Benutzer:Buss-Haskert/Vorbereitungskurs ZP 10 Mathematik/Funktionen

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Schulbuch: Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe, Klett-Verlag

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1. Zahlen und Größen

2. Zuordnungen und Prozent-und Zinsrechnung
3. Terme und Gleichungen (lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und quadratische Gleichungen)
4. Funktionen: Lineare Funktionen
5. Funktionen: Quadratische Funktionen
6. Geometrie: Winkel in Figuren; Flächen- und Körperberechnungen; Pythagoras, Strahlensätze, Trigonometrie
7. Diagramme, Statistik
8. Wahrscheinlichkeitsrechnung
9. Wachstum und Exponentialfunktion

Funktionen

Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sie lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:

• als Text
• als Wertetabelle
• als Funktionsgleichung
• als Graph

Funktionen

Orientiere dich in der Formelsammlung! (S.5)

Einstiegstest: Lineare Funktionen (hilfsmittelfreier Teil)

1 Bootsverleih: Das Ausleihen eines Bootes kostet 5€ Grundgebühr und 2€ pro Stunde Leihgebühr. Welcher Term passt?

	y = 5x + 2
	y = 2x + 5
	y = 5x + 5
	y = 2x + 2

2 4 Gläser Apfelschorle kosten 6 €. Wie viel kosten dann 7 Gläser Apfelschorle?

	10€
	10,50€
	11 €
	11,50€

3 Eine zylinderförmige Vase wird gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? (Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen?)

	A
	B
	C
	D

4 Das Bild zeigt den Graphen einer linearen Funktion f(x) = mx + b. Welche Aussage ist richtig?

	m > 0 und b > 0
	m < 0 und b > 0
	m < 0 und b < 0
	m > 0 und b < 0

5 Für eine lineare Funktion f(x) = mx + b mit m > 0 und b < 0 gilt...

	Die Gerade fällt.
	Die Gerade steigt.
	Die Gerade schneidet die y-Achse im negativen Bereich.
	Die Gerade schneidet die y-Achse im positiven Bereich.

6 Welche Gleichung passt zum Geraden?

	f(x) = 2x + 3
	f(x) = 3x + 2
	f(x) = $\tfrac{1}{2}$ + 3
	f(x) = $\tfrac{1}{3}$ + 2

7 Wie lautet die Gleichung der proportionalen Funktion g(x), die parallel zu f(x) = -2x + 3 verläuft?

	g(x) = 2x + 3
	g(x) = 2x - 3
	g(x) = -2x
	g(x) = -2x -3

8 Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt P(-1|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

	y = -1x + 3
	y = 3x - 1
	y = 2x + 3
	y = 2x + 5

9 Eine Gerade geht durch die Punkte P(0|1) und Q(4|3). Wie lautet die Gleichung der Geraden? Berechne im Heft.

	y = $\tfrac{1}{2}$x + 1
	y = 4x + 3
	y = 1x
	y = 1x + 3

10 Liegt der Punkt P(2|-8) auf der Geraden mit der Gleichung f(x) = -5x + 2? Prüfe durch eine Rechnung.

	Ja
	Nein

11 Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = -2x + 5. Berechne im Heft.

	x = 5
	x = 2
	x = 2,5
	x = -2,5

12 Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Gerade mit der Gleichung f(x) = -3x + 6...

	hat keine Nullstelle
	schneidet die x-Achse bei x = 2
	hat die Steigung 6
	enthält den Punkt (-1|9)

Auswertung des Eingangstests

Schau, welche Aufgaben du schon gut lösen konntest und bei welchen du noch Schwierigkeiten hattest. Übe dann passend.

• Lineare Funktionen erkennen 1-4
• Gleichung - Graph Nr. 5-7
• Gleichung rechnerisch bestimmen Nr. 8,9
• Punktprobe Nr. 10
• Nullstellen Nr. 11

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch, vergleiche deine Lösungen. Nutze zur Wiederholung die Zusammenfassungen in diesem Lernpfad.

