdot p + 12 \cdot g</math><br/>
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| Die 1228 und 508 sind die jeweiligen Gesamtkosten, die 3500 bzw. 1250 stellen den Verbrauch dar und die 12 steht für die Anzahl der Monate in einem Jahr, p steht für Preis je kWh und g steht für den Grundpreis im Monat. <br/>
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| Dann über den Werzeugschlüssel - Algebra - Gleichungssystem lösen - lineares Gleichungssystem lösen <br/>
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| Dort Anzahl der Gleichungen festlegen, evtl. Variablen umbenennen, dann die beiden Gleichungen eingeben.
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| |2=Tipp 2|3=schließen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Lösung des Gleichungssystems:<math>g = 9 €;p = 0,32 €</math>}}
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| |Farbe= #0077dd
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| |Hintergrund= #54ff9f
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| |Icon= <span class="brainy hdg-pin"></span>
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| }}
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