• Lineare Funktionen erkennen: S. 150, Nr. 1,2
• Lineare Funktionen zeichnen: S. 150, Nr. 3,4
• Gleichung - Graph: S. 150, Nr. 5,6 und S. 122, P2 - 4
• Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S. 122, P5 - 6
• Punktprobe: S. 122(123, P7 - P10

Lineare Funktionen erkennen

Merksätze	Lineare Funktionen erkennen Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form f(x) = mx + b hat, heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0Ib). Lineare Funktionen erkennen:
Video	Lineare Funktionen (Mathe-Song) Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden
Übungen	Übung: Lineare Funktionen erkennen Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzten App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.

Lineare Funktionen: Wertetabelle

Merksätze	Wertetabelle erstellen Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5                          = 7 Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5                          = 9 Übertrage die Werte in die Wertetabelle: x 0 1 2 3 4 ... y 5 7 9 11 13 ...
Video	Lineare Funktion - Wertetabelle erstellen | Mathematik - ganz einfach erklärt | Lehrerschmidt Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden
Übung

Lineare Funktionen: Gleichung und Graph

Merksätze

Funktionsgraphen zeichnen Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." Lineare Funktionen: Funktionsgleichung zu einer Geraden aufstellen Lies den y-Achsenabschnitt b ab. Zeichne das Steigungsdreieck und bestimme damit die Steiung m. Die Steigung mithilfe des Steigungsdreieckes bestimmen Beispiele: 1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

Übung

Merksätze	Funktionsgleichungen vom Graphen ablesen Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Video	Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden
Übung	Übung: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus. leicht (*) mittel (**) schwer (***)

Merksätze	Lineare Funktionen: Graph zeichnen Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein. P(0|b) Zeichne das Steigungsdreieck. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte. Lineare Funktionen: Graphen zeichnen| Fundamente der Mathematik | Erklärvideo Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = ${3 \over 5}$x - 1. Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3
Video	LINEARE FUNKTIONEN zeichnen – Gleichung mit Bruch, Geraden ohne Wertetabelle einzeichnen Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie FortfahrenAusblenden
Übung	[Übung realmath]

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen

Lineare Funktionen: Funktionsgleichung aufstellen mithilfe der Steigung und gegebener Punkte

Du kannst die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch rechnerisch bestimmen:

• Punkt-Steigungsform: die Steigung m und ein Punkt ist gegeben
• Zwei-Punkte-Form: zwei Punkte sind gegeben (hier findest du Informationen in der Formelsammlung)

Beispiel 1: Punkt-Steigungsform
geg: m = -1 und P(2|3)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Idee: Setze m und die Koordinaten des Punktes in die Gleichung y = mx + b ein und bestimme so b.
f(x) = mx + b   |m=-1 und P(2|3) einsetzen
3 = -1·2 + b   |vereinfachen
3 = -2 + b   |+2
5 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -1x + 5.

Beispiel 2: Zwei-Punkte-Form
geg: P(1|5) und Q(3|1)
ges: Funktionsgleichung der linearen Funktion
Bestimme die Steiung m: m = $\tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ = $\tfrac{1-5}{3-1}$ = $\tfrac{-4}{2}$ = -2
Bestimme b durch Einsetzen von m und einem der Punkte P oder Q in die Gleichung y = mx + b.
f(x) = mx + b   |m=-2 und P(1|5) einsetzen
5 = -2·1 + b   |vereinfachen
5 = -2 + b   |+2
7 = b
Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = -2x + 7.

Bild zur Bestimmung von m (Funktionsgraph)

Erkläre, wie du das Steigungsdreieck zwischen den Punkten P und Q einzeichnen kannst und wie du damit die Steigung m bestimmen kannst.

Video: Zwei-Punkteform der Geradengleichung

Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

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Lineare Funktionen: Punktprobe

Punktprobe

Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Lineare Funktionen: Nullstellen bestimmen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt P_y mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P_y (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (x_NI0)

Übung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch.

• S. 122, P2 - P9
• S. 150, Nr. 3-6